重溫《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》進(jìn)行查漏補缺，并對其中的概念公式等內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，以便日后回顧。

目錄

第一章?概率論的基本概念

第二章 隨機變量及其分布

第三章 ?多維隨機變量及其分布

第四章 ?隨機變量的數(shù)字特征

第五章 ?大數(shù)定律及中心極限定理

第六章 ?樣本及抽樣分布

第七章 ?參數(shù)估計

第八章 ?假設(shè)檢驗???????

第一章?概率論的基本概念

1.隨機試驗

隨機試驗——具有下述三個特點的試驗：（1）可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；（2）每次試驗的可能結(jié)果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結(jié)果；（3）進(jìn)行一次試驗之前不能確定哪一個結(jié)果會出現(xiàn)。

2.樣本空間、隨機事件

樣本空間——隨機試驗的所有可能結(jié)果組成的集合。

樣本點——樣本空間的元素。

隨機事件——隨機試驗的樣本空間的子集。

事件間的關(guān)系：

事件B包含事件A：事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件發(fā)生時。若,則稱事件A與事件相等。

事件A與事件B的和事件：當(dāng)且僅 當(dāng)A，B中至少有一個發(fā)生時。

事件A與事件B的積事件：當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時發(fā)生時。

事件且稱為事件A與事件B的差事件：當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā)生、B不發(fā)生時。

事件A與B是互不相容的或互斥的：事件?A與事件B不能同時發(fā)生。

事件A與事件B互為逆事件.又稱對立事件，事件A、B中必有一個發(fā)生，且僅有一個發(fā)生。

3.頻率與概率

在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗，在這n次試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值n/nA稱為事件A發(fā)生的頻率。

設(shè)E是隨機試驗,S是它的樣本空間。對于E的每一事件人賦予一 個實數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率。如果集合函數(shù)P(?)滿足下列條件：非負(fù)性，規(guī)范性，可列可加性。

4.等可能概型

?? ?特點：

1. 試驗的樣本空間只包含有限個元素；
2. 試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相冋。

5.條件概率

設(shè)A，B是兩個事件，且P(A)>0,稱

為在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的條件概率。

全概率公式：

設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…Bn為S的一個劃分，且P(Bi)>0(i=1,2,…n)，則

? ? ? ? ? ? ?貝葉斯公式：

設(shè)試驗E的樣本空間為S，A為E的事件，B1，B2，…Bn為S的一個劃分，且P(A)>0(i=1,2,…n)，P(Bi)>0(i=1,2,…n)，則

6.獨立性

設(shè)A，B是兩個事件，如果滿足等式

則稱事件A，B相互獨立。

第二章 隨機變量及其分布

1.隨機變量

2.離散型隨機變量及其分布

三種重要離散型隨機變量

? ? ? ? ? ? (0-1)分布

設(shè)隨機變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是

? ? ? ? ? ? 則稱X服從以為參數(shù)的(0 — 1)分布或兩點分布.

(0-1)分布的分布律也可寫成

伯努利試驗、二項分布

設(shè)試驗E只有兩個可能結(jié)果：A及,則稱E為伯努利試驗.?設(shè)P(A)=p(0<p<1),此時P()=1-p.將E獨立重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這 一串重復(fù)的獨立試驗為n重伯努利試驗。

?? ? ? ? ? ?泊松分布

設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0,1,2,…，而取各個值的概率為

其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為人的泊松分布，記為

泊松定理：

設(shè)是一個常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)則對于任一固 定的非負(fù)整數(shù)k有

以n，p，為參數(shù)的二項分布的概率值可以由參數(shù)為的泊松分布的概率值近似。

3.隨機變量的分布函數(shù)

設(shè)X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)

?稱為X的分布函數(shù)。

4.連續(xù)型隨機變量及其概率密度

三種重要連續(xù)型隨機變量

? ? ? ? ? ? ?均勻分布

若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

? ? ? ? ? ??則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，記為

X的分布函數(shù)為

? ? ? ? ? ? ?指數(shù)分布

若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

? ? ? ? ? ? ?其中為常數(shù)，則稱X服從指數(shù)分布。

X的分布函數(shù)為

? ? ? ? ? ? ?正態(tài)分布

?? ? ? ? ? ?若連續(xù)型隨機變量X具有概率密度

其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布。

第三章 ?多維隨機變量及其分布

1. ?二維隨機變量及分布

? ? ? ? ? ? ?設(shè)是二維隨機變量，對于任意實數(shù)，二元函數(shù)：

? ? ? ? ? ? ?稱為二維隨機變量的分布函數(shù)。

? ? ? ? ? ? ?如果二維隨機變量全部可能取到的值是有限對或可列無限多對，則稱是離散型的隨機變量。

? ? ? ? ? ? ?設(shè)二維離散型隨機變量所有可能取的值為，記

? ? ? ? ? ? ?稱為二維離散型隨機變量的概率分布。

? ? ? ? ? ? ?稱為二維離散型隨機變量?關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布。

