目錄

1 寫在前面的話

1.1 為什么要先總結(jié)一些EXCEL計(jì)算矩陣的工具性知識(shí)， 而不是一開始就從基礎(chǔ)學(xué)起呢？

?1.2 關(guān)于線性代數(shù)入門時(shí)的各種靈魂發(fā)問：

1.3 學(xué)習(xí)資料

2 什么是線性(關(guān)系)？

2.1 線性的到底是一種什么關(guān)系：

線性關(guān)系=正比例/正相關(guān)關(guān)系 ≠ 直線型關(guān)系

2.2 一次函數(shù)的只是一種?直線性關(guān)系

2.3 線性的嚴(yán)格定義

2.4?向量和矩陣的平直概念（也是線性關(guān)系的另一種說法：圖形上是直線，不能是2次函數(shù)，或指數(shù)函數(shù)等等）

3?? 從函數(shù)的角度看線性

3.1 一些函數(shù)的定義回顧

3.2 函數(shù)與幾何圖形的對(duì)應(yīng)

3.3 一次函數(shù)和線性函數(shù) 不是一回事

3.3.1 一次函數(shù)：形如如 y=ax+b? 或? z=ax+by+c

3.3.2 特殊一次函數(shù)：形如y=ax 或 z=ax+by

3.4 函數(shù)和矩陣的聯(lián)系

3.4.1 函數(shù)和矩陣

3.4.2 函數(shù)方程組 和 矩陣

3.5 某種意義上說，這就是線性代數(shù)的本質(zhì)？

4 線性相關(guān)在向量/矩陣?yán)锏淖饔煤蛻?yīng)用

4.1 線性相關(guān)

4.2 線性相關(guān)的嚴(yán)格定義

4.2.1?直觀的感覺

4.2.2 原始嚴(yán)格定義1（更直觀：1個(gè)向量與多個(gè)其他向量的關(guān)系）

4.2.3 嚴(yán)格定義2 （把 所有要比較的向量看作一個(gè)整體）

4.2.4? 線性相關(guān)的幾何意義

2維向量之間線性相關(guān)

多個(gè)3維向量之間的線性相關(guān)的幾何關(guān)系就不好想象了

4.3 線性組合的意思

4.3.1 線性組合的具體方法

4.4 線性變換(可以線性變換的矩陣之間是等價(jià)矩陣)

4.4.1 線性變換內(nèi)容

4.4.2 線性變換的作用舉例（作用很多，很大）

4.5?線性變換（線性映射）的意義？

4.6 線性相關(guān)的其他意義

5 線性無(wú)關(guān)/線性獨(dú)立

5.1? 線性無(wú)關(guān)的定義

5.2 線性無(wú)關(guān)有什么用呢？

6 線性代數(shù)的本質(zhì)

6.1 線性代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別

6.2 某種意義上說，這就是線性代數(shù)的本質(zhì)？

6.3 對(duì)應(yīng)到EXCEL的操作，EXCEL的數(shù)組公式= 線性代數(shù)計(jì)算

6.4 線性代數(shù)的核心是什么

6.5 線性代數(shù)是人造的，還是自然的？

1 寫在前面的話

1.1 為什么要先總結(jié)一些EXCEL計(jì)算矩陣的工具性知識(shí)， 而不是一開始就從基礎(chǔ)學(xué)起呢？

? ? ? 還是那個(gè)老問題和老答案：雖然一般的學(xué)習(xí)路徑是需要先了解基礎(chǔ)知識(shí)才能運(yùn)用。但是我覺得先能用到覺得有用，然后再去提問，這樣的反饋循環(huán)能促進(jìn)人的學(xué)習(xí)，我更適合后者，能用到了再回過頭來學(xué)習(xí)更好

? ? ?另外，上學(xué)時(shí)是學(xué)過線代的，但是現(xiàn)在全忘了，還是因?yàn)闆]有理解導(dǎo)致的，這次盡量能先學(xué)懂，再考慮去學(xué)習(xí)各自計(jì)算技巧，多去思考和理解線性代數(shù)的本質(zhì)，而不是只會(huì)算幾個(gè)題而已，那樣過段時(shí)間還是會(huì)忘。

