引言
暑假接近尾聲了，爭取趕一點(diǎn)概率論部分的進(jìn)度。
一、一維隨機(jī)變量及其分布
1.1 隨機(jī)變量
設(shè)隨機(jī)試驗(yàn) E E E 的樣本空間為 Ω \Omega Ω ， X X X 為定義于樣本空間 Ω \Omega Ω 上的函數(shù)，對于任意 w ∈ Ω w \in \Omega w∈Ω ，總存在唯一確定的 X ( w ) X(w) X(w) 與之對應(yīng)，稱 X ( w ) X(w) X(w) 為隨機(jī)變量，一般記為 X X X 。
隨機(jī)變量一定的取值范圍本質(zhì)上就是隨機(jī)事件，若隨機(jī)變量某個(gè)范圍內(nèi)取不到任何值，本質(zhì)上為不可能事件，若某個(gè)范圍包含了隨機(jī)變量所有可能的取值，本質(zhì)上就是必然事件。
1.2 分布函數(shù)
設(shè) X X X 為隨機(jī)變量，對任意的實(shí)數(shù) x x x ，稱函數(shù) F ( x ) = P F(x)=P F(x)=P { X ≤ x X \leq x X≤x } 為隨機(jī)變量 X X X 的分布函數(shù)。
其有如下四個(gè)性質(zhì)：
（1） 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 ; 0 \leq F(x) \leq 1; 0≤F(x)≤1;
（2） F ( x ) F(x) F(x) 是 x x x 的單調(diào)不減函數(shù)；
（3） F ( x ) F(x) F(x) 關(guān)于 x x x 右連續(xù)；
（4） F ( ? ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1. F(-\infty)=0,F(+\infty)=1. F(?∞)=0,F(+∞)=1.
若有一個(gè)函數(shù)滿足以上四個(gè)條件，可稱其為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。如 F ( 3 x ? 1 ) F(3x-1) F(3x?1) 仍為分布函數(shù)，但 F ( 1 ? 3 x ) F(1-3x) F(1?3x) 不是分布函數(shù)，當(dāng) x → + ∞ x \to +\infty x→+∞ ， F ( 1 ? 3 x ) F(1-3x) F(1?3x) 極限為 0 不為 1 ； F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 也不是分布函數(shù)，因?yàn)楫?dāng) x → + ∞ x \to +\infty x→+∞ ， F ( x 2 ) F(x^2) F(x2) 極限為 1 不為 0 。
設(shè)隨機(jī)變量 X X X 的分布函數(shù)為 F ( x ) F(x) F(x) ，則
（1） P P P { X < a X < a X<a } = F ( a ? 0 ) ; =F(a - 0); =F(a?0);
（2） P P P { a < X ≤ b a < X\leq b a<X≤b } = F ( b ) ? F ( a ) ; =F(b)-F(a); =F(b)?F(a);
（3） P P P { a ≤ X < b a \leq X < b a≤X<b } = F ( b ? 0 ) ? F ( a ? 0 ) ; =F(b - 0)-F(a-0); =F(b?0)?F(a?0);
（4） P P P { a ≤ X ≤ b a \leq X \leq b a≤X≤b } = F ( b ) ? F ( a ? 0 ) ; =F(b)-F(a-0); =F(b)?F(a?0);
（5） P P P { a < X < b a < X < b a<X<b } = F ( b ? 0 ) ? F ( a ) ; =F(b - 0)-F(a); =F(b?0)?F(a);
（6） P P P { X = a X =a X=a } = F ( a ) ? F ( a ? 0 ) ; =F(a)-F(a-0); =F(a)?F(a?0);
二、隨機(jī)變量常見類型及分布
2.1 離散型隨機(jī)變量
設(shè) X X X 為隨機(jī)變量，若 X X X 的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，稱 X X X 為離散型隨機(jī)變量。
設(shè)離散型隨機(jī)變量 X X X 的可能取值為 x i ( i = 1 , 2 , … ? ) x_i(i=1,2,\dots) xi?(i=1,2,…) ，其對應(yīng)的概率為 P P P { X = x i X=x_i X=xi? } = p i =p_i =pi? ，稱 P P P { X = x i X=x_i X=xi? } = p i =p_i =pi? 或下表
為隨機(jī)變量
X
X
X 的分布律。
離散型隨機(jī)變量 X X X 的分布律滿足：
（1） p i ≥ 0 ( i = 1 , 2 , … ? ) . p_i \geq 0(i=1,2,\dots). pi?≥0(i=1,2,…).
