目錄

相關(guān)符號

相關(guān)概念與例題

背景

總體與樣本

統(tǒng)計量

統(tǒng)計量

常用統(tǒng)計量【重點】

直方圖

經(jīng)驗分布函數(shù)

正態(tài)總體的抽樣分布

前言復(fù)習(xí)

????分布

??分布

??分布

上側(cè)分位點

抽樣分布定理【重點】

點估計

前言

點估計【重點】

矩估計方法【重點】

極大似然估計方法【重點】

區(qū)間估計

基本概念

單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

假設(shè)檢驗的基本概率

假設(shè)檢驗問題的提法、原則與基本步驟

兩種錯誤

關(guān)于正態(tài)總體的假設(shè)檢驗

1. ??^??已知，關(guān)于??的檢驗

2. ??^??未知，關(guān)于??的檢驗

3.均值??未知時，關(guān)于方差??^??的檢驗

相關(guān)總結(jié)

具有可加性的分布

正態(tài)分布的抽樣分析

三種情況下的??比較

區(qū)間估計與假設(shè)檢驗

相關(guān)符號

相關(guān)概念與例題

背景

數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)：研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，對所考察的問題作出推斷和預(yù)測，為決策和行動提供依據(jù)和建議.

總體與樣本

統(tǒng)計推斷——從全體研究對象中抽取部分個體進(jìn)行實驗，利用概率論的理論對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而獲得對研究對象統(tǒng)計規(guī)律的推測，這種思想的實現(xiàn)稱為統(tǒng)計推斷。

參數(shù)估計和假設(shè)檢驗是統(tǒng)計推斷的兩個基本方法。

總體——在數(shù)理統(tǒng)計中，把研究對象的全體稱為總體或母體。（試驗全部可能的觀察值）

有限總體: 包括有限個個體的總體。

無限總體: 包括無限個個體的總體。

我們要研究的總體實質(zhì)上就是某個概率分布，因此我們將總體定義為一個概率分布或服從這個分布的隨機(jī)變量。

個體——組成總體的每一個研究對象稱為個體。（每一個可能的觀察值）

抽樣——為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個體進(jìn)行觀察試驗，以獲得有關(guān)總體的信息，這一抽取過程稱為“抽樣”。

樣本——被抽取的部分個體稱為總體的一個樣本。
樣本容量——樣本中所包含的個體數(shù)目稱為樣本容量。

樣本是??個隨機(jī)變量????,????,...,????，它們滿足：（獨立同分布）

1. 獨立性：????,????,...,????是相互獨立的隨機(jī)變量

2. 代表性：????,????,...,????中每一個與所考察的總體有相同的分布

當(dāng)取樣完成后，我們就得到??個具體的數(shù)據(jù)：????,????,...,????，稱之為樣本????,????,...,????的樣本觀察值，簡稱樣本值，并稱??為樣本大小或樣本容量。

樣本的聯(lián)合分布律

實際操作中，怎樣獲得簡單隨機(jī)樣本？

對于有限總體，采用放回抽樣，就能得到簡單隨機(jī)樣本。

????????當(dāng)個體的總數(shù)??比樣本容量??大得多時，實際中可將不放回抽樣近似地當(dāng)做放回抽樣來處理

對于無限總體，總是用不放回抽樣。

統(tǒng)計量

統(tǒng)計量

設(shè)??1,??2,?,????為來自總體??的一個樣本，??(??1,??2,?,????)為一連續(xù)函數(shù)，若??中不含有總體的任何未知參數(shù)，則稱??=??(??1,??2,?,????)為統(tǒng)計量。【考點】

??(??1,??2,?,????)為連續(xù)函數(shù)是為保證統(tǒng)計量??是一隨機(jī)變量。當(dāng)樣本??1,??2,?,????取定觀測值??1,??2,...,????后，??=??(??1,??2,?,????)為一常量或者觀察值。