? ? 最后：最大的原因，直接這么找一本書埋頭學(xué)，不以應(yīng)用的目的去學(xué)，我可能早放棄了

?1.2 關(guān)于線性代數(shù)入門時(shí)的各種靈魂發(fā)問：

1. 什么是線性
2. 什么是線性相關(guān) ？
3. 為什么叫線性變換？
4. 為什么叫線性代數(shù)？

? ? ?其實(shí)回答這些問題，還是會(huì)者不難，難者不會(huì)，但是對(duì)初學(xué)者理清概念非常重要。

? ? ?學(xué)一門課的時(shí)候知道它在干啥為什么要研究這些問題真的很重要，雖然這些問題需要深度學(xué)習(xí)后才能有較深的理解，但是我試著開頭就回答下這些問題，以后可以逐步來修改，畢竟，這是學(xué)習(xí)筆記而已。

? ?

1.3 學(xué)習(xí)資料

• 能看知乎，別看百度，能看B站，別看知乎
• 百度寫的你看不懂，
• 知乎寫的很可能都是片段

麻省理工學(xué)院 - MIT - 線性代數(shù)（我愿稱之為線性代數(shù)教程天花板）_嗶哩嗶哩_bilibili麻省理工學(xué)院 - MIT - 線性代數(shù)（我愿稱之為線性代數(shù)教程天花板）共計(jì)35條視頻，包括：1.01方程組的幾何解釋、2.02矩陣消元、3.03乘法和逆矩陣等，UP主更多精彩視頻，請(qǐng)關(guān)注UP賬號(hào)。https://www.bilibili.com/video/BV16Z4y1U7oU/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click

3bule1brown的視頻，B站有原作者自己發(fā)的視頻，有多牛逼就不用我說了

【熟肉】線性代數(shù)的本質(zhì) - 00 - “線性代數(shù)的本質(zhì)”系列預(yù)覽_嗶哩嗶哩_bilibili線性代數(shù)的本質(zhì)（Essense of Linear Algebra）系列作者：@3Blue1Brown ( https://www.youtube.com/channel/UCYO_jab_esuFRV4b17AJtAw )視頻源地址：https://www.youtube.com/watch?v=kjBOesZCoqc聽譯、時(shí)間軸、壓制：@Solara57000 - “線性代數(shù)的本質(zhì)”系列的簡(jiǎn)介, 視頻播放量 392850、彈幕量 579、點(diǎn)贊數(shù) 10225、投硬幣枚數(shù) 7107、收藏人數(shù) 18635、轉(zhuǎn)發(fā)人數(shù) 9114, 視頻作者 3Blue1Brown, 作者簡(jiǎn)介 中國(guó)官方賬號(hào)。深入淺出、直觀明了地分享數(shù)學(xué)之美。資助頁(yè)面：www.patreon.com/3blue1brown，相關(guān)視頻：【熟肉】線性代數(shù)的本質(zhì) - 01 - 向量究竟是什么？，【數(shù)學(xué)漫步之旅】看點(diǎn)1：證明“證明”的本身 豎版，【紀(jì)錄片】數(shù)學(xué)漫步之旅 01 本福特定律，【紀(jì)錄片】數(shù)學(xué)漫步之旅 02 無(wú)窮小微積分，【23考研】線代非李永樂不可嗎？跟其他老師，我的線代考砸了| 聽課與做題| 規(guī)劃與建議，【搬運(yùn)】【線性代數(shù)】線性代數(shù)的本質(zhì)，矩陣的秩--直觀解釋，【熟肉】線性代數(shù)的本質(zhì) - 03 - 矩陣與線性變換，考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)老師推薦，現(xiàn)在看到還不晚！，考研線代可以選張宇老師嗎？https://www.bilibili.com/video/BV1rs411k7ru/?spm_id_from=333.999.0.0&vd_source=5fa6d2958ae880d9550a17f8050fd5ed其他書

