目錄
0 參考的知識(shí)點(diǎn)和目錄
1 向量
1.1 向量的概念
1.2 向量如何表示
1.3 向量/矩陣的優(yōu)秀表示方法：即向量空間內(nèi)的有向線段
2 矩陣
2.1?矩陣就是多個(gè)列向量的集合/合并（& 而不是 +），矩陣就是多個(gè)列向量的一種簡(jiǎn)化書寫方式？
2.2 矩陣的加法? =等價(jià)于=? 向量的加法
2.3 矩陣的數(shù)乘? =等價(jià)于=? 向量的數(shù)乘?
2.4 矩陣的點(diǎn)乘 =等價(jià)于=? 列向量（或者行向量）的點(diǎn)乘
3 矩陣的特點(diǎn)
3.1 矩陣?yán)锊煌恢玫脑?，影響范圍是指定的有?guī)律的
3.1.1 矩陣?yán)飻?shù)字的位置和影響范圍
3.2 矩陣的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)和縮放
3.2.1 各種縮放/旋轉(zhuǎn)的矩陣效果
3.2.2 矩陣?yán)飻?shù)字的效果
0 參考的知識(shí)點(diǎn)和目錄
1 向量
1.1 向量的概念
- 向量/數(shù)組：一組有序的數(shù)
- 對(duì)應(yīng)概念
- 標(biāo)量/數(shù)：一個(gè)數(shù)字，單個(gè)的數(shù)
1.2 向量如何表示
常規(guī)的代數(shù)表示方法
- 比如，這樣的向量 [1,5]? ??[1,2,3]? ?[1,3,5,7,9]
一維的幾何方法表示
- 一般的表示方法就是
- 代數(shù)表示方法，基本就是原樣列舉： [1,2,3]? 和? [1,3,2]?
- 幾何表示，比如用坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，表示向量/數(shù)組中的多個(gè) 數(shù)字元素。但是這好像沒啥意義，只是簡(jiǎn)單的用一條線上的不同點(diǎn)，表示了這個(gè)離散的數(shù)組，而且在坐標(biāo)軸上還看不出來次序呢。
- 比如下圖，[1,2,3]? 和? [1,3,2]? 就不好區(qū)分
?二維的坐標(biāo)軸表示
- 如果是2維的，比如是2個(gè)向量呢
- 用一根數(shù)量軸表示，全疊一起了，更不行把
- 比如表示1個(gè)2維向量 [1,3]
- 比如表示2個(gè)2維向量 [1,3] 和 [2,4]
- 比如表示2個(gè)2維向量 [3,1] 和 [4,2]
方式1：
- 如果把1個(gè)向量的全部元素全部標(biāo)記在1個(gè)坐標(biāo)軸上，不但有時(shí)候沒法區(qū)分1個(gè)向量，有時(shí)候也無法區(qū)別2個(gè)向量。
方式2：
- 如果把1個(gè)向量的不同元素，映射為不同坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，那么向量本身就是成用多個(gè)坐標(biāo)軸表示的一個(gè)有向線段。
- 這個(gè)有向線段，起點(diǎn)永遠(yuǎn)是原點(diǎn)，終點(diǎn)就是向量坐標(biāo)（向量的元素）
- 只要向量的元素，或元素排序不同，最終向量的圖形顯示就會(huì)不同！
- 顯然這個(gè)表示方法更好！
1.3 向量/矩陣的優(yōu)秀表示方法：即向量空間內(nèi)的有向線段
所以數(shù)學(xué)家們選的這個(gè)向量表示方法確實(shí)很巧妙，向量空間=張成空間
- 向量空間必須有原點(diǎn)
- 所有的向量都從原點(diǎn)出發(fā)
- 每個(gè)向量都是起點(diǎn)是原點(diǎn)，終點(diǎn)就是向量坐標(biāo)（向量的元素）的一條有向線段
- 簡(jiǎn)化來看，終點(diǎn)（終點(diǎn)的坐標(biāo)組）其實(shí)就可以代表向量了
2 矩陣=向量組
某些場(chǎng)合，列向量可以基本等價(jià)于行向量。乘法時(shí)不行。
- 矩陣就是多個(gè)列向量的集合
- 矩陣就是向量組
- 矩陣就是多個(gè)列向量的簡(jiǎn)要寫法
- 矩陣完全可以拆分為多個(gè)列向量，只能用拆分為多個(gè)列向量的方法
- 反之，列向量可以合并為矩陣,只能用 and這種符號(hào)
- 因?yàn)榫仃?=? 列向量1 & 列向量2 & ..... 按順序從左到右合并的關(guān)系，而不是向量相加的關(guān)系
?
但是只能用 合并/and 來形容，而不能用加法來形如多向量合并為矩陣這個(gè)過程
矩陣 ≠ 列向量1 & 列向量2 & .....
矩陣 ≠ 列向量1+列向量2+ .....
