????????效用（Utility），是經(jīng)濟(jì)學(xué)中最常用的概念之一。效用：消費(fèi)者擁有或消費(fèi)商品或服務(wù)對(duì)欲望的滿足程度被稱為商品或服務(wù)的效用。一種商品或服務(wù)效用的大小取決于消費(fèi)者的主觀心理評(píng)價(jià)，由消費(fèi)者欲望的強(qiáng)度所決定。?經(jīng)濟(jì)學(xué)家用它來解釋有理性的消費(fèi)者如何把他們有限的資源分配在能給他們帶來最大滿足的商品上。在維多利亞女王時(shí)代，哲學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家曾經(jīng)輕率的將效用當(dāng)做一個(gè)人整個(gè)福利指標(biāo)。效用一度被認(rèn)為是個(gè)人快樂的數(shù)學(xué)測度。

——百度百科

????????以一個(gè)簡單的實(shí)物交換的例子來理解效用

????????甲有面包若干，乙有香腸若干。二人共進(jìn)午餐時(shí)希望相互交換一部分，達(dá)到雙方滿意的結(jié)果。這種實(shí)物交換問題可以出現(xiàn)在個(gè)人之間或國家之間的各種類型的貿(mào)易市場上。顯然，交換的結(jié)果取決于雙方對(duì)兩種物品的偏愛程度，而偏愛程度很難給出確切的定量關(guān)系，我們用作圖的方法對(duì)雙方將如何交換實(shí)物建立一個(gè)模型。

????????設(shè)交換前甲占有物品??的數(shù)量為 ??，乙占有物品??的數(shù)量為??，交換后甲占有物品??和??的數(shù)量分別為 ?和??。于是乙占有??和??的數(shù)量為??和??。
這樣在??平面直角坐標(biāo)系上，長方形??內(nèi)任一點(diǎn)的坐標(biāo)??都代表了一種交換方案(圖1)。

???????

????????用無差別曲線描述甲對(duì)物品 和 的偏愛程度。如果占有??數(shù)量的 ?和 ?數(shù)量的?（圖1中的? 點(diǎn) ）與占有??數(shù)量的 ?和 ?數(shù)量的?（圖1中的??點(diǎn))，對(duì)甲來說是同樣滿意的話，稱??和??對(duì)甲是無差別的?；蛘哒f??與??相比，甲愿意以??的減少??換取??的增加??。所有與?，?具有同樣滿意程度的點(diǎn)組成一條甲的無差別曲線??，而比這些點(diǎn)的滿意程度更高的點(diǎn)如??則位于另一條無差別曲線??上。這樣，甲有無數(shù)條無差別曲線，不妨將這族曲線記作

（1）

?????????稱為滿意度，隨著??的增加，曲線向右上方移動(dòng)。按照常識(shí)，無差別曲線應(yīng)是下降的（單調(diào)遞減）、下凸的（導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增或者二階導(dǎo)函數(shù)大于0）和互不相交的（否則交點(diǎn)處則代表了一個(gè)方案有不同滿意度）.

????????同樣，乙對(duì)物品??和??也有一族無差別曲線，記作

（2）

????????不管無差別曲線是否有解析表達(dá)式，每個(gè)人都可根據(jù)對(duì)兩種物品的偏愛程度用曲線表示它們，為用圖解法確定交換方案提供了依據(jù)

????????為得到雙方滿意的交換方案,將雙方的無差別曲線族畫在一起。圖2中甲的無差別曲線族??如圖1，而乙的無差別曲線族??原點(diǎn)在??，?軸均反向，于是當(dāng)乙的滿意度 ? 增加時(shí)無差別曲線向左下移動(dòng)。這兩族曲線的切點(diǎn)連成一條曲線??，圖中用點(diǎn)線表示?？梢詳嘌裕?strong>雙方滿意的交換方案應(yīng)在曲線??上，?稱交換路徑。這是因?yàn)椋僭O(shè)交換在??以外的某一點(diǎn)??進(jìn)行，若通過p’的甲的無差別曲線與??的交點(diǎn)為?，甲對(duì)??和??的滿意度相同，而乙對(duì)??的滿意度高于??，所以雙方滿意的交換不可能在??進(jìn)行。