• MIT《introduction to linear algebra》
• 《線性代數(shù)應(yīng)該這樣學(xué)》
• 《程序員的數(shù)學(xué)，線性代數(shù)》
• 《馬同學(xué)圖解線性代數(shù)》
• 《線性代數(shù)及其應(yīng)用》
• 《線性代數(shù)的幾何意義》
• 《簡(jiǎn)明線性代數(shù)》

2 什么是線性(關(guān)系)？

• 最直觀的回答是：直線型？長(zhǎng)的像直線的就是線性關(guān)系
• 圖形上，形如直線的就是線性？
• 那從函數(shù)形式上看呢？ y=Ax是嗎？? y=Ax+b 是嗎？
• 這些說法對(duì)嗎？

2.1 線性的到底是一種什么關(guān)系：

線性關(guān)系=正比例/正相關(guān)關(guān)系 ≠ 直線型關(guān)系

線性，指量與量之間按比例、成直線的關(guān)系，在空間和時(shí)間上代表規(guī)則和光滑的運(yùn)動(dòng)；而非線性則指不按比例、不成直線的關(guān)系，代表不規(guī)則的運(yùn)動(dòng)和突變。

什么是線性呢？文字定義

• 是一種正比例關(guān)系，正相關(guān)關(guān)系
• 是一種，自變量（輸入內(nèi)容）按比例變化，因變量（輸出內(nèi)容）按相同比例變化的關(guān)系
• 而不是只是直線性關(guān)系就是線性關(guān)系，直線性關(guān)系還不夠
• 所以y=ax 是線性關(guān)系
• 而y=ax+b 只是直線性關(guān)系，不是線性關(guān)系

反例：非線性

比較，確實(shí)不是正比例

• y1=F1(x)=ax
• y2=F2(x)=ax+b

從其他學(xué)科的角度看：非線性就表示輸入輸出不是一種正比例關(guān)系

• 比如y看成是輸出，x看成是輸入
• 把函數(shù)? y=F(x)=ax+b ，顯然y和x不是正比例關(guān)系
• 而函數(shù)? y=F(x)=ax，顯然y和x就是是正比例關(guān)系

線性與非線性的基本\u000B定義、主要區(qū)別\u000B及界定方法非線性的特點(diǎn)是：橫斷各個(gè)專業(yè)，滲透各個(gè)領(lǐng)域，幾乎可以說是：“無(wú)處不在時(shí)時(shí)有?！贝_實(shí)如此。https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA4Nzg4MDY1Mw==&mid=2652410152&idx=4&sn=16d7fa55ec90d1c04a6b13a757e8df76&chksm=8bde978abca91e9c359534c9ceacab381fa162835c140ad91b7ced6f16d28f5ca3d93828f8e3&scene=27

2.2 一次函數(shù)的只是一種?直線性關(guān)系

• 一次函數(shù)，只是一種直線型關(guān)系
• 過原點(diǎn)的一次函數(shù)才是線性關(guān)系，y=ax是線性關(guān)系

2.3 線性的嚴(yán)格定義

• 線性：linear
• 非線性：non-linear，nonlinearity

線性，必須滿足齊次性和可加性，才算線性

1. 齊次性：L(ax)=aL(x)
2. 可加性/疊加性/疊加原理：L(x+y)=L(x) + L(y)