常用統(tǒng)計量【重點】

直方圖

橫坐標(biāo)表示數(shù)據(jù)，縱坐標(biāo)有三種表示方法：頻數(shù)、頻率、頻率/組距。

頻率直方圖可以反映出連續(xù)型隨機(jī)變量的頻率分布情況

【繪制步驟】
1. 找出樣本數(shù)據(jù)中的最小值和最大值，確定數(shù)據(jù)的取值區(qū)間；
2. 將區(qū)間等分為m個子區(qū)間，用橫坐標(biāo)來刻畫；
3. 統(tǒng)計數(shù)據(jù)落在每個子區(qū)間上的頻數(shù)，計算頻率及各直方塊的高度，用縱坐標(biāo)來刻畫。

經(jīng)驗分布函數(shù)

設(shè)??1,??2,?,????是總體??的一個樣本，用??(??)表示??1,??2,?,????中不大于??的隨機(jī)變量的個數(shù)，定義經(jīng)驗分布函數(shù)????(??)為：????(??)=1/?? * ??(??)，?∞<??<+∞

對于給定的樣本值，經(jīng)驗分布函數(shù)的觀察值很容易得到。經(jīng)驗分布????(??)的觀察值仍以????(??)表示。

經(jīng)驗分布函數(shù)觀察值的求法：
一般地，設(shè)??1,??2,?,????是總體??的一個容量為??的樣本值。將??1,??2,?,????按從小到大的次序排列，并重新編號，設(shè)為??1≤??2≤?≤????
則經(jīng)驗分布????(??)的觀察值（分布函數(shù)，概率）為

?格利文科(Glivenko)定理
對于任意實數(shù)??, 經(jīng)驗分布函數(shù)????(??)以概率1一致收斂于總體分布函數(shù)??(??)即：
含義是：當(dāng)??充分大，“對于任意實數(shù), 經(jīng)驗分布函數(shù)與總體分布函數(shù)之差的絕對值都很小”這個事件發(fā)生的概率等于1。
定理表明，當(dāng)樣本容量充分大，經(jīng)驗分布函數(shù)常常是對總體分布函數(shù)的很好近似。這一結(jié)論是數(shù)理統(tǒng)計依據(jù)樣本來推斷總體特征的理論基礎(chǔ)。

正態(tài)總體的抽樣分布

前言復(fù)習(xí)

????分布

定義：設(shè)??1,??2,?,????相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則隨機(jī)變量??=??1^2+??2^2+?+????^2服從自由度為??的??2分布，記為??～??2(??)。
密度函數(shù)（不重要，知曉圖形趨勢即可）

????分布的性質(zhì)：

（1）可加性：若??~????(??)，??~????(??)，且??和??相互獨立，則??+??~????(??+??)

（2）設(shè)????,????,?,????相互獨立，且均服從正態(tài)分布????～??(??,??^??)，則

（3）數(shù)學(xué)期望與方差：若??~????(??)，則??(??)=??,??(??)=????。證明如下：

例題?設(shè)總體??~??(0,1),??1,??2,?,??6為取自總體??的樣本,令??=(??1+??2+??3)^2+(??4+??5+??6)^2，求常數(shù)??和n使得????~??2(n)。

解：

【注意】??與??^2，以及相加的關(guān)系

??分布

定義：設(shè)??~??(0,1),??～??2(??)且??和??相互獨立，則隨機(jī)變量服從自由度為??的??分布，記為??～??(??)。
密度函數(shù)（不重要，知曉圖形趨勢即可）

??分布的性質(zhì)：

1.??分布的密度函數(shù)??(??)關(guān)于??=0對稱。當(dāng)??充分大時，由T函數(shù)的性質(zhì)有：，即??充分大時??(??)分布近似于??(0,1)分布，但對于較小的??，??(??)分布與??(0,1)分布相差很大。

2. 具有自由度為??的??～??(??)分布，其期望與方差為??(??)=0,??>1，??(??)=??/(???2),??>2

例題?設(shè)??1,??2,?,??5為取自總體??的樣本,相互獨立且均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，若服從??(??)分布，則??和??的取值？

