引言

兩個(gè)原因讓我想寫(xiě)這篇文章，一是做矩陣題目的時(shí)候就發(fā)現(xiàn)這三貨經(jīng)常綁在一起，讓人想去探尋其中奧秘；另一就是今天學(xué)了向量組的秩，讓我想起來(lái)了之前遺留下來(lái)的一個(gè)問(wèn)題：到底存不存在系數(shù)矩陣的秩和增廣矩陣的秩之差比 1 大的情況？可能這個(gè)問(wèn)題有點(diǎn)抽象，不過(guò)看了下面的具體說(shuō)明應(yīng)該就能理解了。

一、回顧

問(wèn)題起因是這樣，我在寫(xiě)行列式的文章中關(guān)于克萊姆法則應(yīng)用的說(shuō)法是這樣的：

有讀者建議，把方程組無(wú)解的情況寫(xiě)成 $r(A)+1=r(\overline{A})$ 而非寫(xiě)成 $r(A)\ne r(\overline{A})$ 。 我當(dāng)時(shí)還未復(fù)習(xí)到方程組和向量部分，有這樣的疑問(wèn)：為什么非得是相差 1 ，我如果 $A$ 有很多行為 0 ，增廣矩陣的秩不就可以比系數(shù)矩陣大不止 1 嗎？

我當(dāng)時(shí)隱約感覺(jué)是行秩和列秩模糊的問(wèn)題。一方面矩陣中，我們比較常用的是初等行變換，忽視了列變換以及列秩，另一方面，列秩在方陣中和行秩是一樣的。

起初我也是認(rèn)為，列秩沒(méi)什么用的，直到學(xué)到了向量這一部分。由于一般我們指的向量是列向量，那么由一個(gè)向量組構(gòu)成的矩陣，自然考慮的是列秩。

因此我們針對(duì)一個(gè)一般性的 $m\times n$ 矩陣和 $n$ 個(gè) $m$ 維的向量組進(jìn)行梳理，請(qǐng)看下文。

二、梳理

對(duì)于一般齊次線性方程組：

以及一般非齊次線性方程組：

令 ${\alpha }_1=(a_{11},a_{21},\dots ,a_{m1}{)}^T,{\alpha }_2=(a_{12},a_{22},\dots ,a_{m2}{)}^T,\dots ,{\alpha }_n=(a_{1n},a_{2n},\dots ,a_{mn}{)}^T,b=(b_1,b_2,\dots ,b_m{)}^T$ ，則方程組（I）（II）可表示為如下向量形式：$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+?+x_n{\alpha }_n=0（1.1）$$$$x_1{\alpha }_1+x_2{\alpha }_2+?+x_n{\alpha }_n=b（2.1）$$

令 $X=(x_1,x_2,\dots ,x_n{)}^T$ ，矩陣 $A=[{\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n]$ ，即

則方程組（I）（II）可表示為如下矩陣形式：$$AX=0（1.2）$$$$AX=b（2.2）$$

齊次線性方程組

對(duì)于齊次線性方程組（I），它有 $m$ 個(gè)約束方程，$n$ 個(gè)未知數(shù)。首先我們應(yīng)了解的是，不管方程個(gè)數(shù)和未知數(shù)個(gè)數(shù)多少，不可能無(wú)解，都是存在零解的。我們要討論，就是討論有沒(méi)有非零解。我們分三種情況：

（一）$m<n.$

個(gè)數(shù)大于維數(shù)，向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 必線性相關(guān)，則該向量組的秩 $<n$ ，根據(jù)三秩相等性質(zhì)，$r(A)<n.$

此時(shí)齊次線性方程組約束條件個(gè)數(shù)小于未知數(shù)，必有一個(gè)未知數(shù)無(wú)法受限制，如果那個(gè)不受限制的未知數(shù)取非零的話，就存在非零解，即線性相關(guān)。

這種情況其實(shí)沒(méi)什么好討論的，因?yàn)榭隙ù嬖诜橇憬猓赃@也是為什么書(shū)上很少提及的原因吧。

（二）$m=n.$

此時(shí)就有討論的必要了，因?yàn)榉匠探M可能只有零解，也可能有非零解。

若齊次方程組只有零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無(wú)關(guān) $?$ $r(A)=n.$

