31.線性變換及對(duì)應(yīng)矩陣

線性變換相當(dāng)于是矩陣的抽象表示，每個(gè)線性變換都對(duì)應(yīng)著一個(gè)矩陣

例： 考慮一個(gè)變換$T$，使得平面上的一個(gè)向量投影為平面上的另一個(gè)向量，即$T:R^2\to R^2$，如圖：

? ??圖中有兩個(gè)任意向量$v,w$和一條直線，作$v,w$在直線上的投影，分別記作$T(v),T(w)$，可以將$T$視為一個(gè)函數(shù)或一 個(gè)映射，即輸入一個(gè)向量，輸出一個(gè)新向量，這就是一個(gè)變換

? ??想讓這種變換成為線性變換，需要滿足兩個(gè)式子：$\{\begin{array}{c}T(v+w)=T(v+w)\\ T(cv)=cT(v)\end{array}$，即滿足加法不變性和數(shù)乘不變性

? ??這兩個(gè)式子也可以結(jié)合為$T(cv+dw)=cT(v)+dT(w)$

? ??可以驗(yàn)證，此處的投影變換是一種線性變換

判斷某個(gè)變換是否為線性變換并不困難，只需要判斷是否滿足加法不變性和數(shù)乘不變性即可

反例1： 平移整個(gè)平面，即平面中的每個(gè)向量$v$都加上一個(gè)固定的$v_0$，設(shè)這個(gè)簡(jiǎn)單的變換為$T_0$，它并不是線性變換，比如考慮數(shù)乘，$T_0(2v)=2v+v_0\ne 2T_0(v)=2(v+v_0)$，不滿足數(shù)乘不變性

? ??? 還可以考慮對(duì)$0$的變換，如果是線性變換則需滿足$T_0(0)=0$，因?yàn)閷?duì)于任意變換$T$，在數(shù)乘不變性的式子中取 $v=0$，$c$取任意非零數(shù)，則有$T(c0)=T(0)=cT(0)$，從而得到$T(0)=0$，而此處$T_0(0)=v_0\ne 0$，所以不是線性變換

反例2： 求模長(zhǎng)，求出一個(gè)三維向量的模長(zhǎng)，即把一個(gè)三維空間內(nèi)的向量映射到一個(gè)一維空間中（或者說(shuō)是一個(gè)實(shí)數(shù)），也就是$T:R^3\to R^1$，即$T(v)=|v|$，這滿足$T(0)=0$，但是對(duì)于數(shù)乘不變性來(lái)說(shuō)，當(dāng)$c<0$且$v\ne 0$時(shí)，$c|v|$$=?|cv|$，所以這不是一個(gè)線性變換

正例1： 將一個(gè)二維向量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)$45^{°}$，容易發(fā)現(xiàn)這滿足數(shù)乘不變性，想象任意一個(gè)圖形，把它旋轉(zhuǎn)$45^{°}$相當(dāng)于圖形上的 所有點(diǎn)都旋轉(zhuǎn)了$45^{°}$，所以這個(gè)變換也滿足加法不變性

正例2： 左乘一個(gè)矩陣$A$，即$T(v)=Av$，容易證明$\{\begin{array}{c}A(v+w)=Av+Aw\\ A(cv)=cAv\end{array}$，所以$A$相當(dāng)于把空間中的所有向量都進(jìn)行了一個(gè)變換，也就是把這個(gè)空間進(jìn)行了一次變換，當(dāng)$A$為投影矩陣時(shí)，變換就是投影，當(dāng)$A$為旋轉(zhuǎn)矩陣時(shí)，變換就是旋轉(zhuǎn)

? ??? 如$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& ?1\end{array}\right]$，用它乘上一個(gè)二維向量，它可以讓這個(gè)向量$x$方向上的分量不變，$y$方向上的分量變?yōu)橄喾磾?shù)

對(duì)于任意一個(gè)線性變換$T$，找到它對(duì)應(yīng)的矩陣$A$，對(duì)于一個(gè)確定的向量$v_1$ ，有$T(v_1)=A{v}_1$，由結(jié)果可以看到這個(gè)變換對(duì)$v_1$的影響，再引入一個(gè)與$v_1$線性無(wú)關(guān)的向量$v_2$，同樣可以看到該變換對(duì)$v_2$的影響，由于二者線性無(wú)關(guān)，所以總結(jié)兩個(gè)影響就可得到該變換對(duì)二者線性組合后得到的所有向量的影響，即對(duì)以二者為基的空間的影響

所以想要知道一個(gè)變換對(duì)某個(gè)空間的影響，需要知道該變換對(duì)該空間的一組基的影響，即輸入一組基就可以知道該變換對(duì)輸入空間的影響

表示為代數(shù)可以這么理解：設(shè)空間中的某一向量$v=c_1{v}_1+?+c_n{v}_n$，則有$T(v)=c_{1}T(v_1)+?+c_{n}T(v_n)$

