實矩陣也可能有復特征值，因此無法避免在矩陣運算中碰到復數(shù)，本講學習處理復數(shù)矩陣和復向量。
最重要的復矩陣是傅里葉矩陣，它用于傅里葉變換。而對于大數(shù)據(jù)處理快速傅里葉變換（FFT）顯得更為重要，它將傅立葉變換的矩陣乘法中運算的次數(shù)從 n 2 n^2 n2次降至 n l o g 2 n nlog2^n nlog2n 次。
復向量 Complex vectors
對于給定的復向量 z = [ z 1 z 2 . . . z n ] ∈ C n z =\begin{bmatrix} z_1\\z_2\\...\\z_n \end{bmatrix}∈C^n z= ?z1?z2?...zn?? ?∈Cn ,其元素中有復數(shù)，因此 z T z z^Tz zTz 無法給出向量的長度。
例如
[
1
i
]
\begin{bmatrix} 1 & i \end{bmatrix}
[1?i?]
[
1
i
]
\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}
[1i?] =0,則定義
∣
z
∣
2
=
z
￣
T
z
=
∣
z
1
∣
2
\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^2 =\overline{z}^Tz =\begin{vmatrix} z_1 \end{vmatrix}^2
?z?
?2=zTz=
?z1??
?2 +
∣
z
2
∣
2
\begin{vmatrix} z_2 \end{vmatrix}^2
?z2??
?2+
.
.
.
+
∣
z
n
∣
2
...+\begin{vmatrix} z_n \end{vmatrix}^2
...+
?zn??
?2為向量長度。因此向量
[
1
i
]
\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix}
[1i?]的長度就是
[
1
?
i
]
[
1
i
]
=
2
\begin{bmatrix} 1 & -i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ i \end{bmatrix} =2
[1??i?][1i?]=2,記
∣
z
∣
2
\begin{vmatrix} z \end{vmatrix}^2
?z?
?2 =
z
￣
T
z
\overline{z}^Tz
zTz =
z
H
z
z^Hz
zHz ,
H 來自于“Hermite”。 與之相似，內(nèi)積的定義也變?yōu)?span id="n5n3t3z" class="katex--inline">
y
H
x
=
y
￣
T
x
y^Hx =\overline{y}^Tx
yHx=y?Tx =
y
1
￣
x
1
\overline{y_1}x_1
y1??x1? +
y
2
￣
x
2
\overline{y_2}x_2
y2??x2? +
.
.
.
+
y
1
￣
x
1
...+\overline{y_1}x_1
...+y1??x1?
復矩陣 Complex matrices
上一講中講到了對于復矩陣 A，若有 A ￣ T = A \overline{A}^{_T}=A AT?=A 則復矩陣 A 的特征值為實數(shù)。這種復矩陣被稱為埃爾米特矩陣（Hermitian matrixes，又譯作“厄米特矩陣”或者“厄米矩陣”）。轉(zhuǎn)置共軛記作 A H = A ￣ T = A A^{_H}=\overline{A}^{_T}=A AH?=AT?=A。
例如矩陣 [ 2 3 + i 3 ? i 5 ] \begin{bmatrix} 2 & 3+i \\ 3-i & 5 \end{bmatrix} [23?i?3+i5?]為埃爾米特矩陣。它具有實數(shù)特征值和正交的特征向量。由性質(zhì)可知埃爾米特矩陣對角線均為實數(shù)。
此處向量標準正交的意思是
q
j
￣
T
q
k
=
{
0
j
≠
k
1
j
=
k
\overline{q_j}^{_T}q_k= \left\{ \begin{align*} &0 j≠k\\ &1 j=k \end{align*} \right.
qj??T?qk?={?0j=k1j=k? 用 n 個標準正交的復向量作為列向量可以構(gòu)造一個矩陣 Q，則有
Q
T
Q
=
I
=
Q
H
Q
Q^TQ=I=Q^HQ
QTQ=I=QHQ。這個復空間的正交矩陣稱為酉矩陣（unitary matrix）。
傅里葉變換 Fourier transform
傅里葉級數(shù)是將周期函數(shù)或者信號變換為不同頻率的三角函數(shù)的和函數(shù)。
f
(
x
)
=
a
0
+
a
1
c
o
s
x
+
b
1
s
i
n
x
+
a
2
c
o
s
2
x
+
b
2
s
i
n
2
x
+
.
