矩陣與向量相乘

part I 矩陣與向量的乘法：

矩陣x向量（注：可以把列向量看成是nx1的矩陣）

????????現(xiàn)有如下方程組：?

9個系數(shù)，3個未知數(shù)，等式右邊有3個數(shù)

????????上述方程組可用矩陣的方式改寫成，一個系數(shù)矩陣A與一個未知數(shù)向量x的乘積，乘積的結果等于右端向量b：

現(xiàn)在我們分別用兩種方法，行乘和列乘來計算系數(shù)矩陣A和未知數(shù)向量x的乘法。

第一種方法，行乘：用A矩陣中的每一行row去乘以x，如下

????????這種計算方法得到的結果，正好是原始方程組中的第一個方程。依此類推，也就是用A矩陣中的第二，第三行，逐一與向量x相乘，就能得到原始方程。

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????????一個1xn的行向量乘以一個nx1的列向量是一個非?；镜牟僮?，他會得到一個數(shù)1x1。這個算法又叫矩陣的內(nèi)積（Inner product）。例如，用A中的第一行[2 1 1]乘以另外一個列向量[1 1 2]，得到的就是一個數(shù)[5]。

另一種方法就是，列乘：把b看成是A中各列（column）與未知數(shù)向量x線性組合的結果，其中，u,v,w分別代表了矩陣A中第1，2，3列所對應的權重。

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????????這種計算方法是首選，也是學習線性代數(shù)該有的視角(強烈推薦)。因為他是在用線性組合的方式來看問題。（在后面的學習中，我們會用空間Space這種更高的視角來看Ax=b。）就好像我在另外一篇自己的學習總結中寫的那樣，學習線性代數(shù)的重點，不應該是只學習如果求解Ax=b，而是去學習如果表達Ax=b。?

矩陣與矩陣相乘

part II 矩陣與矩陣的乘法：

? ? ? ? 有了前面的基礎知識，我們就應該擯棄早年學習線性代數(shù)時，早已形成的那種，用A中的逐行乘以列的方式計算Ax，“一頭扎進”列向量的線性組合的視角。矩陣與矩陣相乘分為矩陣的左(前)乘與矩陣的右(后)乘，矩陣的右(后)乘即為對矩陣的列操作，而矩陣的左(前)乘即為矩陣的行操作 。

矩陣的右(后)乘：矩陣B右乘矩陣A，AB

????????矩陣B右乘矩陣A。首先，把矩陣B看成一個個列向量,......，其次，把這些列向量看成對A中各列線性組合的列權重，即，。（牢記口訣：后乘矩陣，列操作。）

矩陣的左(前)乘：矩陣B左乘矩陣A，BA

????????矩陣B左乘矩陣A。首先，把矩陣B看成一個個行向量,,...，其次，把這些行向量看成對A中各行線性組合的行權重，即，。（牢記口訣：前乘矩陣，行操作。）

（全文完）?

---作者，松下J27

參考文獻(鳴謝)：

????????1,Linear Algebra and Its Applications, Forth edition ---? Gibert Strang(page 21)

????????2,線性代數(shù)及其應用 --- 侯自新，南開大學出版社，1990年

格言摘抄：

????????「她許多的罪都赦免了，因為她的愛多；但那赦免少的，他的愛就少?！?--出自圣經(jīng)，路加福音7章47節(jié)

本文于2023年6月24日做了修改與更新，望大家喜歡。

（配圖與本文無關）?

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