第二單元主要內(nèi)容

1. 正交矩陣 Q，用矩陣形式描述正交性質(zhì)。
   

投影矩陣 P，最小二乘法，在方程無解時(shí)求“最優(yōu)解”。 Gram-Schmidt 正交化——從任意一組基得到標(biāo)準(zhǔn)正交基，策略是從向量
中減去投影到其它向量方向的分量。

2. 行列式 det(A)
   三個性質(zhì)定義了行列式，可以推導(dǎo)出之后的性質(zhì) 4~10。
   行列式展開公式包含 n！個非零項(xiàng)，一半取+，一半取-。
   代數(shù)余子式公式，以及推導(dǎo)出逆矩陣公式 $A^{?1}=\frac{1}{det(A)}{C}^T$

3. 特征值 Ax = λx
   det（A-λI）=0
   對角化：如果矩陣 A 包含 n 個線性無關(guān)的特征向量，可以對角化得到$S^{?1}AS=\Lambda$
   矩陣 A 的冪：$A^k=(S\Lambda S^{?1}{)}^k=S{\Lambda }^k{S}^{?1}$

例題

1、a = [ 2 1 2 ] \begin{bmatrix} 2\\1\\2 \end{bmatrix} ?212? ?
a）求投影到向量 a 方向的投影矩陣 P。
解：$P=A(A^{T}A{)}^{?1}{A}^T$，這里 a 是向量，因此有
P = a a T a T a = 1 9 [ 4 2 4 2 1 2 4 2 4 ] P= \frac{aa^T}{a^Ta}=\frac{1}{9} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & 2 & 4 \end{bmatrix} P=aTaaaT?=91? ?424?212?424? ?
b）求矩陣 P 的秩
解：矩陣的秩為 1，因?yàn)樗械牧卸际堑诙械谋稊?shù)。或者從投影矩陣投影的空間是 1 維可以判斷出來。
c）矩陣 P 的列空間？
解：向量 a 所在的直線。
d）矩陣 P 的特征值？
解：矩陣的秩為 1，因此存在重特征值 0，再從矩陣的跡可以得到另一個特征值為 1。即特征值為 1,0,0。
e）求矩陣 P 對應(yīng)特征值 1 的特征向量？
解：因?yàn)榫仃?P 為投影矩陣，在投影空間中的向量就是對應(yīng)特征值 1 的特征向量，因此 a 就是對應(yīng)的特征向量。
f）若有 $u_{k+1}=P{u}_k$，且有初值 u0= [ 9 9 0 ] \begin{bmatrix} 9\\9\\0 \end{bmatrix} ?990? ? 求 uk？
解：重復(fù)將一個向量投影到一條直線，從第二次開始投影結(jié)果即不發(fā)生變化。
u k = P k u 0 = P u 0 = a T u 0 a T a = 3 a = [ 6 3 6 ] uk=P^ku_0=Pu_0= \frac{a^Tu_0}{a^Ta}=3a=\begin{bmatrix} 6\\3\\6 \end{bmatrix} uk=Pku0?=Pu0?=aTaaTu0??=3a= ?636? ?

g）測驗(yàn)中可能出現(xiàn) $u_k+1=A{u}_k$，其中的矩陣 A 不是投影矩陣，沒有投影矩陣的性質(zhì) $P^k{u}_0=P{u}_0$，此時(shí)需要求矩陣的特征值和特征向量。
$u_0=c_1{x}_1+c_2{x}_2+c_3{x}_3$
則$uk=c_1{\lambda }_1^k{x}_1+c_2{\lambda }_2^k{x}_2+c_3{\lambda }_3^k{x}_3$
對于投影矩陣而言，${\lambda }_1=1，{\lambda }_2={\lambda }_3=0$。因此有 $u_1=u_2=u_3=\dots \dots$

2. 已知以下數(shù)據(jù)點(diǎn)

a）求利用三個數(shù)據(jù)點(diǎn)擬合過原點(diǎn)的一條直線 y=Dt？
解： [ 1 2 3 ] D = [ 4 5 8 ] \begin{bmatrix} 1\\2\\ 3 \end{bmatrix}D=\begin{bmatrix} 4\\5\\ 8 \end{bmatrix} ?123? ?D= ?458? ? ，我們求解的問題就是求方程的最優(yōu)解 D? 。
$A^{T}AD?=A^{T}b$。 解得 D? =19/7。因此直線解析式為 y=(19/7)t。
b）怎樣從投影來理解這個問題？
解：對于最小二乘問題有兩種理解方法。其中一種是找到平面內(nèi)最優(yōu)的一條直線。另一種是將 b = [ 4 5 8 ] b=\begin{bmatrix} 4\\5\\ 8 \end{bmatrix} b= ?458? ?投影到 A 的列空間，來得到最接近于 Ax=b 的解。

3. 向量 a 1 = [ 1 2 3 ] a_1=\begin{bmatrix} 1\\2\\ 3 \end{bmatrix} a1?= ?123? ?和 a 2 = [ 1 1 1 ] a_2=\begin{bmatrix} 1\\1\\ 1 \end{bmatrix} a2?= ?111? ?向量確定了一個平面，找到該平面的一組正交基。
   解：應(yīng)用 Gram-Shmidt 正交化方法。取 a1為第一個方向，找出垂直于該方向的向量 B。策略就是在 a2中減掉它在 a1方向上的分量，得到完全垂直于 a1的部分：
   B = a 2 ? a 1 T a 2 a 1 T a 1 a 1 = [ 4 / 7 1 / 7 ? 2 / 7 ] B= a_2 - \frac{a_1^Ta_2}{a_1^Ta_1}a_1 =\begin{bmatrix} 4/7\\1/7\\ -2/7 \end{bmatrix} B=a2??a1T?a1?a1T?a2??a1?= ?4/71/7?2/7? ?