????????有了雙方的無差別曲線，交換方案的范圍可從整個(gè)長方形縮小為一條曲線??，但仍不能確定交換究竟應(yīng)在曲線??上的哪一點(diǎn)進(jìn)行。顯然，越靠近??端甲的滿意度越高而乙的滿意度越低，靠近??端則反之。要想把交換方案確定下來，需要雙方協(xié)商或者依據(jù)雙方同意的某種準(zhǔn)則，如等價(jià)交換準(zhǔn)則。

????????等價(jià)交換準(zhǔn)則是指：兩種物品用同一種貨幣衡量其價(jià)值，進(jìn)行等價(jià)交換。不妨設(shè)交換前甲占有的 ??(物品 ?)與乙占有的 ??(物品 ) 具有相同的價(jià)值，，?分別相應(yīng)于圖3中 ?軸，?軸上的 ?兩點(diǎn)，那么在直線?上的點(diǎn)進(jìn)行交換，都符合等價(jià)交換準(zhǔn)則。最后，在等價(jià)交換準(zhǔn)則下，雙方滿意的交換方案必是??與??的交點(diǎn)??。
????????最后，對(duì)無差別曲線呈下凸形狀作如下解釋：當(dāng)人們占有的??較小時(shí)( ?點(diǎn)附近) ，他寧愿以較多的 ?交換較少的 ?(圖4) ，而當(dāng)占有的 ?較大時(shí)( ?點(diǎn)附近)，就要用較多的 換取較少的 。滿足這種特性的曲線是下凸的。

“消費(fèi)者追求最大效用”是經(jīng)濟(jì)學(xué)最優(yōu)化原理中的一條

????????效用函數(shù) 剛打完一場籃球比賽，你又累又餓，朋友買來一袋切片面包，你狼吞虎咽地吃下一片又一片。開始的幾片使饑餓感得到極大的緩解，生理上和心理上都很滿足，繼續(xù)吃下去，每一片面包產(chǎn)生的滿足感逐漸減少，飽脹就不想再吃了。

????????為了定量研究所這吃下越來越多的面包，所得到的滿足感的變化趨勢(shì)，用 ?表示吃了 ?片面包后獲得的滿足程度，可看做面包產(chǎn)生的效用，如表1中吃一片面包的效用為10（單位），2片面包為20……

圖1 面包的U(x)和DetU(x)圖像

?????????經(jīng)濟(jì)學(xué)中把像這種人們商品消費(fèi)、服務(wù)消費(fèi)所獲得的生理和心理上的滿足程度稱為效用，引入效用函數(shù)?，表示數(shù)量為 ?的某種商品產(chǎn)生的效用，用約定的某個(gè)單位來度量。為了數(shù)學(xué)研究的方便，?將 視為連續(xù)、可微函數(shù)，其變化率 ?表示商品數(shù)量 增加1個(gè)單位時(shí)效用函數(shù) 的增量，稱為邊際效用（marginal utility）。一種典型的效用函數(shù)數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(1)

圖2是（1）式中 ?的 ?和 ?曲線。在理性消費(fèi)的情況（指消費(fèi)增加效用也增加）下效用函數(shù)和邊際效用具有以下性質(zhì)：
1.效用函數(shù) ?，隨著??的增加 ?遞增，但增量越來越小。

2.邊際效用 ?，隨著 ?的增加 ?遞減，即邊際效用的變化率為負(fù)

“邊際效用遞減”是經(jīng)濟(jì)學(xué)中一條普遍的、重要的法則。

效用函數(shù)和邊際效用的特性數(shù)學(xué)表達(dá)為：

(2)

????????當(dāng)消費(fèi)者面對(duì)兩種商品時(shí)效用函數(shù)會(huì)是什么樣的？

????????無差別曲線 這次朋友買來的除了面包還有香腸，你可以搭配著吃。如果1片面包加4根香腸，或者4片面包加1根半香腸，又或者7片面包加1根香腸，都能使你獲得相同的滿足，那么這幾種組合的效用函數(shù)的值相等。用 ?表示 ?片面包和 ?根香腸組合的效用函數(shù)。在圖3的 平面中，上面3中組合記作? ， ， ?,則曲線上所有的點(diǎn)都有 ，這條曲線稱為無差別曲線（指效用相同）或等效曲線。

顯然你可以畫出更多的效用曲線，如圖有?

