復(fù)數(shù)矩陣

矩陣 $A$ 的元素 $a_{ij}\in \mathbb{C}$ ，稱為復(fù)矩陣?，F(xiàn)將實(shí)數(shù)矩陣的一些概念推廣到復(fù)數(shù)矩陣，相應(yīng)的一些性質(zhì)在復(fù)數(shù)矩陣同樣適用。

定義：設(shè)復(fù)矩陣 $A=(a_{ij}{)}_{m\times n}$

1. 矩陣 $\bar{A}=(\overline{a_{ij}})$ 稱為矩陣 $A$ 的共軛矩陣.
2. 矩陣 $A^H={\bar{A}}^T$ 稱為矩陣 $A$ 的共軛轉(zhuǎn)置，又叫Hermite轉(zhuǎn)置。
3. 若 $A^H=A$，則稱 $A$ 為 Hermitian 矩陣，是實(shí)數(shù)域?qū)ΨQ陣的推廣。
4. 若 $A^{H}A=A{A}^H=I$，即 $A^{?1}=A^H$ ，則稱 $A$ 為酉矩陣(unitary matrix)，是實(shí)數(shù)域正交陣的推廣。
5. 復(fù)向量長(zhǎng)度 $\Vert \mathbf{z}{\Vert }^2=|z_1{|}^2+|z_1{|}^2+?+|z_n{|}^2$
6. 內(nèi)積 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}={\bar{u}}_1{v}_1+{\bar{u}}_2{v}_2+?+{\bar{u}}_n{v}_n$
7. 正交 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}=0$

性質(zhì)：

• $\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}$
• $\overline{kA}=\bar{k}\bar{A}$
• $\overline{AB}=\bar{A}\bar{B}$
• $(AB{)}^H=B^H{A}^H$
• 內(nèi)積滿足共軛交換率 ${\mathbf{u}}^H\mathbf{v}=\overline{{\mathbf{v}}^H\mathbf{u}}$
• Hermitian 矩陣可正交對(duì)角化 $A=P\Lambda P^{?1}=P\Lambda P^H$
• Hermitian 矩陣的每個(gè)特征值都是實(shí)數(shù)

附錄

極大線性無(wú)關(guān)組

由向量組線性相關(guān)的定義，容易得到以下結(jié)論：

(1) 向量組線性相關(guān)$?$向量組中存在向量能被其余向量線性表示。
(2) 向量組線性無(wú)關(guān)$?$向量組中任意一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示。

線性等價(jià)：給定兩個(gè)向量組
$$\begin{gathered} {\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_r \\ {\mathbf{b}}_1,{\mathbf{b}}_2,?,{\mathbf{b}}_s \end{gathered}$$
如果其中的每個(gè)向量都能被另一個(gè)向量組線性表示，則兩個(gè)向量組線性等價(jià)。

例如，向量組 $\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 與向量組 $\mathbf{a},\mathbf{b}$ 線性等價(jià)。

極大線性無(wú)關(guān)組：從向量組 $A$ 中取$r$ 個(gè)向量組成部分向量組 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_r$ ，若滿足

(1) 部分向量組 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_r$ 線性無(wú)關(guān)
(2) 從$A$ 中任取$r+1$個(gè)向量組成的向量組 都線性相關(guān)。

則稱向量組 ${\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,?,{\mathbf{a}}_r$ 為極大線性無(wú)關(guān)組(maximum linearly independent group)。極大線性無(wú)關(guān)組包含的向量個(gè)數(shù)為向量組的秩。

性質(zhì)：

(1) 一個(gè)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組不一定是惟一的；
(2) 一個(gè)向量組與它的極大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的；
(3) 一個(gè)向量組的任意兩個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組中包含的向量個(gè)數(shù)相同，稱為向量組的秩(rank)。全由零向量組成的向量組的秩為零；
(4) 兩個(gè)線性等價(jià)的向量組的秩相等；
(5) 兩個(gè)等價(jià)的向量組生成的向量空間相同。

向量叉積

平面叉積
$$\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}{w}_1\\ w_2\end{array}\right]=\det \left[\begin{array}{cc}{v}_1& w_1\\ v_2& w_2\end{array}\right]$$
大小等于 $v,w$ 圍成的平行四邊形的面積

三維叉積
[ v 1 v 2 v 3 ] × [ w 1 w 2 w 3 ] = det ? [ i v 1 w 1 j v 2 w 2 k v 3 w 3 ] \begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}\mathbf i & v_1 & w_1\\\mathbf j & v_2 & w_2 \\\mathbf k & v_3 & w_3 \end{bmatrix} ?v1?v2?v3?? ?× ?w1?w2?w3?? ?=det ?ijk?v1?v2?v3??w1?w2?w3?? ?
大小等于 $v,w$ 圍成的平行六面體的體積，方向遵循右手定則。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-772979.html

到了這里，關(guān)于線性代數(shù)的本質(zhì)(十一)——復(fù)數(shù)矩陣的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！