在工程技術(shù)問題中，常常需要求解系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣的線性代數(shù)方程組。對于這類方程組，若利用矩陣三角分解法求解，就可得到一個(gè)有效法平方根法，其設(shè)計(jì)原理。
定理3 若A為對稱正定矩陣，則存在唯一分解
A=~L~L^(T) (3.28)
其中~L是對角元為正的下三角形矩陣(對稱正定矩陣的這種分解稱為楚列斯基(Cholesky)分解)。
證明 由矩陣三角分解基本原理，存在唯一杜利特爾分解A=LU.若以Ak，Lk，Uk，依次表示矩陣A,L,U的k階順序主子陣，則
det A = det (Lk,Uk) = det Lk ? det Uk,
u11u2……ukk (k =1,2,--. , n).
因A 對稱正定,det A, >0（4=1,2,?，幾)，從而飛u >0(i=1,2,..,n).手是A 又可進(jìn)一步分解為 A=LDU。，其中
因?yàn)锳 是對稱矩陣，又有
A=A'=(LDUO'=UE(DL')顯然，U。是單位下三角形矩陣，DL”是上三角形矩陣． 由杜利特爾分解的唯一性知U。二L，故A=LDL"I另一方面,由山i>0知D又可分解成D=D'D'2,其中VuID12Vuzz53如令之=1D',則之 是對角元為正的下三角形短陣，且由(3.29）式可得分解式（3.28）? 由從上述分解過程可以看出，這種分解是唯一的。下面導(dǎo)出實(shí)現(xiàn)分解A=記元°的遞推算式.設(shè)美油
?????? ??食爺
八
心
采用自左向右逐列計(jì)算待定數(shù)l，的計(jì)算過程．由矩陣乘法規(guī)則與相等條件，依次
可得到確定立 的第一列元的算式
4n
=Nan ,ln =as/ lni
(?=2.3..
,幾)
青Y=送（3.30)
以及在算出亡的第—列至第;-1列元后確定第i列元的算式 ！
號武手,依湖
16-(0-82)%
2
節(jié)路食(3.31）
幫式
因此,用楚列斯基分解解對稱正定矩陣方程組 AX=6的過程可歸納為
1°實(shí)現(xiàn)楚列斯基分解，即
（a）按算式（3.30）計(jì)算立的第一列元；
（b）對j=2,3，?，幾，按算式（3.31）計(jì)算之的第j列元.
甘本2°求解三角形方程組 云Y=6,相應(yīng)的遞推算式是
1:=(6-246o1014 Ci=2.3..0)。含
3°求解三角形方程組 亡-區(qū)=了,相應(yīng)的遞推算式是
(3.32)
不路其目麗-樓p
14=101-24.5）/2
(?=n-1,...,2,1).
上述求解對稱正定矩陣方程組的方法稱為平方根法：
例5 用平方根法解方程組
改進(jìn)的平方
根法
2
-27
12,
1-2
-3
14J 83.
解該方程組的系數(shù)矩陣是對稱正定矩陣，可用平方根法求解．按算
式（3.30）計(jì)算亡的第一列元得
41=2，
21=1，
2，=-1.
按算式（3.31）依次計(jì)算亡的第二列與第三列元得
故
2=1, 12=-2， 153=3.
2
0
=2
"
解讠Y=6得y1=5,92=0,93=3.
解立"X=飛得x=1,52=2,81=2.
用平方根法解系數(shù)矩陣是幾階對稱正定矩陣的線性方程組，當(dāng)幾較大時(shí)約
需作口。次乘除法運(yùn)算(是高斯消元法或杜利特爾分解法的一半）．此外，平方根
法還具有數(shù)值穩(wěn)定、存儲量小(利用對稱性只需用一維數(shù)組存放矩陣4對角線文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-732531.html
及對角線以下元，并將算得的 工 元存放在A 對應(yīng)元的位置上)等優(yōu)點(diǎn)?但平方根法在計(jì)算亡的對角線上元時(shí)需要用到開方運(yùn)算文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-732531.html
改進(jìn)的平方根算法：
到了這里，關(guān)于3.2.4 解對稱正定矩陣方程組的平方根法的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
