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?5? 空間的同構(gòu)
下面再談?wù)勍瑯?gòu)。線性空間千千萬，應(yīng)如何研究呢？同構(gòu)就是這樣一個強(qiáng)大的概念，任何維數(shù)相同的線性空間之間是同構(gòu)的，空間的維數(shù)是簡單而深刻的，簡單的自然數(shù)居然能夠刻畫空間最本質(zhì)的性質(zhì)。借助于同構(gòu)，要研究任意一個n維線性空間，只要研究R?就行了。
n維線性空間作為一個整體，我們自然想到能不能先研究它的局部性質(zhì)？所以自然而然的導(dǎo)出了子空間的概念以及整個空間的直和分解。直和分解要求把整個空間分解為兩兩不交的子空間之和，通過研究各個簡單的子空間的性質(zhì)，從而得出整個空間的性質(zhì)。
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6 求最簡矩陣
然而一個線性映射的矩陣在標(biāo)準(zhǔn)正交基下可能特別復(fù)雜，所以需要選擇一組特殊的基，讓它的矩陣在這個基下有最簡單的矩陣表示。如果存在這樣的基，使得線性映射的矩陣為對角矩陣，則稱這個線性映射可對角化。
然而是不是所有線性映射都可以對角化呢，遺憾的是，并不是。那么就要問，如果一個線性映射不能對角化，那么它的最簡矩陣是什么？這個問題的答案是若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型?？梢宰C明，在復(fù)數(shù)域上，任何線性映射都存在唯一的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。
1 線性代數(shù)的內(nèi)在邏輯脈絡(luò)
1.1 邏輯脈絡(luò)1 （主線？）
向量的維度
向量組的秩，和維度相關(guān)。
向量組的秩是向量組的最大線性無關(guān)組
1.2 邏輯脈絡(luò)2（主線？）
比如，如果有一種矩陣，線性變換后，仍然共線，那么這種矩陣就可以求特征值和特征向量
那怎么求呢，就是用定義求
然后這些矩陣可以求矩陣的N次方? A^n ，但是n比較大了計算就比較復(fù)雜
然后就想到，如果把A轉(zhuǎn)成對角矩陣就會比較簡單λ
λ其實就是[λ,0;0,λ] , 那么A=λ*P，這樣就把A轉(zhuǎn)化為對角矩陣了
這樣由矩陣A的特征值構(gòu)成的矩陣，這樣求A^n就快了
但是還有一個問題
AP=PA
A=PλP-
但是P-不好求
但是如果P是一個正交矩陣，就Pt=P-就很好求了
A=PλPt
因此我們要學(xué)會怎么讓矩陣正交化，施密特正交化方法等等
2? 線性代數(shù)的知識和其他知識的對應(yīng)（換一個角度看世界）
向量，矩陣的線性代數(shù)知識和其他知識的對應(yīng)
向量和矩陣的幾何表示
行列式，面積的變化比
向量的長度模
向量的正交，就是垂直，但這里定義為內(nèi)積=0，其實是另外一種垂直的定義方法
向量的加減乘除
加法，減法，就是向量線段的三角形法則
乘法的點乘、、
乘法的叉乘
向量的點乘
向量的叉乘，
向量的叉乘直接就是面積公式
角度公式
好像也可以用向量的方法來求
3 數(shù)學(xué)/線性代數(shù)里，其實很多東西的求得都有多種解決辦法
很多概念，界定狠清晰，但是不好求
多種方法，拓寬思維
方法1：按定義直接去求解
方法2：按
2 比如求逆矩陣
概念方法，線性變化
增廣矩陣
其他方法
分塊矩陣
伴隨矩陣
|A|=0
3 求矩陣的秩
4 求方程組的解的好方法
直接可以用行列式的方法求解啊
1.2 有沒有其他方法呢？有：比如2階行列式方法
因為二階行列式的公式求值如下
所以二元方程組的求解也可以用行列式寫成
1.3? 3階行列式
- 如果 |A|≠0 ,則，矩陣A滿秩，矩陣A可逆
3.3 行列式的意義和作用呢？
- 作用1：快速解出，多元方程組的解
- 作用2：通過矩陣的余子式的轉(zhuǎn)置等計算，矩陣的逆矩陣
3.4 行列式的結(jié)果（是1個標(biāo)量）的作用
行列數(shù)的值代表 有向面積的變化率/變化倍數(shù)
行列式的值（結(jié)構(gòu)）的作用
|A| =|AT| ? 矩陣和對應(yīng)轉(zhuǎn)置矩陣的行列式相等
如果 |A|≠0 ,則，矩陣A滿秩，矩陣A可逆
如果 |A|=0 ，那么就是說至少有兩個向量在變換之后，共線了。參考[1,1;1,1] 矩陣的效果
如果 |A|>0 ，正值表示方向相同
如果 |A|<0 ，負(fù)值代表著翻面了，方向相反，相對位置發(fā)生了調(diào)換
