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MATLAB繪圖函數(shù)的相關(guān)介紹——海底測(cè)量、二維與三維圖形繪制

?MATLAB求函數(shù)極限的簡(jiǎn)單介紹

文章目錄

一、線性方程組

1.1、線性方程組簡(jiǎn)介

1.2、矩陣的初等變換

1.3、MATLAB舉例

二、對(duì)于MATLAB幾個(gè)函數(shù)的解釋

2.1、reff()函數(shù)

2.2、inv()函數(shù)

2.3、其他一些函數(shù)的說(shuō)明

1. ones(n)：返回一個(gè)n x n的全1矩陣。

2. zeros(n)：返回一個(gè)n x n的全0矩陣。

3. eye(n)：返回一個(gè)n x n的單位矩陣。

4. rand(n)：返回一個(gè)n x n的隨機(jī)矩陣，其中每個(gè)元素都是0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

5. inv(A)：返回矩陣A的逆矩陣。

6. rank(A)：返回矩陣A的秩。

7. det(A)：返回矩陣A的行列式。

三、不定方程組以及其他方程組介紹

3.1、不定方程組簡(jiǎn)介

3.2、對(duì)上述的常見(jiàn)求解方法介紹

1. 高斯消元法

2. 初等變換法

3. 克萊姆法則

4. 列主元消去法

3.3、MATLAB中如何使用矩陣初等變換和解線性方程組。

1. 矩陣初等變換

2. 解線性方程組

3.4、奇異方程組

1、奇異方程組簡(jiǎn)介

2、案例講解

3.5、超定方程組

1、超定方程組的簡(jiǎn)介

2、案例舉例

3、\運(yùn)算符、pinv（）函數(shù)、lsqnonneg函數(shù)

總結(jié)

前言

本文主要介紹在MATLAB里面對(duì)線性方程組、不定方程組、奇異方程組、超定方程組的使用介紹，以及相關(guān)的案例舉例，以下案例僅供參考。

一、線性方程組

1.1、線性方程組簡(jiǎn)介

線性方程組是指由一組線性方程組成的方程組，其中每個(gè)方程的未知數(shù)都是一次項(xiàng)，即未知數(shù)的次數(shù)都是1。線性方程組的一般形式可以表示為：

a1x1 + a2x2 + ... + anx_n = b

其中，a1、a2、...、an是已知系數(shù)，x1、x2、...、xn是未知數(shù)，b是已知常數(shù)。線性方程組的解是指使所有方程都成立的未知數(shù)的取值。如果線性方程組沒(méi)有解或有無(wú)窮多個(gè)解，那么它是“不相容的”或“相容的”。

解線性方程組的方法有很多，其中包括高斯消元法、矩陣求逆法、克萊姆法則等。這些方法的核心思想都是通過(guò)一系列代數(shù)變換，把線性方程組轉(zhuǎn)化為更簡(jiǎn)單的形式，從而求出未知數(shù)的取值。

線性方程組在數(shù)學(xué)和工程中有廣泛的應(yīng)用，例如在物理學(xué)中求解物體的運(yùn)動(dòng)方程、在經(jīng)濟(jì)學(xué)中求解供需關(guān)系、在工程學(xué)中求解電路的電流電壓等。

1.2、矩陣的初等變換

• 1. 交換矩陣的任意兩行或任意兩列
• 2. 用一個(gè)非零數(shù)乘矩陣的任意一行或任意一列
• 3. 把矩陣的某一行或某一列加上另一行或另一列的若干倍

通過(guò)這些操作，可以改變矩陣的行列式和秩，從而實(shí)現(xiàn)矩陣的簡(jiǎn)化、求逆、求解線性方程組等目的。

1.3、MATLAB舉例

%線性方程組
clear;
A=[1 2 ;4 -3];
b=[23;2];
%方法1
x=A\b
A*x-b%驗(yàn)根
%方法2
x2=inv(A)*b
A*x2-b%驗(yàn)根
%方法3
F=[A,b]%增廣矩陣
rref(F)%進(jìn)行行初等變換