從定義上看，因?yàn)?ky=k(ax+b)=kax+kb ≠? kax+b 所以? y=ax+b 確實(shí)不是線性關(guān)系！

線性代數(shù)中的矩陣 AX=Y，雖然是有矩陣做參數(shù)，但本質(zhì)也是函數(shù)?，都可以用線性函數(shù)的定義來看

2.4?向量和矩陣的平直概念（也是線性關(guān)系的另一種說法：圖形上是直線，不能是2次函數(shù)，或指數(shù)函數(shù)等等）

矩陣的平直概念也屬于線性無(wú)關(guān)的一種說法

有的地方有矩陣平直的概念，

• 即矩陣需要時(shí)線性增長(zhǎng)的意思

1. 比如1個(gè)向量10，10個(gè)向量如果是100，那就是平直概念，其實(shí)就是按比例放大，直線比例，正相關(guān)比例，線性變換的意思。用圖形上說，一般就是一根直線。
2. 其實(shí)完全可以說是，直線關(guān)系，倍數(shù)關(guān)系，正比例關(guān)系等等
3. 比如1個(gè)向量10，10個(gè)向量如果是90，那就不是平直概念，其實(shí)就是沒按比例放大，比如是是一種其他類型的函數(shù)，比如二次函數(shù)，三次函數(shù)

3?? 從函數(shù)的角度看線性

一般的相法就是，函數(shù)里的線性，應(yīng)該就是直線性吧？這樣對(duì)嗎？

3.1 一些函數(shù)的定義回顧

• 一元函數(shù), 只有1個(gè)自變量的函數(shù)，y=F(x)
• 二元函數(shù), 只有2個(gè)自變量的函數(shù)，z=F(x,y)
• ...

• 一次函數(shù),? 形如 y=F(x)= ax+.....+b 之類的函數(shù)，所有自變量的次數(shù)最高為1
• 甚至 y=sinx也是一次函數(shù)
• 二次函數(shù),? 形如 y=F(x)= ax^2+bx.....+c 之類的函數(shù)，所有自變量的最高次為2次
• ...

• 一元一次函數(shù),? 形如 y=F(x)= ax+.....+b 之類的函數(shù)
• 二元一次函數(shù),? 形如 z=F(x,y)= ax+by.....+c 之類的函數(shù)
• 二元二次函數(shù),? 形如 z=F(x,y)= ax^2+bx+cy^2.....+c 之類的函數(shù)

3.2 函數(shù)與幾何圖形的對(duì)應(yīng)

• 一次函數(shù)，y=ax+b 在2維空間是一條直線
• 一次函數(shù)，z=ax+by+c 在3維空間是一個(gè)平面
• 2元1次函數(shù)? z=F(x,y)=ax+by+c 可以形變?yōu)?ax+by-z+c=0 就是3維空間里的一個(gè)平面

• 2次函數(shù)，y=ax^2 在2維空間是一條曲線
• 2次函數(shù)，y=ax^2+by^2+c 在3維空間是一個(gè)曲面

??

3.3 一次函數(shù)和線性函數(shù) 不是一回事

3.3.1 一次函數(shù)：形如如 y=ax+b? 或? z=ax+by+c

• 只能叫 直線性關(guān)系
• 函數(shù)和自變量之間存在一次方函數(shù)關(guān)系
• 圖形是上是一條直線，如 y=ax+b有斜率a 和截距b
• 極端的例子，y=cosx 是一次函數(shù)，但是不是線性函數(shù)

3.3.2 特殊一次函數(shù)：形如y=ax 或 z=ax+by

• 圖形上是過原點(diǎn)的一次函數(shù)，如 y=ax 只有斜率
• 這個(gè)叫線性關(guān)系，或者 正比例關(guān)系/正相關(guān)關(guān)系

3.4 函數(shù)和矩陣的聯(lián)系

3.4.1 函數(shù)和矩陣

• y=ax，是函數(shù)
• y=Ax，是函數(shù)，也是矩陣變換，其中A是矩陣，y,x 都是向量
• 本質(zhì) y=ax? 和 y=Ax 就是一回事

3.4.2 函數(shù)方程組 和 矩陣

• 矩陣就是由向量組成的
• 向量/數(shù)組
• 函數(shù)方程組 → 系數(shù)矩陣 → 增廣矩陣
• 所以函數(shù)的線性相關(guān)，在矩陣?yán)镆埠苤匾?/li>