解：

【注意】記得t分布的公式的條件，分母上需要服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

??分布

定義：設(shè)??～??2(??1)，??～??2(??2)，且??和??相互獨立,則隨機(jī)變量，服從自由度為??1和??2的??分布，記為??～??(??1,??2)
密度函數(shù)（不重要，知曉圖形趨勢即可）

例題?已知??～??(??)，證明??^2～??(1,??)。

證明：因??～??(??)，則存在??～??(0,1),??～??^2(??)，且??和??相互獨立，使得，即t分布的公式

于是，。

【注意】這里的不是????分布，注意相關(guān)式子的左右側(cè)

上側(cè)分位點

設(shè)隨機(jī)變量??的分布為已知

在概率論中，常常需要計算對于給定??的概率??{??≤??}=??，

而在數(shù)理統(tǒng)計中，常常需要對給定的??(0<??<1)，求出使??{??>??}=??的??。

定義：給定??(0<??<1)，若數(shù)λ??使得??{??>λ??}=??即??(λ??)=1???則稱λ??為此概率分布的??上側(cè)分位點或臨界值。 （λ??為隨機(jī)變量取的數(shù)，??為概率）

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位點

1）定義：設(shè)??~??(0,1)，對于給定的??(0<??<1)，使??{??>??(??)}=??或成立的??(??)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布??的上側(cè)分位點。

2）Φ(??(??))=??{??≤??(??)}==1???

3）???(??)=??(1???)

?????分布的上側(cè)分位點

定義：設(shè)??~??2(??)，對于給定的??(0<??<1)，使??{??>(????)^2(??)}=??或成立的(????)^2(??)稱為??2分布??的上側(cè)分位點。

當(dāng)自由度大于45時，可用近似公式：

t分布的上側(cè)分位點

定義：設(shè)??~??(??)，對于給定的??(0<??<1)，使??{??>????(??)}=??或成立的????(??)稱為??(??)分布??的上側(cè)分位點。

對稱性：???( ??(??) )=??( 1???(??) )

由??分布的性質(zhì)：當(dāng)??趨于無窮時，??分布的極限分布是正態(tài)分布，所以當(dāng)自由度大于45時，可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來近似：????(??)≈????

??分布的上側(cè)分位點

定義：設(shè)??~??(??1,??2)，對于給定的??(0<??<1)，使??{??>????(??1,??2)}=??或成立的????(??1,??2)稱為??(??1,??2)分布??的上側(cè)分位點。

定理：

抽樣分布定理【重點】

定理1：設(shè)總體??~??(??,??^2)，??1,??2,?,????是??的一個樣本，則或，其中為樣本均值。

定理2：設(shè)總體??~??(??,??^2)，??1,??2,?,????是??的一個樣本，則

定理3：設(shè)總體??~??(??,??^2)，??1,??2,?,????是??的一個樣本，則。

點估計

前言

研究統(tǒng)計量的性質(zhì)和評價一個統(tǒng)計推斷的優(yōu)良性，完全取決于其抽樣分布的性質(zhì)。
統(tǒng)計推斷：對總體的未知參數(shù)進(jìn)行估計；對關(guān)于參數(shù)的假設(shè)進(jìn)行檢驗。

點估計【重點】

設(shè)總體??的分布函數(shù)??(??,??)形式已知，但其包含未知參數(shù)??（可以是一個或者多個參數(shù)）。借助于總體??的一個樣本來估計總體的未知參數(shù)的值，稱為點估計問題。
點估計問題就是要構(gòu)建一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量^??(??1,??2,?,????)，用它的觀察值^??(??1,??2,?,????)來估計未知參數(shù)??。
對于正態(tài)分布，樣本均值是??的無偏估計，??^2是??^2的無偏估計

