目錄
1，矩陣的初等變換
1.1，初等變換
1.2，增廣矩陣?
?1.3，定義和性質
1.4，行階梯型矩陣、行最簡型矩陣
1.5，標準形矩陣?
1.6，矩陣初等變換的性質?
2，矩陣的秩?
3，線性方程組的解?
1，矩陣的初等變換
1.1，初等變換
初等變換包括三種：交換行或列、某行或列乘以一個非零系數(shù)、某行或列加上零一行或列的k倍。
1.2，增廣矩陣?
?增廣矩陣：方程組的系數(shù)矩陣和常數(shù)矩陣組成的矩陣。
方程組：
對應的增廣矩陣：
1.3，定義和性質
矩陣的初等行變換和初等列變換，統(tǒng)稱為初等變換。
待補充：
使用Matlab判斷兩個矩陣是否等價。
1.4，行階梯型矩陣、行最簡型矩陣
?
對于任何矩陣，都可以通過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯型矩陣和行最簡型矩陣。
利用初等行變換，把一個矩陣化為行階梯形矩陣和行最簡形矩陣，是一種很重要的運算，解線性方程組只需要把增廣矩陣化為行最簡形矩陣。
Matlab使用rref命令可以得到一個矩陣的行最簡形矩陣：
clc;
A = [4 2 -1 2;
5 2 3 1;
11 3 0 8];
rref(A)運行結果：
1.5，標準形矩陣?
1.6，矩陣初等變換的性質?
定義：由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。
三種初等變換對應三種初等矩陣。
第一種：把初等矩陣（單位矩陣兩行對調）乘矩陣A，相當于對矩陣A進行初等行變換或列變換（對應的兩行或列對調）；
clc;
A = [1 1 1 1;
2 2 2 2;
3 3 3 3]
E = eye(3);
E1_2 = E;
E1_2(1,:) = E(2,:);
E1_2(2,:) = E(1,:);
E1_2
E1_2*A運行結果：
上述代碼，如果改為右乘初等矩陣，結果為第1列和第2列對調：
clc;
A = [1 2 3 4;
1 2 3 4;
1 2 3 4]
E = eye(4);
E1_2 = E;
E1_2(1,:) = E(2,:);
E1_2(2,:) = E(1,:);
E1_2
A*E1_2運行結果：
類似，其他兩種初等矩陣乘以矩陣A，相當于對矩陣A做對應的初等變換。
問題：
clc;
%舉例說明
E = eye(5);
E_23 = E;
E_23(2,:) = E(3,:);
E_23(3,:) = E(2,:); %交換單位矩陣E的2和3行，得到一個初等矩陣
A = E_23*E; %E_23*E相當于對單位矩陣E進行了一次初等變化（交換2和3行）得到一個矩陣A
B = E_23*A %E_23*A相當于對單位矩陣A進行了一次初等變化（再次交換2和3行）得到一個矩陣B，其實B就是E
% B = E_23*A = B = E_23*E_23*E = E 即E_23*E_23 = E，則E_23的逆等于E_23運行結果：
B =
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1運行代碼發(fā)現(xiàn)B還是單位矩陣，即B = E_23*A =? E_23*E_23*E = E 即E_23*E_23 = E，則E_23的逆等于E_23，也就是交換行的初等矩陣，它的逆還是它本身。?
初等變換得到一個初等矩陣，初等變換的逆變換得到初等矩陣的逆矩陣。?
矩陣A可逆，可通過
的方式求A
，因其可轉化為
Matlab種使用rref命令可對上述矩陣A和E組成的矩陣轉化，將矩陣A對應元素轉化為單位陣E，對應的單位矩陣E就變?yōu)榫仃嘇的逆矩陣：
clc;
A = [2 -1 -1;
1 1 -2;
4 -6 5];
det(A); %判斷A是否有逆矩陣
E = eye(3);
B = [A,E]
rref(B)
運行結果：
也可使用rref命令求方程組的解：
clc;
A = [2 -1 -1;
1 1 -2;
4 -6 5];
b = [4;2;6];
B = [A,b]
rref(B)
運行結果：
2，矩陣的秩?
矩陣k階子式的概念：
?矩陣秩的概念：
矩陣A的秩，A的行階梯形種非零行的個數(shù)。?矩陣的秩用R表示。
如果矩陣A~B，則矩陣A的秩R(A) = R(B)，具體證明可在參考書種找到。
Matlab中計算矩陣的秩的命令為rank。
以下代碼中矩陣A經(jīng)過三種行變換后得到矩陣A12，R(A)=R(A12):
clc;
A = [1 3 5 2;
2 6 9 0;
2 4 1 7]
A12 = A;
A12(1,:) = A(2,:);
A12(2,:) = A(1,:); %A12為A經(jīng)過一次行變換后得到，A~A12
k = 2;
A12(1,:) = k*A12(1,:); %A12第一行元素乘以k
A12(2,:) = A12(2,:) + A12(3,:) %A12第二行元素+第三行元素
rank_A = rank(A)
rank_A12 = rank(A12) %矩陣A經(jīng)過三種行變換后的矩陣，他們的秩相同即 A~A12運行結果：
3，線性方程組的解?
對于方程組，可通過系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩判斷方程組是否有唯一解，以下代碼為判斷邏輯：
clc;
A = [1 -2 2 -1;
2 -4 8 0;
-2 4 -2 3;
3 -6 0 -6] %系數(shù)矩陣
b = [1;2;3;4]; %常數(shù)矩陣
M = rref([A,b])
rank(A)
rank([A,b])運行結果，系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩不相等：
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-760169.html
很明顯增廣矩陣的行階梯形矩陣的第三行是矛盾方程 0 = 1。?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-760169.html
到了這里，關于線性代數(shù)中涉及到的matlab命令-第三章：矩陣的初等變換及線性方程組的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
