線性方程組是線性代數(shù)中的重要內(nèi)容之一，其理論發(fā)展的最為完善。MATLAB中包含多種處理線性方程組的命令，下面進(jìn)行詳細(xì)介紹。

對(duì)于形如AX=B的方程組來(lái)說(shuō)，假設(shè)其系數(shù)矩陣A是m×n的矩陣，根據(jù)其維數(shù)可以將方程組分以下3種情況。

1)若m=n，則為恰定方程組,即方程數(shù)等于未知量數(shù)。

2)若m>n，則為超定方程組,即方程數(shù)大于未知量數(shù)。

3)若m<n，則為欠定方程組,即方程數(shù)小于未知量數(shù)。

線性方程組解的類型也可以分為以下3種情況。

1)若rank(A)= rank( [ A | B])≥n，則方程組有唯一解。

2)若rank( A)= rank([A| B])<n，則方程組有無(wú)窮解。

3）若rank(A )≠rank([A|B])，則方程組無(wú)解。

不難看出，線性方程組解的類型是由對(duì)應(yīng)齊次方程組的解、對(duì)應(yīng)系數(shù)矩陣和增廣矩陣間的關(guān)系共同決定的。

非齊次線性方程組AX=B解的形式可以描述如下。

1）使用null 函數(shù)求解對(duì)應(yīng)非齊次線性方程組AX=B對(duì)應(yīng)的齊次方程組AX=0的基礎(chǔ)解系，也可以稱為通解，則AX=B的解都可以通過(guò)通解的線性組合表示。

2）求解非齊次線性方程組AX=B的特解。

3）最后求得非齊次線性方程組AX=B解的形式為通解的線性組合加上特解。下面介紹 MATLAB中求解線形方程組的方法。

除法求解方法

若線性方程組AX=B的系數(shù)矩陣可逆，則A \B給出方程組的唯一解。

例1：使用除法求解系數(shù)矩陣可逆的恰定線性方程組。

在命令行窗口中輸入如下語(yǔ)句。

>>A=pascal(4) %A為四階可道矩陣

det_A =det(A) %計(jì)算矩陣A的行列式

B= rand(4,1) %隨機(jī)生成4行1列的矩陣B

X1=A\B %求出方程唯一解

X2 =in(A) *B %A\B等價(jià)于inv(A)*B

命令行窗口中的輸出結(jié)果如下。

A=

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

det_A=

1.000

B=

0.8147

0.9058

0.1270

0.9134

X1=

-2.5813

9.1360

-8.1751

2.4351

X2=

-2.5813

9.1360

-8.1751

2.4351

若線性方程組AX=B的系數(shù)矩陣不可逆，則方程組的解不存在或者不唯一。此時(shí)執(zhí)行A\B，則 MATLAB會(huì)顯示提示信息，表示該矩陣是奇異矩陣，無(wú)法得到精確的數(shù)值解。

例2:使用除法求解欠定線性方程組。

在命令行窗口中輸入如下語(yǔ)句。

>>C= magic(4);

A=C(2;4,:)

B=[ 0;1;0];

X=A\B

命令行窗口中的輸出結(jié)果如下所示。

A=

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

X=

0.2475

-0.0662

0

-0. 0637

例3:使用除法求解超定線性方程組。在命令行窗口中輸入如下語(yǔ)句。

>>T=magie(5)

A=T(:,2:5)

B=[0;0;1 ;0;0];

X=AIB

命令行窗口中的輸出結(jié)果如下所示。

T=

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

A=

24 1 8 15

5 7 14 16

6 13 20 22

12 19 21 3

18 25 2 9

X=

-0.0222

0. 0060

0.0034

0.0303

求逆求解方法

在例1中，已經(jīng)介紹了通過(guò)求逆的方法求解線性方程組的解，這里著重介紹利用偽逆方法求解。對(duì)于方程組而言，其系數(shù)矩陣可能是方陣但不可逆，也可能不是方陣，無(wú)論上述兩種情況的哪一種都將導(dǎo)致它的逆不存在或無(wú)意義，此時(shí)就需要引入偽逆的概念。

偽逆矩陣包含很多種形式（具體情況請(qǐng)參考矩陣的有關(guān)書籍)，下面介紹最常用的基于

最小二乘的最優(yōu)偽逆。MATLAB使用pinv函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)，即可以使用矩陣A的偽逆矩陣pinv(A)來(lái)得到方程的一個(gè)解，其對(duì)應(yīng)的數(shù)值解為pinv( A) * B。

例4使用偽逆矩陣的方法求解奇異矩陣線性方程組的解。

在命令行窗口中輸人如下語(yǔ)句。

>>A=[ 1 5 8;-135;174];

B=[3;6;9];

X= pinv(A)* B

C=A*X

命令行窗口中的輸出結(jié)果如下所示。

X=

-2.6897

1. 9655

-0. 5172

C=

3.0000

6.0000

9. 0000

從例題中的輸出結(jié)果可以看出，通過(guò)使用偽逆矩陣的方法可以求解得到數(shù)值解，同時(shí)該數(shù)值解可以精確地滿足預(yù)期結(jié)果。

上面的例子都是介紹如何計(jì)算特解，下面介紹如何計(jì)算線性方程組的所有解。

例5使用求逆法計(jì)算線性方程組的所有解。

在命令行窗口中輸入如下語(yǔ)句。

>>A=[1 3 5 7;2 4 6 8;9 10 11 12];

B=[1;2;3];

X1=null(A)

X2 = pinv(A)*B

命令行窗口中的輸出結(jié)果如下所示。

X1=

0.5336 -0.1237

-0.6193 0.5626

-0.3622 -0.7542

0.4479 0.3153

X2=

0.0344

0.0579

0.0814

0.1049

此時(shí)線性方程組的所有解為X=a×X1( :,1 )+b×X2 ,( :,2)+X2，其中a、b為任意實(shí)數(shù)。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-415675.html