例題 在某炸藥制造廠，一天中發(fā)生著火現(xiàn)象的次數(shù)??是一個隨機(jī)變量，假設(shè)它服從以??>0為參數(shù)的泊松分布，參數(shù)??為未知，設(shè)有以下樣本值，試估計參數(shù)λ。

解：因為??~P(??),所以??=??(??)。用樣本均值來估計總體的均值??(??)，即
=1/250 *(0×75+1×90+2×54+3×22+4×6+5×2+6×1)=1.22，
故估計參數(shù)??的值為1.22

矩估計方法【重點】

矩估計法——用樣本原點矩估計相應(yīng)的總體原點矩，又用樣本原點矩的連續(xù)函數(shù)估計相應(yīng)的總體原點矩的連續(xù)函數(shù)，這種參數(shù)點估計法稱為矩估計法。

矩估計的基本步驟：
設(shè)總體??的分布函數(shù)中含有??個未知參數(shù)??1,??2?,????
1.總體??的??階矩α1,α2,...,α??,一般地都是總體分布中的參數(shù)??1,??2?,????的函數(shù)，記為????=????(??1,??2?,????)，??=1,2,?,??
2.從這??個方程中解出：????=????(??1,??2,...,????)，??=1,2,?,??
3.用諸????的估計量A??分別代替上式的諸????，即可得諸????的矩估計量^????=????(??1,??2,?,????),??=1,2,?,??
矩估計量的觀察值稱為矩估計值。
【注意】A??是????的估計值，即????是樣本??階原點矩的觀測值，A??是樣本??階原點矩，簡便方法是：????=E(X^i)

例題 設(shè)總體??在[??,??]上服從均勻分布，其中??,??均未知，??1,??2,?,????是來自總體的樣本，求??,??的估計量。

解：

【注意】用諸????的估計量A??分別代替上式的諸????后，還需要用樣本??1,??2,?,????及其相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行化簡。

例題 設(shè)總體??的均值??和方差??^2都存在，且有??>0，但??和??^2均為未知，又設(shè)??1,??2,?,????是一個樣本，求??和??^2的矩估計量。

解：??1=??(??)=??,??2=??(??^2)=??(??)+??(??)^2=??^2+??^2,令??=??1,??^2+??^2=??2.?

解方程組得到矩估計量分別為。

極大似然估計方法【重點】

適用范圍：總體分布類型已知時。
極大似然法的基本思想：參數(shù)（p）的選擇應(yīng)對所出現(xiàn)的觀察結(jié)果最有利，即參數(shù)（p）的選擇應(yīng)使觀察結(jié)果出現(xiàn)的概率最大。
極大似然估計——設(shè)??1,??2,?,????是取自總體??(??;??)的樣本觀察值，如果當(dāng)未知參數(shù)??取^??時，(??1,??2,?,????)被取到的概率最大，則稱^??為??的極大似然估計。

其求法如下：
1）構(gòu)建似然函數(shù)??(??)=??(??1,??2,?,????;??)
若總體是離散型分布，其分布律為??{??=??}=??(??;??)其中??為未知參數(shù)，則樣本的聯(lián)合分布律為

若總體為連續(xù)型，其概率密度為??(??;??)，則樣本的聯(lián)合概率密度為

2）求似然函數(shù)??(??)=??(??)1,??2,?,????;??的最大值點^??

若似然函數(shù)??是??的可微函數(shù)，則最大值點^??必滿足似然方程????/????=0
從中解得??，經(jīng)過檢驗即可得到??的最大值點^??，^??就是??的極大似然估計。由于??為乘積函數(shù)，而??與ln??在同一處取得最大值，所以由對數(shù)似然方程 ??ln??/????=0 求解^??。

?例題 設(shè)??1,??2,?,????是取自總體??~??(1,??)的一個樣本，求參數(shù)??的極大似然估計。

例題 已知總體??~??(??,??^2)，??和??^2均未知，求這兩個參數(shù)的極大似然估計。

區(qū)間估計

基本概念

參數(shù)的區(qū)間估計——由樣本給出未知參數(shù)的一個估計范圍(稱為估計區(qū)間)，并使其包含未知參數(shù)真值的可靠性達(dá)到一定的要求，是對未知參數(shù)的另一種估計方法，這就是參數(shù)的區(qū)間估計。