兩種商品的效用函數(shù) ?是二元函數(shù)，仍具有“邊際效用遞減”性質(zhì)，用偏導(dǎo)數(shù)表示為

(3)

作為（1）式 形式的推廣，一種典型的兩種商品效用函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(4)

圖4是（4）式中 ?的無差別曲線?.

數(shù)學(xué)上 ?是 ?的隱函數(shù)，即有 。如（4）式中 ?可表示為

(5)

無差別曲線是效用函數(shù)的幾何表示。我們可以看到無差別曲線具有以下性質(zhì)

? ? ? ? （1）下降（斜率為負(fù)）?既然無差別曲線上效用函數(shù) ?不變， 那么 ?的增加必然導(dǎo)致 ?的減少。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中對(duì)于兩種可以互相替代的物品， ?增加1個(gè)單位引起的 ?的減少量稱為 ?對(duì) ?的邊際替代率（絕對(duì)值）：?由于偏導(dǎo)的性質(zhì)也有：

(6)

? ? ? ? （2）下凸（凸向原點(diǎn)）?：即“邊際替代率遞減”，即

(7)

????????（3）互不相交??即一種組合方式不會(huì)產(chǎn)生多種不同效用。

效用最大化模型

????????如果消費(fèi)者已經(jīng)確定了對(duì)甲乙兩種商品效用函數(shù) ??和無差別曲線，那么他用一定數(shù)額的錢會(huì)購買多少數(shù)量的商品甲和乙呢？從效用最大化的角度出發(fā)，當(dāng)然應(yīng)該使 ?達(dá)到最大

????????設(shè)甲乙兩種商品的單價(jià)分別為??消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢為 ?，則他購買甲乙兩種商品的數(shù)量 ?應(yīng)滿足

?

(8)

式中 s.t為受約束于（subject to）

????????先從幾何圖形上求解這個(gè)模型，我們可以看到一簇?zé)o差別曲線和我們的約束條件形成的直線 ?稱為消費(fèi)線，當(dāng)消費(fèi)線與無差別線相切時(shí)，效用最大，切點(diǎn)??被稱為消費(fèi)點(diǎn)。

????????如果知道效用函數(shù)的具體表達(dá)式，我們可以按照二元函數(shù)求條件極值的方法求解。引入拉格朗日乘子?構(gòu)造函數(shù)

由對(duì) ?的偏導(dǎo)數(shù)等于0?

得到

(9)

????????即最優(yōu)解在甲乙兩種商品的邊際效用與二者價(jià)格之比相等時(shí)取得。記作

(10)

????????（10）表明了效用最大化原理 即商品的邊際效用與二者價(jià)格之比相等時(shí)，效用函數(shù)最大。

這個(gè)結(jié)果與總錢數(shù) ?無關(guān)，但可以給出購買甲乙兩件商品的數(shù)量之比 ?或錢數(shù)之比?

以上與幾何解法結(jié)果一致。

如果效用函數(shù)為（4）則最優(yōu)解有

(11)

????????這表明按照效用最大化原理，他購買兩種商品的錢數(shù)之比，等于效用函數(shù)（4）中參數(shù) 與 之比，與商品價(jià)格無關(guān)，說明 與 分別是甲乙兩種商品對(duì)消費(fèi)者效用的度量，或者代表消費(fèi)者對(duì)兩種商品的偏愛。

????????模型（8）可以推廣到購買 ?種商品的情況。記消費(fèi)者的效用函數(shù)為 ?， ?種商品的單價(jià)分別為?， 消費(fèi)者準(zhǔn)備付出的錢為 ?，則他購買 ?種商品的數(shù)量為 。滿足

(12)

????????用多元函數(shù)條件極值的方法求解模型為前面式子的推廣

????????式中邊際效用與價(jià)格比值的含義是單位金額的邊際效用。于是效用最大化原理又可以表示為，當(dāng)每種商品單位金額的邊際效用均相等時(shí)，效用函數(shù)達(dá)到最大。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-782121.html

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