計(jì)算結(jié)果

x =

? ? 6.6364
? ? 8.1818
ans =

? ? ?0
? ? ?0
x2 =

? ? 6.6364
? ? 8.1818
ans =

? ?1.0e-14 *

? ? ? ? ?0
? ?-0.3553
F =

? ? ?1 ? ? 2 ? ?23
? ? ?4 ? ?-3 ? ? 2
ans =

? ? 1.0000 ? ? ? ? 0 ? ?6.6364
? ? ? ? ?0 ? ?1.0000 ? ?8.1818

二、對(duì)于MATLAB幾個(gè)函數(shù)的解釋

2.1、reff()函數(shù)

在MATLAB中，rref()是求解矩陣的行最簡(jiǎn)形式（Reduced Row Echelon Form）的函數(shù)。行最簡(jiǎn)形式是指矩陣經(jīng)過(guò)一系列初等行變換后，達(dá)到以下兩個(gè)條件：

• 1. 矩陣的每一行的第一個(gè)非零元素（即主元素）都是1；
• 2. 對(duì)于任意兩個(gè)主元素，它們所在的列的其它元素都是0。

rref()函數(shù)返回的就是這個(gè)行最簡(jiǎn)形式的矩陣。

下面舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明rref()的用法，假設(shè)有一個(gè)3x4的矩陣A：

A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12];

調(diào)用rref()函數(shù)：

rref(A)

它的輸出結(jié)果是：

ans =

? ? 1.0000 ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 0 ? -2.0000
? ? ? ? ?0 ? ?1.0000 ? ? ? ? 0 ? ?1.0000
? ? ? ? ?0 ? ? ? ? 0 ? ?1.0000 ? ?4.0000

這個(gè)結(jié)果就是矩陣A的行最簡(jiǎn)形式。可以看到，矩陣A的每一行的主元素都是1，并且對(duì)于任意兩個(gè)主元素，它們所在的列的其它元素都是0。

2.2、inv()函數(shù)

在MATLAB中，inv函數(shù)用于計(jì)算矩陣的逆。如果矩陣A是可逆的（即矩陣A的行列式不為0），那么它的逆矩陣A^-1滿足以下條件：A x A^-1 = A^-1 x A = I，其中I是單位矩陣。逆矩陣可以被用于解決線性方程組和計(jì)算行列式等問(wèn)題。

使用inv函數(shù)非常簡(jiǎn)單，只需在MATLAB命令窗口中輸入inv(A)，其中A是一個(gè)方陣。如果矩陣A是奇異矩陣（即行列式為0），那么inv函數(shù)將會(huì)返回一個(gè)警告，表示該矩陣沒(méi)有逆矩陣。在這種情況下，可以使用pinv函數(shù)來(lái)計(jì)算廣義逆矩陣。

需要注意的是，對(duì)于大型或者稀疏矩陣，使用inv函數(shù)可能會(huì)非常耗時(shí)或者導(dǎo)致內(nèi)存溢出等問(wèn)題。在這種情況下，可以使用其他更高效的算法來(lái)計(jì)算矩陣的逆。

2.3、其他一些函數(shù)的說(shuō)明

MATLAB中有很多矩陣相關(guān)的函數(shù)，下面是一些常用的函數(shù)及其說(shuō)明和案例：

1. ones(n)：返回一個(gè)n x n的全1矩陣。

案例：生成一個(gè)3 x 3的全1矩陣

A = ones(3)

輸出：

A =
? ? ?1 ? ? 1 ? ? 1
? ? ?1 ? ? 1 ? ? 1
? ? ?1 ? ? 1 ? ? 1

2. zeros(n)：返回一個(gè)n x n的全0矩陣。

案例：生成一個(gè)4 x 4的全0矩陣

B = zeros(4)