想要找到一個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣首先可以得到這個(gè)矩陣的行數(shù)和列數(shù)，當(dāng)$T:R^n\to R^m$時(shí)，矩陣為$m$行$n$列

坐標(biāo)系建立在基的基礎(chǔ)之上，一旦確定了一組基，坐標(biāo)值也就隨之確定，因?yàn)榭臻g中的任意向量都可以表示為基中元素的線性組合，而坐標(biāo)值就是基中元素前的系數(shù)$c_1,c_2,?,c_n$，不過(guò)一般情況下我們使用的是由單位矩陣各列組成的基，所以對(duì)于坐標(biāo)的理解會(huì)稍有不同

由上面的描述可知表示向量一定需要用到基，所以想要找到一個(gè)線性變換對(duì)應(yīng)的矩陣需要確定兩組基，比如對(duì)于變換$T:R^n\to R^m$，需要確定$R^n$的一組基$v_1,v_2,?,v_n$和$R^m$的一組基$w_1,w_2,?,w_m$，它們也分別是輸入空間和輸出空間的基，這樣，一個(gè)以第一個(gè)基為坐標(biāo)系的向量進(jìn)行線性變換后即可得到以第二個(gè)基為坐標(biāo)系的向量，也就是說(shuō)，輸入向量的坐標(biāo)在線性變換后可以得到輸出向量的坐標(biāo)，但是這兩個(gè)坐標(biāo)是基于不同的基的

例： 一個(gè)投影矩陣把二維空間中的向量投影到該空間的一條直線上，先為輸入空間找一組基，基的第一個(gè)元素在該直線上，基的第二個(gè)元素垂直于該直線，分別記作$v_1,v_2$，則輸入向量$v=c_1{v}_1+c_2{v}_2$，我們把它也視為輸出空間的基，即$w_1=v_1,w_2=v_2$

? ??有$T(v_1)=v_1,T(v_2)=0$，所以$T(v)=c_1{v}_1+0v_2$，即$A\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ 0\end{array}\right]$，因而這個(gè)投影對(duì)應(yīng)矩陣$A=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]$

? ??可以發(fā)現(xiàn)$A$為一個(gè)對(duì)角陣，并且$v_1,v_2$剛好是$A$的兩個(gè)特征向量，$A$主對(duì)角線上的元素剛好是它的特征值

? ??推廣至所有$T:R^n\to R^n$可得：當(dāng)要求輸入空間的基和輸出空間一致時(shí)，若以滿足$T(v^{{}^{\prime }})=\lambda v^{{}^{\prime }}$的向量$v^{{}^{\prime }}$為基（當(dāng)然它們要是線性無(wú)關(guān)的，并且$T$對(duì)應(yīng)的$A$得要有$n$個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量），$A$就會(huì)成為一個(gè)特征值矩陣，并且這個(gè)特征值是該線性變換所有符合要求的$A$的特征值，同時(shí)這組基的元素也都是這些$A$的特征向量，也就是說(shuō)這些$A$互為相似矩陣

? ??順便一提，在物理上很經(jīng)常使用特征向量作為一組基建立坐標(biāo)系

如果確定了輸入空間和輸出空間的基，則有 v ? 1 = [ 1 0 ? 0 ] , v ? 2 = [ 0 1 ? 0 ] , ? ? , v ? n = [ 0 0 ? 1 ] \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} , \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} , \cdots , \vec{v}_n = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix} v 1?= ?10?0? ?,v 2?= ?01?0? ?,?,v n?= ?00?1? ?

因?yàn)榫€性轉(zhuǎn)化是知道的，所以$v_i$的輸出向量是知道的，所以用輸出空間的基得到$v_i$的輸出向量的線性組合方式是知道的

而這個(gè)線性組合方式 T ( v ? i ) = A v ? i = [ a 1 , i a 2 , i ? a m , i ] T(\vec{v}_i) = A \vec{v}_i = \begin{bmatrix} a_{1 , i} \\ a_{2 , i} \\ \vdots \\ a_{m , i} \end{bmatrix} T(v i?)=Av i?= ?a1,i?a2,i??am,i?? ?，這樣就可以求出$A$了

其實(shí)求導(dǎo)也是一種線性變換

例： 設(shè)$T=\frac{d}{dx}$，輸入向量$v=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2$，基為 { 1 , x , x 2 } \{ 1 , x , x^2 \} {1,x,x2}，則輸出向量$w=c_2+2c_{3}x$，基為 { 1 , x } \{ 1 , x \} {1,x}

? ??可以得到此處$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

正是因?yàn)榍髮?dǎo)是線性運(yùn)算，所以只需要掌握一些求導(dǎo)法則，通過(guò)它們的線性組合就可以得到導(dǎo)數(shù)

由于矩陣和線性變換的對(duì)應(yīng)關(guān)系，矩陣的逆即為線性變換的逆操作，矩陣的乘積即為線性變換的疊加

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