3.5 某種意義上說，這就是線性代數(shù)的本質(zhì)？

• y=ax，是函數(shù)，y和x是單個(gè)數(shù)字
• y=Ax，是函數(shù)，也是矩陣變換，其中A是矩陣，y,x 都是向量
• 但是本質(zhì) y=ax? 和 y=Ax 就是一回事可以統(tǒng)一起來
• 所以，線性代數(shù)，其實(shí)就是處理 向量/數(shù)組的數(shù)學(xué)，而不是處理單個(gè)數(shù)字的數(shù)學(xué)?。?/span>

4 線性相關(guān)在向量/矩陣?yán)锏淖饔煤蛻?yīng)用

4.1 線性相關(guān)

線性相關(guān)是針對(duì)個(gè)多個(gè)變量說的

• 2個(gè)向量，它們線性相關(guān)，或線性無(wú)關(guān)
• 3個(gè)向量，它們線性相關(guān)，或線性無(wú)關(guān)
• ....
• n個(gè)向量，它們線性相關(guān)，或線性無(wú)關(guān)

4.2 線性相關(guān)的嚴(yán)格定義

• 正面：線性相關(guān)---→ 就是等價(jià)向量
• 反面：線性無(wú)關(guān)/線性獨(dú)立

4.2.1?直觀的感覺

• 某向量經(jīng)過線性變化后可以變換成另外一個(gè)向量，
• 如果有多個(gè)向量，其中一個(gè)可以被其他向量線性組成，那么就是線性相關(guān)的，否則就是線性無(wú)關(guān)的
• 比如 {1,2,3} ,{2,4,6} 這2個(gè)向量顯然就是線性相關(guān)的
• 也就是{2,4,6} =2*{1,2,3} = {2*1,2*2,2*3}

4.2.2 原始嚴(yán)格定義1（更直觀：1個(gè)向量與多個(gè)其他向量的關(guān)系）

注意這里，α1是一個(gè)數(shù)組/向量，而不是數(shù)組里的一個(gè)具體的數(shù)字,比如α1={x1,x2......}

(線性代數(shù)矩陣等肯定是研究 數(shù)組/向量之間的關(guān)系，而絕不是單個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系)

如果 A中的多個(gè)向量： α1,?α2,?α3, .....αn ，如果存在一組實(shí)數(shù)k1,k2,k3....kn，

可以使得b=k1*α1+?k2*α2+...+?kn*αn?,

那么b 就和A包含這多個(gè)向量組 α1,?α2,?α3.....αn是線性相關(guān)的。

這一組實(shí)數(shù)k1,k2,k3....kn不要求全不為0

舉例子

• RGB，比如 (255,255,0)? 可以用 k1* (100,100,0)?+k2* (0,255,0) 組成，所有是線性相關(guān)的，所以(255,255,0) 和k1* (100,100,0)?+k2* (0,255,0) 某些時(shí)候是等價(jià)的。
• ?(255,255,0)?=255/100* (100,100,0)?+0* (0,255,0) 其實(shí)? (255,255,0)與(100,100,0) 這1個(gè)向量就已經(jīng)線性相關(guān) 了
• RGB，比如 (255,0,0)不能用 k1* ?(0,100,100)+? k2* (0,255,0) 組成，怎么都不行，所以是線性無(wú)關(guān)的。

4.2.3 嚴(yán)格定義2 （把 所有要比較的向量看作一個(gè)整體）

注意這里，α1是一個(gè)數(shù)組/向量，而不是數(shù)組里的一個(gè)具體的數(shù)字,比如α1={x1,x2......}?

(線性代數(shù)矩陣等肯定是研究 數(shù)組/向量之間的關(guān)系，而絕不是單個(gè)數(shù)字之間的關(guān)系)

如果 A中的多個(gè)向量：α1,?α2,?α3,?.....αn ，如果存在不全部為0的一組實(shí)數(shù)k1,k2,k3....kn，可以使得k1*α1+?k2*α2+...+?kn*αn=0 ,