輸出：

B =
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0

3. eye(n)：返回一個(gè)n x n的單位矩陣。

案例：生成一個(gè)5 x 5的單位矩陣

C = eye(5)

輸出：

C =
? ? ?1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1 ? ? 0
? ? ?0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 0 ? ? 1

4. rand(n)：返回一個(gè)n x n的隨機(jī)矩陣，其中每個(gè)元素都是0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

案例：生成一個(gè)2 x 2的隨機(jī)矩陣

D = rand(2)

輸出：

D =
? ? 0.8147 ? ?0.9134
? ? 0.9058 ? ?0.6324

5. inv(A)：返回矩陣A的逆矩陣。

案例：計(jì)算一個(gè)3 x 3的矩陣的逆矩陣

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
B = inv(A)

輸出：

B =
? ?-0.0000 ? ?0.0000 ? ?0.1111
? ?-0.0000 ? ?0.1111 ? -0.2222
? ? 0.0000 ? -0.2222 ? ?0.1111

6. rank(A)：返回矩陣A的秩。

案例：計(jì)算一個(gè)4 x 4的矩陣的秩

A = [1 2 3 4; 2 4 6 8; 3 6 9 12; 4 8 12 16];
rank(A)

輸出：

ans =
? ? ?1

7. det(A)：返回矩陣A的行列式。

案例：計(jì)算一個(gè)3 x 3的矩陣的行列式

A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
det(A)

輸出：

ans =
? ? ?0

三、不定方程組以及其他方程組介紹

3.1、不定方程組簡(jiǎn)介

不定方程組是指未知數(shù)個(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的方程組。不定方程組通常沒(méi)有唯一解，而是有無(wú)窮多個(gè)解。不定方程組的求解是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題，涉及到線性代數(shù)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域。

不定方程組的求解方法有很多種，其中比較常見(jiàn)的方法包括高斯消元法、初等變換法、克萊姆法則、列主元消去法等。這些方法都需要根據(jù)不同的具體情況進(jìn)行選擇和應(yīng)用。

在實(shí)際應(yīng)用中，不定方程組的求解經(jīng)常涉及到矩陣初等變換和線性方程組的解法。矩陣初等變換是指將矩陣中的一行或一列乘以非零常數(shù)，或者將矩陣中的一行或一列加上另一行或另一列的若干倍。矩陣初等變換可以改變矩陣的行列式、秩等性質(zhì)，從而方便地解決一些不定方程組的問(wèn)題。

線性方程組是指未知數(shù)只有一維，且方程組中每個(gè)方程都是一次方程的方程組。線性方程組的求解方法包括高斯消元法、矩陣求逆法、矩陣分解法等。其中，高斯消元法是最常用的方法之一，可以通過(guò)初等變換將線性方程組化為最簡(jiǎn)形式，從而求得其解析解或數(shù)值解。

3.2、對(duì)上述的常見(jiàn)求解方法介紹

1. 高斯消元法

高斯消元法是一種常用的線性方程組求解方法，它通過(guò)矩陣初等變換將方程組化為最簡(jiǎn)形式，從而求得其解析解或數(shù)值解。具體步驟如下：

（1）將方程組寫(xiě)成增廣矩陣形式。

（2）選擇一個(gè)主元，將其它行的元素都化為0。這個(gè)過(guò)程叫做消元。

（3）重復(fù)步驟（2），直到矩陣變?yōu)橐粋€(gè)上三角矩陣。

（4）從最后一行向上逐步回代，求出未知數(shù)的值。

需要注意的是，高斯消元法只能求解線性方程組，對(duì)于不定方程組，需要先通過(guò)一些方法化為線性方程組。

2. 初等變換法

初等變換法是指將矩陣中的一行或一列乘以非零常數(shù)，或者將矩陣中的一行或一列加上另一行或另一列的若干倍。初等變換可以改變矩陣的行列式、秩等性質(zhì)，從而方便地解決一些不定方程組的問(wèn)題。