（2） ∑ i = 1 + ∞ p i = 1. \sum_{i=1}^{+\infty}p_i=1. ∑i=1+∞?pi?=1.
（3）分布函數(shù) F ( x ) = P F(x)=P F(x)=P { X ≤ x X \leq x X≤x } 為階梯函數(shù)，且 F ( x ) F(x) F(x) 的間斷點(diǎn)即為隨機(jī)變量 X X X 的可能取值。
什么是階梯函數(shù)呢，就是圖像是像臺階那樣的。舉個(gè)例子，記隨機(jī)變量 X X X 為投擲一枚均勻的骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，則 X X X 可取 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 1,2,3,4,5,6 1,2,3,4,5,6 ，且 P P P { X = i X=i X=i } = 1 6 ( i = 1 , 2 , … , 6 ) =\frac{1}{6}(i=1,2,\dots,6) =61?(i=1,2,…,6) ，其分布律如下表所示：
分布函數(shù)圖像為：
注意，階梯是先右再上的階梯，因?yàn)槭请x散的取值，所以在兩個(gè)取值之間的分布函數(shù)值應(yīng)為前一個(gè)取值所對應(yīng)函數(shù)值。
2.2 連續(xù)型隨機(jī)變量及概率密度函數(shù)
設(shè)隨機(jī)變量 X X X 的分布函數(shù)為 F ( x ) F(x) F(x) ，若存在非負(fù)、可積的函數(shù) f ( x ) f(x) f(x) ，使得對任意實(shí)數(shù) x x x ，有 F ( x ) = ∫ ? ∞ x f ( t ) d t , F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt, F(x)=∫?∞x?f(t)dt, 稱 X X X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù) f ( x ) f(x) f(x) 為隨機(jī)變量 X X X 的概率密度函數(shù)或概率密度。
連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度有如下結(jié)論：
（1） f ( x ) ≥ 0 ; f(x) \geq 0; f(x)≥0;
（2） ∫ ? ∞ + ∞ f ( t ) d t = 1 ; \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt=1; ∫?∞+∞?f(t)dt=1;
（3）分布函數(shù) F ( x ) F(x) F(x) 為連續(xù)函數(shù)，但不一定可導(dǎo)；
（4） P P P { X = a X=a X=a } = F ( a ) ? F ( a ? 0 ) = 0 =F(a)-F(a-0)=0 =F(a)?F(a?0)=0 ，故連續(xù)型隨機(jī)變量在任意一點(diǎn)處的概率為 0 。
（5）設(shè)分布函數(shù)為
F
(
x
)
F(x)
F(x) ，則概率密度函數(shù)為
f
(
x
)
=
{
F
′
(
x
)
,
x
為
F
(
x
)
的可導(dǎo)點(diǎn)
0
,
x
為
F
(
x
)
的不可導(dǎo)點(diǎn)
f(x) = \begin{cases} F'(x), & x \text{為} F(x) 的可導(dǎo)點(diǎn) \\ 0, & x為F(x) 的不可導(dǎo)點(diǎn)\\ \end{cases}
f(x)={F′(x),0,?x為F(x)的可導(dǎo)點(diǎn)x為F(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)? （6）存在既不是離散型又不是連續(xù)型的隨機(jī)變量，如隨機(jī)變量
X
X
X 的分布函數(shù)表達(dá)式為
F
(
x
)
=
{
0
,
if?
x
<
0
x
2
,
if?
0
≤
x
<
1
1
if?
x
≥
1
F(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x < 0 \\ \frac{x}{2}, & \text{if } 0 \leq x < 1 \\ 1 & \text{if } x \geq1 \end{cases}
F(x)=?
?
??0,2x?,1?if?x<0if?0≤x<1if?x≥1? 顯然
F
(
x
)
F(x)
F(x) 滿足分布函數(shù)的四個(gè)特性，但其不是階梯函數(shù)，所以
X
X
X 非離散型隨機(jī)變量。又因?yàn)?
F
(
x
)
F(x)
F(x) 存在間斷點(diǎn)，所以
X
X
X 也非連續(xù)型隨機(jī)變量，其圖像如下圖所示。
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-678788.html
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到了這里，關(guān)于【考研數(shù)學(xué)】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) —— 第二章 | 一維隨機(jī)變量及其分布（1，基本概念與隨機(jī)變量常見類型）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
