2.4_數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念
數(shù)理統(tǒng)計(jì)思維導(dǎo)圖
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1.基本概念
總體：研究對(duì)象的全體，它是一個(gè)隨機(jī)變量，用 X X X表示。
個(gè)體：組成總體的每個(gè)基本元素。
簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：來(lái)自總體 X X X的 n n n個(gè)相互獨(dú)立且與總體同分布的隨機(jī)變量 X 1 , X 2 ? ? , X n X_{1},X_{2}\cdots,X_{n} X1?,X2??,Xn?，稱(chēng)為容量為 n n n的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本。
統(tǒng)計(jì)量：設(shè) X 1 , X 2 ? ? , X n , X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}, X1?,X2??,Xn?,是來(lái)自總體 X X X的一個(gè)樣本， g ( X 1 , X 2 ? ? , X n ) g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}) g(X1?,X2??,Xn?)）是樣本的連續(xù)函數(shù)，且 g ( ) g() g()中不含任何未知參數(shù)，則稱(chēng) g ( X 1 , X 2 ? ? , X n ) g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}) g(X1?,X2??,Xn?)為統(tǒng)計(jì)量。
樣本均值：
X
￣
=
1
n
∑
i
=
1
n
X
i
\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}
X=n1?∑i=1n?Xi?
樣本方差：
S
2
=
1
n
?
1
∑
i
=
1
n
(
X
i
?
X
￣
)
2
S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}
S2=n?11?∑i=1n?(Xi??X)2
樣本矩：樣本 k k k階原點(diǎn)矩： A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k , k = 1 , 2 , ? A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots Ak?=n1?∑i=1n?Xik?,k=1,2,?
樣本 k k k階中心矩： B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i ? X ￣ ) k , k = 1 , 2 , ? B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots Bk?=n1?∑i=1n?(Xi??X)k,k=1,2,?
2.分布
χ 2 \chi^{2} χ2分布： χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ? + X n 2 ～ χ 2 ( n ) \chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n) χ2=X12?+X22?+?+Xn2?～χ2(n)，其中 X 1 , X 2 ? ? , X n , X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}, X1?,X2??,Xn?,相互獨(dú)立，且同服從 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)
t t t分布： T = X Y / n ～ t ( n ) T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) T=Y/n?X?～t(n) ，其中 X ～ N ( 0 , 1 ) , Y ～ χ 2 ( n ) , X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n), X～N(0,1),Y～χ2(n),且 X X X， Y Y Y 相互獨(dú)立。
F F F分布： F = X / n 1 Y / n 2 ～ F ( n 1 , n 2 ) F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2}) F=Y/n2?X/n1??～F(n1?,n2?)，其中 X ～ χ 2 ( n 1 ) , Y ～ χ 2 ( n 2 ) , X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}), X～χ2(n1?),Y～χ2(n2?),且 X X X， Y Y Y相互獨(dú)立。
分位數(shù)：若 P ( X ≤ x α ) = α , P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha, P(X≤xα?)=α,則稱(chēng) x α x_{\alpha} xα?為 X X X的 α \alpha α分位數(shù)
3.正態(tài)總體的常用樣本分布
設(shè) X 1 , X 2 ? ? , X n X_{1},X_{2}\cdots,X_{n} X1?,X2??,Xn?為來(lái)自正態(tài)總體 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^{2}) N(μ,σ2)的樣本， X ￣ = 1 n ∑ i = 1 n X i , S 2 = 1 n ? 1 ∑ i = 1 n ( X i ? X ￣ ) 2 , \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2},} X=n1?∑i=1n?Xi?,S2=n?11?∑i=1n?(Xi??X)2,則：
(1) X ￣ ～ N ( μ , σ 2 n ) ?? \overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ } X～N(μ,nσ2?)??或者 X ￣ ? μ σ n ～ N ( 0 , 1 ) \frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1) n?σ?X?μ?～N(0,1)
(2) ( n ? 1 ) S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i ? X ￣ ) 2 ～ χ 2 ( n ? 1 ) \frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)} σ2(n?1)S2?=σ21?∑i=1n?(Xi??X)2～χ2(n?1)
(3) 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i ? μ ) 2 ～ χ 2 ( n ) \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{{(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)} σ21?∑i=1n?(Xi??μ)2～χ2(n)
(4) ?? X ￣ ? μ S / n ～ t ( n ? 1 ) {\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1) ??S/n?X?μ?～t(n?1)
4.重要公式與結(jié)論
(1) 對(duì)于 χ 2 ～ χ 2 ( n ) \chi^{2}\sim\chi^{2}(n) χ2～χ2(n)，有 E ( χ 2 ( n ) ) = n , D ( χ 2 ( n ) ) = 2 n ; E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n; E(χ2(n))=n,D(χ2(n))=2n;
(2) 對(duì)于 T ～ t ( n ) T\sim t(n) T～t(n)，有 E ( T ) = 0 , D ( T ) = n n ? 2 ( n > 2 ) E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2) E(T)=0,D(T)=n?2n?(n>2)；
(3) 對(duì)于 F ? ~ F ( m , n ) F\tilde{\ }F(m,n) F?~F(m,n)，有 1 F ～ F ( n , m ) , F a / 2 ( m , n ) = 1 F 1 ? a / 2 ( n , m ) ; \frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)}; F1?～F(n,m),Fa/2?(m,n)=F1?a/2?(n,m)1?;文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-651868.html
(4) 對(duì)于任意總體 X X X，有 E ( X ￣ ) = E ( X ) , E ( S 2 ) = D ( X ) , D ( X ￣ ) = D ( X ) n E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n} E(X)=E(X),E(S2)=D(X),D(X)=nD(X)?文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-651868.html
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