? ? ? ? ? ? ?對于給定的，如果,

? ? ? ? ? ? ?稱為條件下隨機變量X的條件分布律。

? ? ? ? ? ? ?對于二維隨機變量的分布函數(shù)，如果存在非負(fù)的函數(shù)，使對于任意有

? ? ? ? ? ? ?稱是連續(xù)型的二維隨機變量，函數(shù)稱為二維隨機變量的概率密度。

? ? ? ? ? ? ?分別稱為和為??關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。

? ? ? ? ? ? ?設(shè)二維隨機變量的概率密度為，??關(guān)于Y的邊緣概率密度為。若對于固定的y，,則稱為在Y=y的條件下X的條件概率密度,記為

2. ?相互獨立的隨機變量

? ? ? ? ? ? ?設(shè)及、分別是二維隨機變量的分布函數(shù)及邊緣分布函數(shù)。若對于所有有

則稱隨機變量和是相互獨立的.

第四章 ?隨機變量的數(shù)字特征

1. ?數(shù)學(xué)期望

? ? ? ? ? ? ?設(shè)離散型隨機變量X的分布律為

? ? ? ? ? ? ?若級數(shù)

? ? ? ? ? ? ?絕對收斂，則稱級數(shù)的和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即

? ? ? ? ? ? ?設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，若積分絕對收斂，則稱的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為，即

2. ?方差?

? ? ? ? ? ? ?方差：

? ? ? ? ? ? ?標(biāo)準(zhǔn)差：

? ? ? ? ? ? ?對于離散型隨機變量：

? ? ? ? ? ? ?對于連續(xù)型隨機變量：

? ? ? ? ? ? ?設(shè)隨機變量具有數(shù)學(xué)期望，方差，則對于任意正數(shù)，不等式

? ? ? ? ? ? ?成立。這一不等式稱為切比雪夫不等式。

? ? ? ? ? ? ?切比雪夫不等式給出了在隨機變量的分布未知，而知道均值、方差的情況下估計概率的界限。

? ? ? ? ? ? ?至少有75%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；

? ? ? ? ? ? ?至少有89%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)3個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)；

? ? ? ? ? ? ????????至少有94%的數(shù)據(jù)在平均數(shù)4個標(biāo)準(zhǔn)差的范圍之內(nèi)。

3. 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)

? ? ? ? ? ? ?協(xié)方差：

? ? ? ? ? ? ?相關(guān)系數(shù)：

4. ?矩、協(xié)方差矩陣

? ? ? ? ? ? ?k階原點矩（k階矩）：

? ? ? ? ? ? ?k階中心矩

? ? ? ? ? ? ?k+l階混合矩

? ? ? ? ? ? ?k+l階混合中心矩

? ? ? ? ? ? ?設(shè)維隨機變量的二階混合中心矩

? ? ? ? ? ? ?都存在，稱

? ? ? ? ? ? ????????維隨機變量?的協(xié)方差矩陣。???????

第五章 ?大數(shù)定律及中心極限定理

? ? ? ? ? ? ?1.大數(shù)定律：敘述隨機變量序列的前一些項的算術(shù)平均值在某種條件下收斂到這些項的算術(shù)平均值

? ? ? ? ? ? ?弱大數(shù)定理（辛欽大數(shù)定理）?設(shè)是相互獨立，服從同一分布的隨機變量序列，且具有數(shù)學(xué)期望。作前n個變量的算術(shù)平均則對于任意,有

? ? ? ? ? ? ?弱大數(shù)定理(辛欽大數(shù)定理)?設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布且具有數(shù)學(xué)期望，則序列依概率收斂于，即

伯努利大數(shù)定理?設(shè)是n次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)>0,有

?2.?中心極限定理：是確定在什么條件下，大量隨機變量之和的分布逼近于正態(tài)分布

? ? ? ? ? ? ?設(shè)隨機變量相互獨立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望和方差，則隨機變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量

? ? ? ? ? ? ?的分布函數(shù)對于任意x滿足

?? ? ? ? ? ? ?（設(shè)從均值為，方差為（有限）的任意一個總體中抽取樣本量為n的樣本，當(dāng)n充分大的時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為，方差為的正態(tài)分布）?

第六章 ?樣本及抽樣分布

1. ?隨機樣本

? ? ? ? ? ? ?設(shè)X是具有分布函數(shù)F的隨機變量，若是具有同一分布函數(shù)F的、相互獨立的隨機變量，則稱為從分布函數(shù)F（或總體F、或總體X）得到的容量為n的簡單隨機樣本。