4. 已知一個 4 階方陣 A 具有特征值λ1，λ2，λ3，λ4。
   a）特征值需要滿足什么條件才能保證 A 為可逆矩陣。
   解：當(dāng)且僅當(dāng)矩陣的特征值均不為 0 的時(shí)候，A 為可逆矩陣。若有特征值 0 存在，則矩陣零空間有非零向量，矩陣不可逆。
   b）求逆矩陣行列式的值？
   解：$A^{?1}$的特征值為 A 特征值的倒數(shù)。因此 $det(A^{?1})=\frac{1}{{\lambda }_1}\frac{1}{{\lambda }_2}\frac{1}{{\lambda }_3}\frac{1}{{\lambda }_4}$
   c）求(A+I )的跡？
   解：矩陣的跡等于其特征值的和，(A+I)的特征值為，則該矩陣的跡為${\lambda }_1+{\lambda }_2+{\lambda }_3+{\lambda }_4+4$。

5. 已知三對角矩陣：
   A 4 = [ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ] A_4=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} A4?= ?1100?1110?0111?0011? ?
   令 $D_n=det(A_n)$
   a）用代數(shù)余子式的方法求出 $D_n=a{D}_{n?1}+b{D}_{n?2}$中的 a,b?
   解：用代數(shù)余子式可得 D4=(1)D3+(-1)D2。
   b）利用找到的遞歸方程 $D_n=a{D}_{n?1}+b{D}_{n?2}$，求 $D_n$？
   解：把它當(dāng)作方程組來求解，我們首先解得初值 D1=1，D2=0。
   按照遞歸方程構(gòu)造 2 階線性方程：
   $$\left[\begin{array}{c}{D}_n\\ D_{n?1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& ?1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{D}_{n?1}\\ D_{n?2}\end{array}\right]$$
   求解矩陣的特征值可得： $\lambda =\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}=\frac{e\pm i\pi }{3}$，均為模為 1 的復(fù)數(shù)，在單位圓上旋轉(zhuǎn)?？梢钥吹?span id="n5n3t3z" class="katex--inline">${\lambda }_1^6={\lambda }_2^6=1$，矩陣經(jīng)六次變換變?yōu)閱挝魂?。該序列既不發(fā)散也不收斂，數(shù)列以 6 次為重復(fù)周期不停循環(huán)，1,0,-1,0,1,1。

6. 有一組對稱矩陣：
   A 2 = [ 0 1 1 0 ] A 3 = [ 0 1 0 1 0 2 0 2 0 ] A 4 = [ 0 1 0 0 1 0 2 0 0 2 0 3 0 0 3 0 ] A_2=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}A_3=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}A_4=\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{bmatrix} A2?=[01?10?]A3?= ?010?102?020? ?A4?= ?0100?1020?0203?0030? ?

a）找到投影到矩陣 A3列空間的投影矩陣 P。
解：矩陣 A3為奇異陣，其第 3 列列向量為第 1 列的 3 倍，而第 1,2 列線性無關(guān)，因此其列空間為一個平面，取其前兩列列向量組成矩陣 A，則有
P = A ( A T A ) ? 1 A T = [ 1 / 5 0 2 / 5 0 1 0 2 / 5 0 4 / 5 ] P=A(A^TA)^{-1}A^T=\begin{bmatrix} 1/5 & 0 & 2/5 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2/5 & 0 & 4/5 \end{bmatrix} P=A(ATA)?1AT= ?1/502/5?010?2/504/5? ?

可以通過將矩陣 A3的列向量乘以投影矩陣來驗(yàn)證這一結(jié)果，在平面內(nèi)的向量投影后應(yīng)該不發(fā)生變化。
b）求 A3的特征值和特征向量?
解： d e t ( A 3 ? λ I ) = ∣ ? λ 1 0 1 ? λ 2 0 2 ? λ ∣ = ? λ 3 + 5 λ = 0 det(A_3-λI)=\begin{vmatrix} -λ & 1& 0\\1& -λ& 2\\0&2&-λ \end{vmatrix} =-λ^3+5λ =0 det(A3??λI)= ??λ10?1?λ2?02?λ? ?=?λ3+5λ=0
解得三個特征值，λ1=0，λ2=$\sqrt{5}$，λ3=$?\sqrt{5}$?？捎镁仃嚨嫩E做檢查。
求解（$A_3?\lambda I$）x=0，可得特征向量 x 1 = [ ? 2 0 1 ] , x 2 = [ 1 ? 5 2 ] , x 3 = [ 1 5 2 ] x_1=\begin{bmatrix} -2\\0\\1 \end{bmatrix},x_2=\begin{bmatrix} 1\\ -\sqrt{5} \\2\end{bmatrix},x_3=\begin{bmatrix} 1\\ \sqrt{5} \\2 \end{bmatrix} x1?= ??201? ?,x2?= ?1?5 ?2? ?,x3?= ?15 ?2? ?

c）找到投影到矩陣 A4列空間的投影矩陣 P？
解：因?yàn)?$A_4$為可逆矩陣，所以它的列空間就是整個$R_4$空間，所以 P=I。而可逆矩陣的證明可以采用求行列式的辦法，用代數(shù)余子式展開可得 $det(A_4)=9$。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-816677.html

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