2.1?矩陣就是多個(gè)列向量的集合/合并（& 而不是 +），矩陣就是多個(gè)列向量的一種簡(jiǎn)化書寫方式？對(duì)，矩陣就是向量組
矩陣的列向量
- 矩陣的每一列向量都代表這個(gè)方向的基底ei 走到了對(duì)應(yīng)列向量的位置。
- 比如這個(gè)矩陣??，它實(shí)際是?? 和??? 這2個(gè)列向量組成的。
- 第1個(gè)列向量??是第1個(gè)列向量對(duì)應(yīng)的基??，伸縮旋轉(zhuǎn)到??的位置
- 第2個(gè)列向量??是第2個(gè)列向量對(duì)應(yīng)的基??，伸縮旋轉(zhuǎn)到??的位置
2.2 矩陣的加法? =等價(jià)于=? 向量的加法
?簡(jiǎn)化書寫，濃縮書寫
- 矩陣是把多個(gè)列向量寫在一起的簡(jiǎn)化形式
- 也就是說以下是等價(jià)的：
- 如果把矩陣拆為多個(gè)列向量
- 矩陣相加，等于多個(gè)列向量分別相加后，再次合并為矩陣
2.3 矩陣的數(shù)乘? =等價(jià)于=? 向量的數(shù)乘?
- 如果把矩陣拆為多個(gè)列向量
- 矩陣標(biāo)量乘法，等于多個(gè)列向量分別標(biāo)量相乘后，再次合并為矩陣
2.4 矩陣的點(diǎn)乘 =等價(jià)于=? 列向量（或者行向量）的點(diǎn)乘
- 矩陣的乘法，要特別注意，左乘和右乘
- 下面是AX=b的情況
- 需要把A拆為列向量
- 矩陣乘法和列向量乘法是等價(jià)的
- 下面是XA=b的情況
- 需要把A拆為行向量（反正要靈活一點(diǎn)）
- 矩陣乘法和這里拆的行向量乘法也是等價(jià)的
3 矩陣的特點(diǎn)
3.1 矩陣?yán)锊煌恢玫脑?，影響范圍是指定的有?guī)律的
3.1.1 矩陣?yán)飻?shù)字的位置和影響范圍
- 矩陣?yán)锏臄?shù)字的位置
- 矩陣拆分為列向量
比如如果是 A*X=Y,? ?x左乘矩陣A
?
?
展開下
- ?位置在a11的元素，會(huì)影響矩陣結(jié)果的，第1行第1個(gè)元素，第2個(gè)元素
- ?位置在a12的元素，會(huì)影響矩陣結(jié)果的，第1行第1個(gè)元素，第2個(gè)元素
- 總結(jié) ：第1行元素a11,a12 只會(huì)影響結(jié)果矩陣的第1行的內(nèi)容
- ?位置在a21的元素，會(huì)影響矩陣結(jié)果的，第2行第1個(gè)元素，第2個(gè)元素
- ?位置在a22的元素，會(huì)影響矩陣結(jié)果的，第2行第1個(gè)元素，第2個(gè)元素
- 總結(jié)：第2行元素a11,a12 只會(huì)影響結(jié)果矩陣的第2行的內(nèi)容
所以
- 總結(jié) ：矩陣A第1行元素只會(huì)影響結(jié)果矩陣Y(或b)的第1行的內(nèi)容
- 總結(jié)：?矩陣A第2行元素只會(huì)影響結(jié)果矩陣Y(或b)的第2行的內(nèi)容
?
- A矩陣左上角2,只會(huì)影響b11 和b12
- A矩陣右下角3,只會(huì)影響b21 和b22?
3.2 矩陣的本質(zhì)是旋轉(zhuǎn)和縮放
3.2.1 各種縮放/旋轉(zhuǎn)的矩陣效果
- 參考前面總結(jié)得各種特殊矩陣
線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和整理7：各種特殊效果矩陣匯總_奔跑的犀牛先生的博客-CSDN博客行向量列向量[ 1 00 1]應(yīng)該很多種把[ 1 00 2][ 5 01 0][] 零矩陣正交矩陣。https://blog.csdn.net/xuemanqianshan/article/details/132390306?spm=1001.2014.3001.5502
3.2.2 矩陣?yán)飻?shù)字的效果
- 矩陣?yán)锏臄?shù)字0
- 矩陣?yán)锏臄?shù)字1，表示不進(jìn)行縮放
- 矩陣?yán)锏臄?shù)字2等，表示縮放
- 矩陣?yán)锏臄?shù)字-3? 表示縮放-3倍，并且反向
比如下面這個(gè)矩陣：?jiǎn)挝痪仃?，單位矩陣如果放左邊，就是表示?duì)矩陣的第1行元素*1，對(duì)第2行元素*1，其實(shí)就是什么都不做。
?1? 0?文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-731101.html
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到了這里，關(guān)于線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和整理6：如何表示向量/矩陣？ 矩陣就是向量組，矩陣的本質(zhì)是什么？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