具體步驟如下：

（1）將方程組寫(xiě)成增廣矩陣形式。

（2）通過(guò)初等變換將增廣矩陣化為最簡(jiǎn)形式。

（3）根據(jù)最簡(jiǎn)形式求解未知數(shù)。

初等變換法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易懂，但是對(duì)于特殊的方程組，可能需要進(jìn)行多次變換才能得到最簡(jiǎn)形式。

3. 克萊姆法則

克萊姆法則是一種基于行列式的求解方法，適用于未知數(shù)個(gè)數(shù)等于方程個(gè)數(shù)的情況。具體步驟如下：

（1）將方程組寫(xiě)成增廣矩陣形式。

（2）求出系數(shù)矩陣的行列式。

（3）將系數(shù)矩陣中的第i列替換為增廣矩陣的最后一列。

（4）求出新的系數(shù)矩陣的行列式。

（5）未知數(shù)的值即為第4步的行列式除以第2步的行列式。

克萊姆法則的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單易行，但是對(duì)于未知數(shù)個(gè)數(shù)較多的方程組，求解過(guò)程可能比較繁瑣，而且容易出現(xiàn)誤差。

4. 列主元消去法

列主元消去法是一種消元法，它通過(guò)矩陣初等變換將方程組化為最簡(jiǎn)形式，從而求得其解析解或數(shù)值解。與高斯消元法不同的是，列主元消去法每次選擇系數(shù)矩陣的絕對(duì)值最大的元素作為主元，從而可以減小誤差。

具體步驟如下：

（1）將方程組寫(xiě)成增廣矩陣形式。

（2）選擇系數(shù)矩陣中絕對(duì)值最大的元素作為主元。

（3）通過(guò)初等變換將主元下方的元素全部消為0。

（4）重復(fù)步驟（2）和（3），直到矩陣變?yōu)橐粋€(gè)上三角矩陣。

（5）從最后一行向上逐步回代，求出未知數(shù)的值。

需要注意的是，列主元消去法只適用于系數(shù)矩陣非奇異的情況，否則可能會(huì)出現(xiàn)無(wú)解或多解的情況。

3.3、MATLAB中如何使用矩陣初等變換和解線性方程組。

1. 矩陣初等變換

MATLAB中可以使用矩陣初等變換函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)矩陣初等變換。常用的矩陣初等變換有三種：交換矩陣的兩行、用一個(gè)非零常數(shù)乘以某一行、將某一行加上另一行的k倍。

例如，假設(shè)有一個(gè)3×3的矩陣A，我們想要交換第一行和第二行，可以使用MATLAB中的函數(shù)：

A([1 2],:) = A([2 1],:)

將A矩陣的第1行和第2行進(jìn)行交換。

同樣地，我們可以使用以下語(yǔ)句來(lái)將A矩陣第1行乘以一個(gè)非零常數(shù)k：

A(1,:) = k * A(1,:)

將A矩陣的第1行乘以k。

最后，如果我們想要將A矩陣第2行加上第1行的3倍，可以使用以下語(yǔ)句：

A(2,:) = A(2,:) + 3 * A(1,:)

將A矩陣的第2行加上第1行的3倍。

需要注意的是，矩陣初等變換函數(shù)并不會(huì)改變矩陣的秩，只是改變了矩陣的行列式的值。

2. 解線性方程組

MATLAB中可以使用反斜杠符號(hào)（\）來(lái)求解線性方程組。例如，假設(shè)我們有以下線性方程組：

3x1 - 2x2 + x3 = 1
2x1 + x2 - x3 = 0
x1 - x2 + x3 = 2

可以使用以下語(yǔ)句來(lái)求解：

A = [3 -2 1; 2 1 -1; 1 -1 1];
B = [1; 0; 2];
X = A \ B

將系數(shù)矩陣A和常數(shù)矩陣B輸入反斜杠符號(hào)，求解出線性方程組的解。

需要注意的是，反斜杠符號(hào)求解的是方程組的最小二乘解，如果方程組有唯一解，則最小二乘解等于唯一解。

另外，如果方程組有多個(gè)解，反斜杠符號(hào)將求解其中的一個(gè)解。如果想要求解所有解，可以使用MATLAB中的線性代數(shù)函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)。