2. ?抽樣分布

? ? ? ? ? ? ?樣本均值：

? ? ? ? ? ? ?樣本方差：

?? ? ? ? ? ?樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

?? ? ? ? ? ?樣本k階（原點）矩：

??? ? ? ? ??樣本k階中心矩：

?3. ?常用統(tǒng)計量分布

? ? ? ? ? ? ?（1）分布

? ? ? ? ? ? ?設(shè)是來自總體的樣本，則稱統(tǒng)計量

? ? ? ? ? ? 服從自由度為n的分布，記為

? ? ? ? ? ? （2）分布

? ? ? ? ? ? 設(shè)，且X，Y相互獨立，則稱隨機變量

?? ? ? ? ? ? 服從自由度為n的t分布，記為

? ? ? ? ? ? （3）分布

? ? ? ? ? ? 設(shè)，且U，V相互獨立，則稱隨機變量

? ? ? ? ? ? 服從自由度為的F分布，記為

第七章 ?參數(shù)估計

1. ?點估計

? ? ? ? ? ? ????????點估計是適當(dāng)?shù)剡x擇一個統(tǒng)計量作為未知參數(shù)的估計（稱為估計量），若已取得一樣本，將樣本值代入估計量，得到估計量的值，以估計量的值作為未知參數(shù)的近似值（稱為估計值）。

兩種求點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法。

? ? ? ? ? ? ?矩估計法的做法是，以樣本矩作為總體矩的估計量，而以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的 總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計最，從而得到總體未知參數(shù)的估計。

? ? ? ? ? ? ?最大似然估計法的基本想法是，若已觀察到樣本?的樣本值，而取到這一樣本值的概率為p（在離散型的情況），或落在這一樣本值的鄰域內(nèi)的概率為p（在連續(xù)型的情況），而P與未知參數(shù)有關(guān)，就取的估計值使概率取到最大。

2. ?估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)

? ? ? ? ? ? ?無偏性、有效性、相合性

3. ?區(qū)間估計

? ? ? ? ? ? ?點估計不能反映估計的精度，引入了區(qū)間估計。置信區(qū)間是一個隨機區(qū)間,它覆蓋未知參數(shù)具有預(yù)先給定的高概率（置信水平），即對于任意，有

第八章 ?假設(shè)檢驗

1. ?假設(shè)檢驗

? ? ? ? ? ? ?實際推斷原理

? ? ? ? ? ? ?小概率事件在一次試驗中實際上是不會發(fā)生的，實際推斷原理又稱小概率原理。

? ? ? ? ? ? ?假設(shè)檢驗

? ? ? ? ? ? ?(1)假設(shè)是指關(guān)于總體的論斷或命題，常用字母“H”表示，假設(shè)分為基本假設(shè)（又稱原假設(shè)，零假設(shè)）和備選假設(shè)（又稱備擇假設(shè)，對立假設(shè)）。還可將假設(shè)分為參數(shù)假設(shè)和非參數(shù)假設(shè)，參數(shù)假設(shè)是指已知總體分布函數(shù)形式，對其中未知參數(shù)的假設(shè)，其他的假設(shè)就是非參數(shù)假設(shè)，也可將假設(shè)分為簡單假設(shè)和復(fù)合假設(shè)。完全決定總體分布的假設(shè)為簡單假設(shè)，否則為復(fù)合假設(shè)。

? ? ? ? ? ? ?(2)假設(shè)檢驗：根據(jù)樣本，按照一定規(guī)則判斷所做假設(shè)的真?zhèn)?，并作出接受還是拒絕接受的決定。??

? ? ? ? ? ? ?兩類錯誤

? ? ? ? ? ? ?拒絕實際真的假設(shè)（棄真）稱為第一類錯誤。?

? ? ? ? ? ? ?接受實際不真的假設(shè)（納偽）稱為第二類錯誤。? ? ? ? ? ??

? ? ? ? ? ? ?顯著性檢驗

? ? ? ? ? ? ?(1)顯著性水平：在假設(shè)檢驗中允許犯第一類錯誤的概率，記為α(0<α<1)，則α稱為顯著水平，它表現(xiàn)了對棄真的控制程度，一般α取0.1，0.05，0.01，0.001等值。?

? ? ? ? ? ? ?(2)顯著性檢驗：只控制第一類錯誤概率α的統(tǒng)計檢驗，稱為顯著性檢驗.

? ? ? ? ? ? ?(3)顯著性檢驗的一般步驟

? ? ? ? ? ? ?1)根據(jù)問題要求提出原假設(shè)及備擇假設(shè)；?

? ? ? ? ? ? ?2)給出顯著性水平α(0<α<1)以及樣本容量n；

? ? ? ? ? ? ?3)確定檢驗統(tǒng)計量及拒絕域形式；

? ? ? ? ? ? ?4)按犯第一類錯誤的概率等于α求出拒絕域W；

? ? ? ? ? ? ?5)?根據(jù)樣本值計算檢驗統(tǒng)計量T的觀測值t，當(dāng)tW時，拒絕原假設(shè)；否則，接受原假設(shè)。

? ? ? ? ? ? ?正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗

2. ?p值檢驗法

? ? ? ? ? ? ?假設(shè)檢驗問題的p值是由檢驗統(tǒng)計量的樣本觀察值得出的原假設(shè)可被拒絕的最小顯著性水平。

? ? ? ? ? ? ?利用p值來確定檢驗拒絕域的方法，稱為P值檢驗法。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-777636.html

1. 若p值<=α，則在顯著性水平α下拒絕；
2. 若p值>α，則在顯著性水平α下接受。

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