一、通過矩陣乘法得到的線性方程組和原來的線性方程組同解嗎？

如果你進(jìn)行的矩陣乘法涉及一個(gè)線性方程組 Ax = b，并且你乘以一個(gè)可逆矩陣 M，且產(chǎn)生新的方程組 M(Ax) = Mb，那么這兩個(gè)系統(tǒng)是等價(jià)的；它們具有相同的解集。這是因?yàn)榭赡婢仃嚨某朔梢砸暈橐粋€(gè)可逆的線性變換，不會(huì)改變方程解的存在性或唯一性。

換句話說，如果你將原始系數(shù)矩陣 A 通過左乘以一個(gè)可逆矩陣 M 來轉(zhuǎn)換成 MA，且同樣將常數(shù)項(xiàng)向量 b 轉(zhuǎn)化為 Mb，那么新的線性方程組 MAx = Mb 與原始的 Ax = b 同解，因?yàn)槟憧梢酝ㄟ^乘以 M 的逆矩陣 M?1 來恢復(fù)原始的方程組。

也就是說，如果 M 是可逆的，那么兩個(gè)方程組是等價(jià)的，解 x 是不變的。不過值得注意的是，解不會(huì)變，但是方程組的表現(xiàn)形式（系數(shù)矩陣）會(huì)變。

如果 M 不是可逆的，或者說是奇異的，那么矩陣乘法會(huì)改變方程組的解集。在實(shí)踐中，我們通常尋找可逆的變換，以保持方程組的解不變?？偟膩碚f，在應(yīng)用矩陣乘法和其他類型的變換時(shí)，理解矩陣操作如何影響線性方程組的解是非常重要的。

二、矩陣與表示線性方程組的增廣矩陣相乘得到的增廣矩陣表示的線性方程組，與最初的線性方程組同解嗎？

矩陣與代表線性方程組的增廣矩陣相乘得到的增廣矩陣表示的線性方程組的解是否相同依賴于所用的矩陣是不是可逆的。

如果你使用一個(gè)可逆矩陣 P 與線性方程組 Ax = b 的增廣矩陣 [A | b] 相乘，即計(jì)算 PAx = Pb，且 P 為方程組系數(shù)矩陣 A 同階的可逆矩陣，那么新的增廣矩陣所表示的線性方程組將與原始的線性方程組具有相同的解集。這是因?yàn)樽蟪艘粋€(gè)可逆矩陣相當(dāng)于在原有方程上應(yīng)用了一個(gè)可逆的行變換。

可逆的行變換包括：

1. 交換兩行（對(duì)應(yīng)于乘以一個(gè)置換矩陣）。
2. 用非零常數(shù)乘以一行（對(duì)應(yīng)于乘以一個(gè)對(duì)角矩陣，且對(duì)角線上只有一個(gè)元素不為1）。

3. 將一行的非零倍加到另一行上（對(duì)應(yīng)于乘以一個(gè)特殊形式的上（下）三角矩陣）。

行變換不改變方程組的解。因此，通過這樣的變換得到的新系數(shù)矩陣 PA 和新的常數(shù)項(xiàng) Pb 組成的新的增廣矩陣所代表的線性方程組與原方程組是等價(jià)的。

然而，如果所用的矩陣 P 不是可逆的，那么對(duì)增廣矩陣的乘法可能會(huì)改變?cè)匠痰慕饧?。此時(shí)，新的方程組可能與原始的方程組不再等價(jià)。

三、什么矩陣是不可逆的？即什么矩陣與表示線性方程組的增廣矩陣相乘得到的增廣矩陣表示的線性方程組，與最初的線性方程組不同解？

不可逆矩陣，也稱為奇異矩陣，是指那些沒有逆矩陣的矩陣。一個(gè)方陣是不可逆的當(dāng)且僅當(dāng)其行列式為零或者它不是滿秩的（即矩陣的行或列之間線性相關(guān)）。不可逆矩陣也不能作為其他矩陣的逆矩陣存在。

如果你用一個(gè)不可逆（奇異）矩陣與一個(gè)表示線性方程組的增廣矩陣相乘，你得到的新的增廣矩陣所表示的線性方程組可能會(huì)有不同的解集，或者可能根本沒有解。這是因?yàn)椴豢赡婢仃嚨某朔赡軙?huì)改變?cè)匠滔到y(tǒng)的列空間或零空間，可能會(huì)導(dǎo)致信息的丟失，從而改變解的結(jié)構(gòu)。

例如，考慮奇異矩陣 M 和一個(gè)線性方程組 Ax = b，其中 A 是系數(shù)矩陣，x 是變量向量，b 是常數(shù)向量。如果我們將 M 乘以 A 和 b 創(chuàng)建新的方程組 MAx = Mb，新的系數(shù)矩陣 MA 可能減少了行的數(shù)目（即行之間線性相關(guān)），這直接改變了解的性質(zhì)。

一些特征表明矩陣是不可逆的：

1. 行列式為零。
2. 矩陣不是滿秩的（行秩或列秩小于矩陣的階數(shù)）。
3. 矩陣的行或列向量之間存在線性相關(guān)性。

4. 矩陣有零特征值，也就是說，存在非零向量 v 使得 Av = 0，其中 A 是不可逆矩陣。

在實(shí)際操作中，我們通常通過計(jì)算矩陣的行列式或者嘗試找到它的逆矩陣來檢驗(yàn)矩陣是否可逆。當(dāng)處理線性方程組時(shí)，一個(gè)常用的方法是通過行操作（如行交換、行相加、數(shù)乘行）來將系數(shù)矩陣變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形式，這可以幫助我們確定方程組的解集。如果通過這些操作得到了多余的約束（例如，出現(xiàn)了類似于 0x = 1 這樣的不可能的方程），或者發(fā)現(xiàn)方程有無限多解（系數(shù)矩陣的秩小于變量的數(shù)量），那么這會(huì)指出原始矩陣是不可逆的。?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-774950.html

代碼：

import numpy as np

# 定義矩陣A和B
matrix_A = np.array([[1, -1], [1, -1]])
matrix_B = np.array([[1, 2, 5], [3, 4, 11]])

# 計(jì)算矩陣乘積
result = np.dot(matrix_A, matrix_B)

# 打印結(jié)果
print(result)

# 計(jì)算行列式
determinant = np.linalg.det(matrix_A)

# 輸出行列式的結(jié)果
print("行列式為:", determinant)

運(yùn)行結(jié)果：

[[-2 -2 -6]
 [-2 -2 -6]]
行列式為: 0.0

到了這里，關(guān)于【線性代數(shù)】通過矩陣乘法得到的線性方程組和原來的線性方程組同解嗎？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！