目錄
前言
一、排列矩陣是什么？
二、三角形矩陣
總結(jié)
前言
????????上一篇文章講了線性方程組的高斯消元法?。本文是一個輔助概念，講解上文得到的P矩陣和L與U矩陣所代表的排列矩陣和上三角矩陣。
一、排列矩陣是什么？
? ? ? ? 排列矩陣（permutation matrix)是單位矩陣經(jīng)過行列交換而得到的新矩陣。它在每行或每列上有且僅有一個1，其他元素都為0.例如：
? ? ? ? 如上一篇文章所說，對任意矩陣A左乘一個排列矩陣P，就是對矩陣A的行進(jìn)行排列。如果對任意矩陣A右乘一個排列矩陣P，就是對矩陣A的列進(jìn)行排列。
? ? ? ? Matlab中提供了一種快速建立排列矩陣的方法：
即用一個排列向量（permutation vector）作為行或者列的索引，對于上面那個排列矩陣P，設(shè)p為排列向量，則有：
p = [1,3,2];即，第一行的第一列是1，第二行的第三列是1，第三行的第2列是1.
此時，P*A 和A（p，：）都表示對A進(jìn)行行排列；而A*P和A（：，p）都表示對A進(jìn)行列排列。
clear,clc
p=[1 3 2];
P=[1 0 0;0 0 1;0 1 0];
A=[10 -7 0;-3 2 6;5 -1 5];
P*A
A(p,:)
A*P
A(:,p)
輸出如下：
輸出結(jié)果確實符合所需排列要求。?
這兩種方式都可以在Matlab中講矩陣進(jìn)行排列。更接近傳統(tǒng)數(shù)學(xué)表達(dá)方式，而則會占用更少的內(nèi)存，且運算速度更快。
二、三角形矩陣
????????三角形矩陣就是所有非零元素集中在主對角線之上或之下。如果所有非零元素在主對角線之上，叫上三角矩陣(upper triangular)如果所有非零元素在主對角線之下，叫下三角矩陣。
? ? ? ? 特別地，如果主對角線上的元素都為1，則可以叫做單位三角矩陣。
如上一節(jié)的例子：
就是一個單位下三角矩陣（unit lower triangualr）。
?如果系數(shù)矩陣為三角矩陣，則對于方程，其中U為n階方陣，b為列向量。則求其解x可以如下有兩種算法。
%% 從b向量中逐個減去矩陣U列的倍數(shù)
x=zeros(n,1);
for k=n:-1:1
x(k)=b(k)/U(k,k);
i=(1:k-1)';
b(i)=b(i)-x(k)*U(i,k);
end
%% 使用U矩陣的行和解出的部分x作內(nèi)積
x=zeros(n,1);
for k=n:-1:1
j=k+1:n;
x(k)=(b(k)-U(k,j)*x(j))/U(k,k);
end總結(jié)
????????本文講解了兩種特殊矩陣。分別是排列矩陣P和三角矩陣U。這兩種特殊矩陣在求解方程組的時候經(jīng)常用到。上一節(jié)留下了一個公式：LU=PA，結(jié)合本講可以知道。L是消元過程的乘子，是一個單位下三角矩陣；U是消元后最后得到的系數(shù)矩陣，它是一個上三角矩陣；P是一個排列矩陣。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-726040.html
? ? ? ? 至此，準(zhǔn)備工作結(jié)束，下一節(jié)開始講解矩陣的LU分解。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-726040.html
到了這里，關(guān)于排列矩陣和三角矩陣——Matlab解線性方程組（2）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
