本系列文章將從下面不同角度解析線性代數(shù)的本質(zhì)，本文是本系列第二篇
向量究竟是什么？
向量的線性組合，基與線性相關(guān)
矩陣與線性相關(guān)
矩陣乘法與復(fù)合線性變換
三維空間中的線性變換
行列式
逆矩陣，列空間，秩與零空間
克萊姆法則
非方陣
點(diǎn)積與對偶性
叉積
以線性變換眼光看叉積
基變換
特征向量與特征值
抽象向量空間
快速計(jì)算二階矩陣特征值
張量，協(xié)變與逆變和秩
矩陣乘法與復(fù)合線性變換
我們已經(jīng)知道矩陣是一種線性變換，現(xiàn)在對基向量連續(xù)施加兩種線性變換，例如，先旋轉(zhuǎn)，再剪切，其實(shí)，這在整體上可以看作是一種新的變換，這個新的變換被稱為前兩種獨(dú)立變換的“復(fù)合變換”。
這個復(fù)合變換的矩陣可以通過追蹤基向量的坐標(biāo)得到，如上圖所示，變換后的
i
?
\vec{i}
i坐標(biāo)
[
1
1
]
\begin{bmatrix} 1\\ 1 \end{bmatrix}
[11?]，變換后的
j
?
\vec{j}
j?坐標(biāo)
[
?
1
0
]
\begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix}
[?10?]，那么該復(fù)合變換矩陣就可以表示為：
[
1
?
1
1
0
]
\begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}
[11??10?]，當(dāng)我們求一個向量經(jīng)過復(fù)合變換后的坐標(biāo)時，可以通過下圖右邊公式那樣直接使用復(fù)合變換矩陣，而不需要像下圖左邊那樣對向量連續(xù)施加兩次單獨(dú)的變換。
更一般地，對于矩陣乘法，我們就有了新的認(rèn)識：他的幾何意義是先施加一個變換，再施加另一個變換，施加順序從右到左，順序不同得到的結(jié)果也不同。
推廣到更一般地?cái)?shù)學(xué)含義： g ( f ( x ) ) g( f( x)) g(f(x))
根據(jù)前面章節(jié)學(xué)習(xí)到的知識，要想求線性變換對向量的作用，首先要得到變換后的基向量的坐標(biāo)，讓我們來看一個例子，假設(shè)連續(xù)施加兩個線性變換
M
1
M_{1}
M1?和
M
2
M_{2}
M2?。
要想跟蹤
i
?
\vec{i}
i的去向，先看
M
1
M_{1}
M1?的第一列，這是經(jīng)過
M
1
M_{1}
M1?變換后
i
?
\vec{i}
i首先到達(dá)的地方：
[
e
g
]
\begin{bmatrix} e\\ g \end{bmatrix}
[eg?]，然后新的
i
?
\vec{i}
i要經(jīng)過
M
2
M_{2}
M2?的變換后到達(dá)最終目的地：
該結(jié)果作為復(fù)合矩陣的第一列，
j
?
\vec{j}
j?經(jīng)過同樣的變換過程到達(dá)最終目的地，結(jié)果為復(fù)合變換矩陣第二列，復(fù)合變換的最終結(jié)果為：
看，這不就是課堂上老師教的矩陣乘法計(jì)算規(guī)則嘛，只不過我們是從幾何的角度推出來的。
大家可以從幾何的角度來自行分析一下矩陣乘法的法則：
交換律： M 1 M 2 ≠ M 2 M 1 M_{1} M_{2} \neq M_{2} M_{1} M1?M2?=M2?M1?