那么這些向量 α1,?α2,?α3,?α4, .....αn就是線性相關(guān)的

4.2.4? 線性相關(guān)的幾何意義

線性相關(guān)是針對(duì)個(gè)多個(gè)變量說的，那這些變量如果線性相關(guān)會(huì)有什么幾何表現(xiàn)呢？

• 2個(gè)向量
• 3個(gè)向量
• ....
• n個(gè)向量

1維向量之間線性相關(guān)？有意義嗎？

• 首先一維向量，都是數(shù)軸直線上的一個(gè)點(diǎn)，看不出什么幾何意義

2維向量之間線性相關(guān)

• 2個(gè)2維向量線性相關(guān)

1. 在XOY平面上的同一條直線上，方向相同或不同
2. 在XOY平面是平行關(guān)系（理論上存在，實(shí)際上xoy向量空間里沒這種向量）----我覺得向量的空間里，所有向量都是從原點(diǎn)出發(fā)的，因此，不存在有2個(gè)向量平行這種說法和可能性。所以才可以用終點(diǎn)坐標(biāo)(0,1) 這種就代表了一個(gè)向量，默認(rèn)所有向量都是從原點(diǎn)出發(fā)的。

• 3個(gè)2維向量線性相關(guān)

1. 其中1個(gè)可以線性變化為另外1個(gè)
2. 其中2個(gè)可以線性變化為另外1個(gè)，就是這2個(gè)向量可以線性相加為第3個(gè)，就是三角形關(guān)系

• 4個(gè)2維向量線性相關(guān)

1. 其中1個(gè)可以線性變化為另外1個(gè)
2. 其中2個(gè)可以線性變化為另外1個(gè)
3. 其中3個(gè)可以線性變化為另外1個(gè)，就是這3個(gè)向量可以線性相加為第4個(gè)

......

多個(gè)3維向量之間的線性相關(guān)的幾何關(guān)系就不好想象了

4.3 線性組合的意思

• 比如某向量組{v1,v2...vn}? 可以是2個(gè)，3個(gè)或更多
• 但是一般是2個(gè)向量組--組成XOY平面，而3個(gè)向量組組成XOYOZ空間
• V=span(v1,v2,....,vn) ={k1v1+k2v2+....+kb*vn}
• 也就是某向量組{v1,v2...vn} 進(jìn)行任意線性組合，其結(jié)果仍然在向量空間內(nèi)。

4.3.1 線性組合的具體方法

線性組合的方法包含如下這些：

• 加法
• 標(biāo)量乘法

4.4 線性變換(可以線性變換的矩陣之間是等價(jià)矩陣)

如果1個(gè)矩陣可以線性變換位另外一個(gè)矩陣，那么這兩個(gè)矩陣就是等價(jià)矩陣

4.4.1 線性變換內(nèi)容

• 矩陣的初等行變換與初等列變換合稱為矩陣的初等變換。
• 矩陣的初等行變換

1. 交換矩陣的兩行
2. 以一個(gè)非零數(shù)k (倍數(shù)) 乘矩陣的某一行所有元素
3. 把矩陣的某一行所有元素乘以一個(gè)數(shù)k后加到另一行對(duì)應(yīng)的元素 (倍加)

• 矩陣的初等列變換

1. 交換矩陣的兩列
2. 以一個(gè)非零數(shù)k (倍數(shù))乘矩陣的某一列所有元素
3. 把矩陣的某一列所有元素乘以一個(gè)數(shù)k后加到另一列對(duì)應(yīng)的元素 (倍加)

4.4.2 線性變換的作用舉例（作用很多，很大）

• 如果1個(gè)矩陣可以線性變換位另外一個(gè)矩陣，那么這兩個(gè)矩陣就是等價(jià)矩陣
• 可以利用線性變換求矩陣的逆矩陣，見下面增廣矩陣方法
• 線性變化，變成最簡(jiǎn)矩陣，求矩陣的秩
• 線性變化，變成上三角矩陣等等
• 線性變化，變成對(duì)角矩陣等等

4.5?線性變換（線性映射）的意義？

線性變換，指的是線性空間上，滿足

T(α+β)=T(α)+T(β)

T(kα)=kT(α)