3.4、奇異方程組

1、奇異方程組簡(jiǎn)介

奇異方程組可以理解為一個(gè)線性方程組中存在無(wú)法確定唯一解的情況，即方程組的系數(shù)矩陣不是滿秩矩陣。在這種情況下，我們需要采用其他方法來(lái)求解方程組的解。

奇異方程組的解可以分為兩種情況：

• 1. 無(wú)解：當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩小于方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，方程組無(wú)解。
• 2. 有無(wú)窮多個(gè)解：當(dāng)方程組的系數(shù)矩陣的秩小于方程組的未知數(shù)個(gè)數(shù)時(shí)，方程組有無(wú)窮多解。

在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常采用最小二乘法來(lái)求解奇異方程組的解。

2、案例講解

假設(shè)有如下奇異方程組：

2x + 3y + 4z = 10
4x + 6y + 8z = 20
6x + 9y + 12z = 30

我們可以先將其寫(xiě)成增廣矩陣的形式：

2 ?3 ?4 | 10
4 ?6 ?8 | 20
6 ?9 ?12| 30

然后，我們可以使用MATLAB中的“pinv”函數(shù)來(lái)求解最小二乘解。具體步驟如下：

% 將方程組的系數(shù)矩陣A和常數(shù)矩陣b賦值
A = [2 3 4; 4 6 8; 6 9 12];
b = [10; 20; 30];

% 求解最小二乘解
x = pinv(A) * b;

% 輸出結(jié)果
disp(x);

運(yùn)行上述代碼，我們得到的結(jié)果為：

-3.3333
6.6667
0

這就是方程組的最小二乘解。

3.5、超定方程組

1、超定方程組的簡(jiǎn)介

超定方程組指的是方程組的未知數(shù)數(shù)量多于方程數(shù)量的情況。在這種情況下，方程組通常沒(méi)有精確解，但可以使用最小二乘法來(lái)得到近似解。最小二乘法的基本思想是，將方程組的殘差平方和最小化，從而得到一個(gè)近似解。

2、案例舉例

假設(shè)我們有一個(gè)超定方程組：

A * x = b

其中A是一個(gè)m×n的矩陣（m>n），b是一個(gè)m維向量，x是一個(gè)n維向量，我們想要求出一個(gè)最小二乘解x*，使得||A * x* - b||^2最小。

使用最小二乘法可以得到以下公式：

x* = (A' * A) \ (A' * b)

其中，A'表示A的轉(zhuǎn)置矩陣，\表示MATLAB中的反斜杠符號(hào)，用于求解線性方程組。

下面是一個(gè)使用MATLAB進(jìn)行最小二乘法求解的例子：

假設(shè)我們有以下數(shù)據(jù)點(diǎn)：

x = [1; 2; 3; 4; 5];
y = [0.5; 2.5; 2; 4; 3.5];

我們想要使用最小二乘法擬合一個(gè)一次函數(shù)y = a * x + b，求出系數(shù)a和b的值?？梢詫⑦@個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)超定方程組：

A = [x, ones(length(x), 1)];
b = y;

其中，A是一個(gè)5×2的矩陣，b是一個(gè)5維向量。

使用最小二乘法可以得到以下MATLAB語(yǔ)句：

x_star = (A' * A) \ (A' * b)

求解矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣A'和b的乘積以及A'和A的乘積，并用反斜杠符號(hào)求解線性方程組，得到最小二乘解x*，即系數(shù)a和b的值。