結(jié)合率：(AB)C=A(BC)
三維空間中的線性變換
前面一直在討論二維情況，也就是將二維向量映射成二維向量，其實(shí)，只要掌握了二維線性變換的核心本質(zhì)，就能輕松的擴(kuò)展到更高維的空間中。
三維空間變換以三維向量為輸入，以三維向量為輸出，和二維向量一樣，一個線性變換是在操縱三維空間中所有的點(diǎn)，變換后保持空間中網(wǎng)格線等距且原點(diǎn)不變。
與二維一樣，三維線性變換也是由基向量的去向完全決定，只不過基向量由 i ? \vec{i} i， j ? \vec{j} j?變成了 i ? \vec{i} i， j ? \vec{j} j?, k ? \vec{k} k,例如，我們得到變換后三個基向量的坐標(biāo)，那么由三個新的基向量組成矩陣就是三維線性變換矩陣 [ 1 1 1 0 1 0 ? 1 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix} ?10?1?110?101? ?。
要想計(jì)算一個向量經(jīng)過上面的三維變換后的新坐標(biāo)，同樣可以參照二維空間的計(jì)算方式，結(jié)果向量是基向量的線性組合。
同理兩個三維矩陣的相乘也可以合并成一個復(fù)合變換矩陣，三維變換在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。
三維矩陣的乘法同樣遵循二維矩陣乘法的思路。
行列式
前面我們從幾何的角度對線性變換有了很直觀的認(rèn)識，其中有的線性變換對空間向外拉伸，有的則是將空間向內(nèi)擠壓。
向內(nèi)擠壓
向外拉伸
有一種方法對于理解這些線性變換很有用，那就是準(zhǔn)確測量向內(nèi)擠壓了多少，向外拉伸了多少，更具體地講就是計(jì)算出一個區(qū)域增大或減少的比例。
讓我們來看一個例子，假設(shè)一個線性變換矩陣 [ 3 0 0 2 ] \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix} [30?02?]，變換前基向量形成的四邊形面積為1。
變換后，如下圖，基向量形成一個2*3的矩形，面積為6
所以我們說這個變換將基向量形成的方格拉伸了6倍，根據(jù)線性變換的性質(zhì)，如下圖，所有可形成的區(qū)域都被拉伸了同樣的大小。
現(xiàn)在，我們要拋出一個重磅信息：這個面積的變化的比例值就是該線性變換矩陣的行列式，這就是行列式的幾何意義。
如果行列式值大于1，則代表該線性變換矩陣將一個區(qū)域進(jìn)行拉伸，大于0且小于1的數(shù)代表縮小，負(fù)數(shù)代表反方向縮放。
注意，如果一個線性變換矩陣的行列式為0，則代表該變換將一個區(qū)域壓縮成了一條線或者是一個點(diǎn)，從幾何意義上講，也就是說該變換將空間壓縮到了更小的維度上，這在我們后面判斷線性方程組是否有解提供了重要依據(jù)。
同理，三維線性變換的行列式代表的則是體積的變換比例，如下圖，一個以初始基向量形成的111的立方體經(jīng)過線性變換后該體積變成了如下圖的大小。
三維變換矩陣的行列式為0，代表空間被壓縮成了一個面，或者一個點(diǎn)，如果行列式是負(fù)數(shù)，說明空間定向已經(jīng)發(fā)生改變，不能用右手定則描述基向量之間的關(guān)系。
前面說了行列式的幾何意義，那如何求一個矩陣的行列式呢？
上圖是一個行列式的計(jì)算公式，那它的幾何意義是什么呢？如下圖，假設(shè)給定一個特殊矩陣 [ a 0 0 d ] \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & d \end{bmatrix} [a0?0d?]， i ? \vec{i} i被縮放了a倍， j ? \vec{j} j?被縮放了d倍，變換前后面積縮放了ad倍，這正符合行列式計(jì)算公式的結(jié)果。
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-785771.html
前面我們給出了一個特殊的例子，但推廣到更一般的矩陣，也是滿足上面公式的。
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-785771.html
到了這里，關(guān)于線性代數(shù)本質(zhì)系列（二）矩陣乘法與復(fù)合線性變換，行列式，三維空間線性變換的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