那這和直線有什么關(guān)系？

• 見線性相關(guān)的定義，這個(gè)和成正反比例關(guān)系很大，和直線的關(guān)系也有！
• 標(biāo)量乘法：數(shù)乘運(yùn)算，可以看作直線上做伸縮+方向變換
• 加法運(yùn)算：可以用三角形法則，首位相接的形式可以來解釋，2個(gè)分段向量可以等價(jià)于1個(gè)總向量圖形上生成的還是直線。
• 這種映射把空間里原來的 直線，仍然映射成 直線，而不會(huì)“扭曲”成曲線；
• 同時(shí)保持原點(diǎn)不動(dòng)(原點(diǎn)動(dòng)的就叫“仿射變換”了…)

4.6 線性相關(guān)的其他意義

• 如果不用空間的視角，
• 比如用RGB顏色疊加的思路，加入有一種維度更高的色彩構(gòu)成比如RGBXXX
• 其實(shí)3維，4維。。。n維不過都是多個(gè)向量空間疊加而成

5 線性無(wú)關(guān)/線性獨(dú)立

5.1? 線性無(wú)關(guān)的定義

• 與前面的定義相反

5.2 線性無(wú)關(guān)有什么用呢？

線性無(wú)關(guān)最典型的例子：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-664963.html

• 向量空間的基之間都是線性無(wú)關(guān)的。（線性相關(guān)的向量無(wú)法作為線性空間的基）

6 線性代數(shù)的本質(zhì)

6.1 線性代數(shù)和普通代數(shù)的區(qū)別

• 有種說法是這樣的

1. 普通代數(shù)，就是以 單個(gè)數(shù)為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)
2. 線性代數(shù)，就是以 數(shù)組（數(shù)組/向量：把多個(gè)數(shù)當(dāng)作整體）為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)

6.2 某種意義上說，這就是線性代數(shù)的本質(zhì)？

• y=ax，是函數(shù)，y和x是單個(gè)數(shù)字
• y=Ax，是函數(shù)，也是矩陣變換，其中A是矩陣，y,x 都是向量/矩陣
• 但是本質(zhì) y=ax? 和 y=Ax 就是一回事可以統(tǒng)一起來
• 所以，線性代數(shù)，其實(shí)就是處理 向量/數(shù)組的數(shù)學(xué)，而不是處理單個(gè)數(shù)字的數(shù)學(xué)?。?/span>

6.3 對(duì)應(yīng)到EXCEL的操作，EXCEL的數(shù)組公式= 線性代數(shù)計(jì)算

• 工作表函數(shù)，公式的操作對(duì)象是1個(gè)單元格
• 數(shù)組函數(shù)，公式的操作對(duì)象是數(shù)組（多個(gè)單元格）
• 這么理解數(shù)組公式，其實(shí)是挺高級(jí)的

6.4 線性代數(shù)的核心是什么

• 核心是線性空間(向量空間)，及其線性映射
• 矩陣其實(shí)是線性變換的一個(gè)額外生造出來的輔助工具，1個(gè)類似 y=ax的參數(shù)數(shù)字a的類似的1個(gè)多維參數(shù)

6.5 線性代數(shù)是人造的，還是自然的？

• 從我的層面，我只能理解到，這是數(shù)學(xué)家們發(fā)明的一個(gè)精巧的工具，用來認(rèn)識(shí)世界和解決問題的數(shù)學(xué)工具，思考工具，計(jì)算工具
• 笛卡爾的坐標(biāo)系是一種線性坐標(biāo)系（一般是指 直角坐標(biāo)系）
• 而線性代數(shù)，在努力擺脫坐標(biāo)系的影響，其實(shí)坐標(biāo)系在線性代數(shù)里就是基，而比如向量矩陣，除了默認(rèn)的自然基 (0,1) (1,0) 這種，理論上可以有無(wú)數(shù)組非線性相關(guān)的基，也就是坐標(biāo)系可以很靈活選擇，也可以很靈活的變換，不需要非是某些特別的坐標(biāo)系。

到了這里，關(guān)于線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和整理2：什么是線性，線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān) 及 什么是線性代數(shù)？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！