設(shè)??1,??2,...,????是來自總體??的樣本，??的分布??(??;??)中含有未知參數(shù)??。
對給定的數(shù)??(0<??<1)，若有統(tǒng)計量^??1=^??1(??1,??2,...,????)和^??2=^??2(??1,??2,...,????)(^??1<^??2)使得??{^??1<??<^??2}=1???，則稱隨機(jī)區(qū)間(^??1,^??2)是??的一個雙側(cè)置信區(qū)間，稱1???為置信度(置信水平)（可靠度），稱^??1和^??2是該雙側(cè)置信區(qū)間的置信下限和置信上限。
【注意】區(qū)分上側(cè)分位點??與置信度1???
確切的解釋是：隨機(jī)區(qū)間(^??1,^??2)包含??的概率是1???。

置信度?????是指：參數(shù)??的真值在置信區(qū)間內(nèi)的可靠程度(可信度)。
置信區(qū)間的長度則是對估計精度的度量。置信區(qū)間的長度越短，表示估計的精度越高。即：在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)??=???時求得的置信區(qū)間的長度為最短。即使在概率密度不對稱的情形，如????分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間。
在求置信區(qū)間時，要查表求分位點。

求未知參數(shù)??的置信區(qū)間的步驟如下:
1.尋找一個樣本??1,??2,...,????的函數(shù)：??=??(??1,??2,...,????;??)，它包含待估參數(shù)??，但不包含其它未知參數(shù)，并且??的分布已知且不依賴于任何未知參數(shù)。
2.對于給定的置信水平1???，定出兩個常數(shù)??和??，使得??{??<??(??1,??2,...,????;??)<??}=1???
3.若能從??<??(??1,??2,?,????;??)<??得到等價的不等式^??1<??<^??2，其中^??1=^??1(??1,??2,?,????)，^??2=^??2(??1,??2,?,????)都是統(tǒng)計量，那么(^??1,^??2)就是??的一個置信度為1???的置信區(qū)間。

例題 設(shè)總體??~??(??,??^2)，??^2為已知，??為未知, 設(shè)??1,??2,...,????是來自??的樣本,求??的置信度為0.95的置信區(qū)間。

【注意】給定樣本，給定置信水平，置信區(qū)間也不是唯一的。對同一個參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間。

在概率密度為單峰且對稱的情形，當(dāng)??=???時求得的置信區(qū)間的長度為最短。即使在概率密度不對稱的情形，如????分布，F(xiàn)分布，習(xí)慣上仍取對稱的分位點來計算未知參數(shù)的置信區(qū)間。

單正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計

1.???^2已知時，求??的置信區(qū)間

由上述例題可知，??的置信水平為1???的一個置信區(qū)間為

2.???^2未知時，求??的置信區(qū)間

因為??^2是??^2的無偏估計，可用??替換??，由第六章學(xué)過的定理3可知

例題 有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量(克)如下：

506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，試求總體均值的置信度為0.95的置信區(qū)間。

3.?求??^2的置信區(qū)間

因??^2是??^2的無偏估計，可以以??^2為基礎(chǔ)來構(gòu)建??^2的置信區(qū)間。根據(jù)第六章學(xué)習(xí)的定理2可知：

對于給定的??，查附表得??2分布得分位點，使得

例題 有一大批糖果，現(xiàn)從中隨機(jī)地取16袋，稱得重量(克)如下：

506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496

設(shè)袋裝糖果的重量服從正態(tài)分布，試求總體方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。