.
.
f(x) = a_0 + a_1cosx + b_1sinx +a_2cos2x +b_2sin2x + ...
f(x)=a0?+a1?cosx+b1?sinx+a2?cos2x+b2?sin2x+...
在電子工程或者計算機科學中，n x n矩陣的行和列從第0行和第0列開始計數(shù)，最后到第 n-1 行和第 n-1 列。我們在討論傅里葉矩陣的時候遵從這種習慣。
(
F
n
)
j
k
=
ω
j
k
(F_n)_{jk}=ω^{jk}
(Fn?)jk?=ωjk，傅里葉矩陣為對稱矩陣
F
n
=
F
n
T
F_n=F_n^T
Fn?=FnT?。矩陣中的
ω
n
=
1
,
ω
=
e
x
p
(
i
2
π
/
n
)
ω^n=1,ω=exp(i2π/n)
ωn=1,ω=exp(i2π/n)。矩陣的列向量正交。ω的方次分布在復平面的單位元上，只是幅角不同。當 n=4 時，
ω
4
=
1
,
ω
=
e
x
p
(
i
2
π
/
4
)
=
i
ω^4=1,ω=exp(i2π/4)=i
ω4=1,ω=exp(i2π/4)=i。
從矩陣可以得到一個四點（離散的）傅里葉變換，它的逆矩陣就是反傅里葉變換。因為傅里葉矩陣列向量正交，所以其逆矩陣很容易計算。實際上這個矩陣可以分解成一系列稀疏矩陣，并且它們的逆矩陣都很容易得到。
計算可知列向量的模不是 1，矩陣除以 2 之后，向量標準正交：
1
4
F
4
H
F
4
=
I
\frac{1}{4}F_4^HF_4 = I
41?F4H?F4?=I。它的逆矩陣就是共軛轉(zhuǎn)置。
快速傅里葉變換 Fast Fourier transform
64 階傅里葉矩陣 F 64 F_{64} F64?中的 ω 64 ω_{64} ω64?與 32 階傅里葉矩陣 F 32 F_{32} F32?的元素 ω 32 ω_{32} ω32?相比，幅角是其一半， ( ω 64 ) 2 = ω 32 (ω_{64})^2=ω_{32} (ω64?)2=ω32?。可以從分塊矩陣運算找到兩者的聯(lián)系：
P 的效果是使得所乘的向量 x 中序數(shù)為奇數(shù)的分量如
x
1
x_1
x1?，
x
3
x_3
x3?，
x
5
x_5
x5?等提到前面，而偶數(shù)分量
x
2
x_2
x2?，
x
4
x_4
x4?等放到后面。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-796508.html
計算 64 階傅里葉變換（傅里葉矩陣乘以向量）的計算量是 6 4 2 64^2 642，而等式右側(cè)的計算量是 2 × 3 2 2 2×32^2 2×322（兩個 32 階的傅里葉矩陣）再加上一些修正項，修正項主要來自于與對角矩陣 D 的乘法，大約為 32 次。繼續(xù)對 F 32 F_{32} F32?進行分解，計算的運算量再一次下降變?yōu)? 2 × ( 2 × 1 6 2 + 16 ) + 32 2×(2×16^2+16)+32 2×(2×162+16)+32。連續(xù)進行拆分，傅里葉矩陣的尺寸變化依次為 64、32、16、8、4、2、1，經(jīng)過 l o g 2 64 log_264 log2?64 次分解，最后僅剩修正項的運算， l o g 2 64 × 32 log_264×32 log2?64×32次。對于 n 階矩陣，可將 n 2 n^2 n2次計算降至 ( n / 2 ) l o g 2 n (n/2)log_2n (n/2)log2?n。例如對于 1024 階矩陣，運算量從 1024×1024 降至 5×1024。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-796508.html
到了這里，關(guān)于MIT_線性代數(shù)筆記：第 26 講 復矩陣；快速傅里葉變換的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
