????????相機(jī)系列文章是用來記錄使用opencv3來完成單目相機(jī)和6軸機(jī)械臂手眼標(biāo)定。本人吃飯的主職是linux下6軸機(jī)械臂相關(guān)應(yīng)用開發(fā)。但對(duì)于機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)學(xué)、相機(jī)應(yīng)用等都非常感興趣，所以對(duì)一些線性代數(shù)基礎(chǔ)薄弱又想深入了解機(jī)械臂內(nèi)部運(yùn)算的同志比較有體會(huì)。由于是探索性學(xué)習(xí)，所以文章并沒有太多規(guī)律而言，更像是技術(shù)路線調(diào)整，但這更貼近實(shí)際。探索事物本質(zhì)是快樂的，強(qiáng)者不是天生的，而是學(xué)習(xí)思考來的。
最近參與了3D相機(jī)應(yīng)用項(xiàng)目，與同事交流下又對(duì)機(jī)械臂運(yùn)行學(xué)有了新的理解，像是一層窗戶紙被捅破了，最終感覺就是算矩陣。
一、相機(jī)四個(gè)坐標(biāo)系
世界坐標(biāo)系、相機(jī)坐標(biāo)系、圖像坐標(biāo)系、像素坐標(biāo)系。
相機(jī)將三維世界中的坐標(biāo)點(diǎn)(單位是m)映射到二維圖像平面(單位為像素)的過程可用一個(gè)幾何模型進(jìn)行描述。模型有很多種，最簡單的是針孔模型，即小孔成像。
上圖中O為相機(jī)的光心，也是針孔模型中的針孔。現(xiàn)實(shí)世界的空間點(diǎn)P，經(jīng)過小孔O投影后，落在物理成像平面O’-x’-y’上，成像點(diǎn)為P’。設(shè)P的坐標(biāo)位[X, Y, Z]T，P’為[X’, Y’, Z’]T，設(shè)物理成像平面到小孔的距離為f(焦距)，則根據(jù)三角形相似，得 ? ?
Z/f = -X/X’ = -Y/Y’
其中負(fù)號(hào)代表成像是倒立的。但實(shí)際應(yīng)用中圖像并不是倒像(否則相機(jī)的使用會(huì)非常不便)。為了讓模型更符合實(shí)際，可以等價(jià)的將成像平面對(duì)稱的放在相機(jī)前方，和三維空間點(diǎn)一起放在相機(jī)坐標(biāo)系的同一側(cè)。如圖，這樣可以將公式中負(fù)號(hào)去掉，則：
Z/f = X/X’ = Y/Y’????????????????????????????????????????????????????? ......(1)式
整理得：
X’ = fX/Z
Y’ = fY/Z
上式描述了P點(diǎn)和它成像之間的空間關(guān)系，這里所有單位都可以理解成米。但在相機(jī)中我們獲得的是一個(gè)個(gè)的像素，所以還需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)換。
##1、像素坐標(biāo)系
設(shè)在成像平面上像素坐標(biāo)系o-x-y，則在像素平面得到P’的像素坐標(biāo)：[u, v]T。
像素坐標(biāo)系通常定義為：原點(diǎn)o’位于圖像左上角，u軸向右與x軸平行，v軸向下與y軸平行，則像素坐標(biāo)系與成像平面之間相差一個(gè)縮放與一個(gè)原點(diǎn)平移。設(shè)像素坐標(biāo)在u軸上縮放α倍，在u軸上縮放β倍；原點(diǎn)平移了[cx, cy]T，則P’(圖像坐標(biāo))坐標(biāo)與像素坐標(biāo)[u, v]的關(guān)系為：
u = αX’ + cx ? ?
v = βY’ + cy
與(1)式聯(lián)立，令αf為fx，βf為fy，得
u = αfxX/Z + cx
v = βfyY/Z + cy
上式f單位為m，α和β單位為像素/米，則fx、fy、cx、cy的單位為像素。將上式攜程矩陣形式，左側(cè)是齊次坐標(biāo)，右側(cè)是非齊次：
則：
??? 
讓人快樂的消息是中間這個(gè)3×3矩陣正是被稱為相機(jī)內(nèi)參的矩陣。通常認(rèn)為相機(jī)內(nèi)參在出廠后?固定的，不會(huì)再使用過程中發(fā)生變化。
OK，接下來就是外參。上式中P的坐標(biāo)是基于相機(jī)坐標(biāo)系的，但實(shí)際上由于相機(jī)在運(yùn)動(dòng)，所以P的相機(jī)坐標(biāo)應(yīng)該是它的世界坐標(biāo)(Pw)根據(jù)相機(jī)當(dāng)前的姿態(tài)變換到相機(jī)坐標(biāo)系下的結(jié)果。相機(jī)位姿由它的旋轉(zhuǎn)矩陣和R和平移矩陣t來描述(這塊之后再細(xì)說)。則：
注意后式隱含了一次齊次到非齊次的轉(zhuǎn)換(么看出來)。它描述了P的世界坐標(biāo)到相機(jī)坐標(biāo)的投影關(guān)系。其中，相機(jī)的位姿R,t又稱為相機(jī)的外參數(shù)。相比不變的內(nèi)參，外參會(huì)隨著相機(jī)的運(yùn)動(dòng)發(fā)生改變。 ? ?
《視覺SLAM十四講》第二版，P123
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