需要注意的是，MATLAB中還有其他一些函數(shù)可以用于最小二乘法的求解，如pinv函數(shù)和lsqnonneg函數(shù)等。這些函數(shù)的使用方法可以參考MATLAB的官方文檔。

3、\運(yùn)算符、pinv（）函數(shù)、lsqnonneg函數(shù)

MATLAB中用于解決最小二乘問(wèn)題的函數(shù)有幾個(gè)，其中最常用的是“\”運(yùn)算符和pinv函數(shù)。

1. \運(yùn)算符

在MATLAB中，使用“\”運(yùn)算符可以直接求解最小二乘問(wèn)題。具體地，對(duì)于一個(gè)線性方程組Ax=b，如果A不是方陣，可能無(wú)法直接求解，但是可以使用“\”運(yùn)算符進(jìn)行最小二乘求解。

例如，假設(shè)有一個(gè)超定方程組Ax=b，其中A為3行2列的矩陣，b為3行1列的向量，則可以使用以下代碼求解：

A = [1, 2; 3, 4; 5, 6];
b = [3; 7; 11];
x = A\b;

這里的“\”運(yùn)算符就是對(duì)超定方程組進(jìn)行最小二乘求解的。

2. pinv函數(shù)

另一個(gè)常用的MATLAB函數(shù)是pinv函數(shù)，它可以計(jì)算矩陣的廣義逆矩陣。對(duì)于一個(gè)超定方程組Ax=b，如果A不是滿秩矩陣，即A的列數(shù)大于行數(shù)，那么A的逆矩陣不存在，但是可以計(jì)算A的廣義逆矩陣，使得Ax=b的最小二乘解x可以表示為x=pinv(A)*b。

例如，假設(shè)有一個(gè)超定方程組Ax=b，其中A為3行2列的矩陣，b為3行1列的向量，則可以使用以下代碼求解：

A = [1, 2; 3, 4; 5, 6];
b = [3; 7; 11];
x = pinv(A)*b;

這里的pinv函數(shù)計(jì)算了矩陣A的廣義逆矩陣，然后用b乘以它得到了最小二乘解x。

以上兩種方法都可以用于求解最小二乘問(wèn)題，具體使用哪一種方法取決于具體的問(wèn)題和數(shù)據(jù)。

3、lsqnonneg函數(shù)

MATLAB中的lsqnonneg函數(shù)是用于解決非負(fù)最小二乘問(wèn)題的函數(shù)。它可以求解形如Ax=b和x>=0的線性方程組問(wèn)題，其中x>=0表示x中所有的元素都大于等于0。lsqnonneg函數(shù)的基本語(yǔ)法為：

x = lsqnonneg(A, b);

其中，A為系數(shù)矩陣，b為常數(shù)向量，x為未知量向量，函數(shù)的輸出值。lsqnonneg函數(shù)會(huì)自動(dòng)求解線性方程組Ax=b，同時(shí)保證x中的元素都大于等于0。

下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，演示如何使用lsqnonneg函數(shù)求解非負(fù)最小二乘問(wèn)題：

A = [1, 1, 1; 1, 2, 3; 1, 3, 5];
b = [2; 4; 6];
x = lsqnonneg(A, b);

在這個(gè)例子中，我們要求解Ax=b，其中A為3行3列的矩陣，b為3行1列的向量。我們使用lsqnonneg函數(shù)求解這個(gè)問(wèn)題，并將結(jié)果保存在變量x中。由于這里的x必須為非負(fù)數(shù)，因此lsqnonneg函數(shù)會(huì)自動(dòng)保證x中的元素都大于等于0。

lsqnonneg函數(shù)還有其他一些可選參數(shù)，例如指定最大迭代次數(shù)、容差等。如果需要更多的控制，可以查閱MATLAB官方文檔。

總結(jié)

以上就是今天的內(nèi)容~

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