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版權(quán)聲明：本文為CSDN博主「奔跑的犀牛先生」的原創(chuàng)文章，遵循CC 4.0 BY-SA版權(quán)協(xié)議，轉(zhuǎn)載請附上原文出處鏈接及本聲明。
原文鏈接：https://blog.csdn.net/xuemanqianshan/article/details/132390299
定理
有解的判斷
- 對于線性方程組 Ax=b，如果系數(shù)矩陣A和秩 = 增廣矩陣B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解
- Ax=y
- 矩陣Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]
- rank(x) =n? ?單個一維向量，不存在線性相關(guān)問題，所以 n 代表定義域X的秩
- rank(b)=m? ?單個一維向量，不存在線性相關(guān)問題
- 因此，A的零空間?rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因為值域 rank(b)=m其實被rank(A) 所決定。但是值域的秩，為啥不直接用 rank(b) 呢？
- 而?rank(null(A)) 實際就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n)
解的個數(shù)的判斷
- 對于線性方程組 Ax=b，如果系數(shù)矩陣A和秩 = 增廣矩陣B（B=A|b）的秩，并且
- 如果A是m*n的矩陣，其中n是X的秩。
- m，n 的相對大小不定，m (> or < or =) n
- rank(A) =rank(A|b)=n (n=rank(X)=A滿秩時列向量個數(shù))?，就有唯一解?
- rank(A) =rank(A|b)<n?(n=rank(X)=A滿秩時列向量個數(shù))，就有無數(shù)解
滿秩矩陣有唯一解
定理
有解的判斷
對于線性方程組 Ax=b，如果系數(shù)矩陣A和秩 = 增廣矩陣B（B=A|b）的秩，也就是rank(A) =rank(B)那么就有解
解的個數(shù)的判斷
對于線性方程組 Ax=b，如果系數(shù)矩陣A和秩 = 增廣矩陣B（B=A|b）的秩，并且
如果A是m*n的矩陣，其中n是A的列向量的個數(shù)。
rank(A) =rank(B)=n (A的列向量的個數(shù)) ，就有唯一解?
rank(A) =rank(B)<n (A的列向量的個數(shù)) ?，就有無數(shù)解
滿秩矩陣有唯一解
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版權(quán)聲明：本文為CSDN博主「奔跑的犀牛先生」的原創(chuàng)文章，遵循CC 4.0 BY-SA版權(quán)協(xié)議，轉(zhuǎn)載請附上原文出處鏈接及本聲明。
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7 秩零定理
- Ax=y
- 矩陣Am*n， 而Xn*1=[x1,x2....xn] ，bm*1=[b1,b2....bm]
- rank(x) =n? ?單個一維向量，不存在線性相關(guān)問題，所以 n 代表定義域X的秩
- rank(b)=m? ?單個一維向量，不存在線性相關(guān)問題
- 因此，A的零空間?rank(A)<=min(m,n) ,rank(A) 代表值域的秩，因為值域 rank(b)=m其實被rank(A) 所決定。但是值域的秩，為啥不直接用 rank(b) 呢？
- 而?rank(null(A)) 實際就是 rank(Ax=0），所以 rank(null(A))<=min(m,n)
形式1
- rank(值域)+rank(null(A)) = rank(定義域)
- rank(A)+rank(null(A))=n
形式2
7 秩零定理
對于矩陣Am*n，其中n 是A的列向量個數(shù)
形式1
rank(值域)+rank(null(A)) = rank(定義域)
rank(A)+rank(null(A))=n
形式2
rank(定義域)>=rank(值域)
rank(定義域)--rank(null(A))=rank(值域)
n-rank(null(A))=rank(A)
8 其他知識點
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到了這里，關(guān)于線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和整理15：線性代數(shù)的快速方法的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