假設(shè)檢驗的基本概率

假設(shè)檢驗問題的提法、原則與基本步驟

假設(shè)檢驗問題——根據(jù)樣本的信息檢驗關(guān)于總體的某個假設(shè)是否正確，這類問題稱作假設(shè)檢驗問題。

假設(shè)檢驗問題主要包括：
（1）已知總體分布的形式，需對其中的未知參數(shù)給出假設(shè)檢驗—參數(shù)檢驗
（2）總體的分布形式完全未知的情況下，對總體的分布或數(shù)字特征進(jìn)行假設(shè)檢驗—非參數(shù)檢驗

通常的辦法是進(jìn)行抽樣檢查。

假設(shè)檢驗的基本思想：
（1）提出假設(shè)：????為原假設(shè)（或零假設(shè)）; ????為備選假設(shè)（或?qū)α⒓僭O(shè)）
（2）選檢驗統(tǒng)計量，已知總體分布時根據(jù)總體分布的式子進(jìn)行選定
（3）對給定的顯著性水平??，可以在??(0,1)表中查到分位點的值??(??/2)，使??{|Z|>??(??/2)}=??，確定H0的拒絕域W
（4）由樣本觀察值計算統(tǒng)計量觀察值t
（5）作出判斷：當(dāng)t∈W時，則拒絕H0，否則不拒絕H0，即認(rèn)為在顯著水平??下，H0與實際情況差異不顯著

如果??0是對的，那么衡量差異大小的某個統(tǒng)計量落入拒絕域??（??:|Z|>??(??/2)）是個小概率事件。如果該統(tǒng)計量的實測值落入了??，說明??0成立下的小概率事件發(fā)生了，那么就認(rèn)為??0不可信而否定它。否則我們就不能否定??0。
而不否定??0并不是肯定??0一定對，而只是說差異還不夠顯著，還沒有達(dá)到足以否定??0的程度。所以假設(shè)檢驗又叫“顯著性檢驗”。

如果顯著性水平??取得很小，則拒絕域??也會比較小。產(chǎn)生的后果是：??0難于被拒絕。
如果在??很小的情況下??0仍被拒絕了，則說明實際情況很可能與之有顯著差異。
基于這個理由，人們常把??=0.05 時拒絕??0稱為是顯著的，而把在??=0.01 時拒絕??0稱為是高度顯著的。

【注意】注意區(qū)分上側(cè)分論點??、置信水平1-??和顯著水平??

例題?某工廠生產(chǎn)的一種螺釘，標(biāo)準(zhǔn)要求長度是32.5毫米。實際生產(chǎn)的產(chǎn)品，其長度??假定服從正態(tài)分布??(??,??^2)，??^2未知，現(xiàn)從該廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中抽取6件，得尺寸數(shù)據(jù)如下：32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03，此時顯著水平??=0.01，問這批產(chǎn)品是否合格?

分析：這批產(chǎn)品（螺釘長度）的全體組成問題的總體??。現(xiàn)在要檢驗??(??)是否為32.5。此時相當(dāng)于??^2未知，關(guān)于??的檢驗。

解：第一步：提出原假設(shè)和對立假設(shè)
??0:??=32.5??????????1:??≠32.5
第二步：取一檢驗統(tǒng)計量（能衡量差異大小且分布已知），在????成立下求出它的分布

第三步：對給定的顯著水平??=0.01 ，查表確定臨界值：

????/2(5)=??0.005(5)=4.0322使得??{|??|>????/2(5)}=??，即“|??|>????/2(5)”是一小概率事件，并得到拒絕域??:|??|>4.0322

第四步：將樣本值代入算出統(tǒng)計量??的實測值??=2.997<4.0322故不能拒絕??0

注意：這并不意味著????一定對，只是差異還不夠顯著，不足以否定????

兩種錯誤

?【注意】需要區(qū)分第一類錯誤和第二類錯誤，并記住其代表的內(nèi)容

第一類錯誤：當(dāng)H0為真時，卻拒絕了H0，也稱這類錯誤為去真錯誤。
第二類錯誤：當(dāng)H0不真時，卻接受了H0，也稱這類錯誤為存?zhèn)?/strong>錯誤。????