我們此時(shí)可以得出 $|A|\ne 0$，即因?yàn)橄禂?shù)矩陣是方陣且滿秩。

若齊次方程組有非零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關(guān) $?$ $r(A)<n.$

為什么是小于 $n$ 呢？因?yàn)闃?gòu)成系數(shù)矩陣的列向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$的秩小于 $n$ ，根據(jù)三秩相等性質(zhì)，該矩陣的秩亦小于 $n$ 。

（三）$m>n.$

此時(shí)約束方程個(gè)數(shù)更多，不過(guò)不影響什么。系數(shù)矩陣的秩仍然是滿足 $r(A)\le n,$ 則：

若齊次方程組只有零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無(wú)關(guān) $?$ $r(A)=n.$

我們此時(shí)不可以得出 $|A|\ne 0$，即因?yàn)橄禂?shù)矩陣不方陣，不存在行列式一說(shuō)。

若齊次方程組有非零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關(guān) $?$ $r(A)<n.$

把這三種情況總結(jié)起來(lái)，其實(shí)還是第二種情況的結(jié)論。因此不論是否是方陣，未知數(shù)和方程的個(gè)數(shù)如何，都有如下結(jié)論：即

• 齊次方程組只有零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無(wú)關(guān) $?$ $r(A)=n.$
• 齊次方程組有非零解 $?$ 向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關(guān) $?$ $r(A)<n.$

非齊次線性方程組

對(duì)于非齊次線性方程組（II），它有 $m$ 個(gè)約束方程，$n$ 個(gè)未知數(shù)，右端常數(shù)向量為 $b=(b_1,b_2,\dots ,b_m)$ ，增廣矩陣為 $\overline{A}=[A|b].$

我們從其對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（I）出發(fā)，若（I）只有零解，根據(jù)上述結(jié)論，有向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無(wú)關(guān)且 $r(A)=n.$

接下來(lái)我們討論此時(shí)非齊次的情況，若非齊次線性方程組（II）無(wú)解，則向量 $b$ 不能被無(wú)關(guān)的向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示，故增廣矩陣的列向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 也線性無(wú)關(guān)，可得 $r(\overline{A})=n+1$ ，此時(shí)需要討論 $m,n$ 之間的數(shù)量關(guān)系。

由 $r(A)=n$ 可知，$m\ge n$ （如果 $m<n$ 的話那秩就不可能是 $n$ 了，秩最多為 $m$ ） 。若 $m=n$ ，有 r ( A ￣ ) ≤ min ? { m , n + 1 } = m = n r(\overline{A})\leq \min\{m,n+1\}=m=n r(A)≤min{m,n+1}=m=n ，與 $r(\overline{A})=n+1$ 矛盾；若 $m>n$ 且 $m=n+1$ ，有 r ( A ￣ ) ≤ { n + 1 , n + 1 } = n + 1 r(\overline{A})\leq \{n+1,n+1\}=n+1 r(A)≤{n+1,n+1}=n+1 ，符合；若 $m>n+1$ ，則有 r ( A ￣ ) ≤ { m , n + 1 } = n + 1 r(\overline{A}) \leq \{m,n+1\}=n+1 r(A)≤{m,n+1}=n+1 ，符合。

因此，對(duì)于 $m\le n$ 的非齊次線性方程組，此時(shí)不可能無(wú)解；而對(duì)于 $m\ge n+1$ 的非齊次線性方程組，此時(shí)有結(jié)論 $r(\overline{A})=n+1.$

若非齊方程組（II）有解，則向量 $b$ 能被向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示，又因?yàn)橄蛄拷M ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性無(wú)關(guān)，故 $r(\overline{A})=n=r(A).$

若方程組（II）對(duì)應(yīng)的齊次方程組（I）有非零解，根據(jù)前一部分的結(jié)論，方程組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性相關(guān)且 $r(A)<n.$

我們討論此時(shí)的非齊次方程組（II）的情況，若方程組（II）無(wú)解，則向量 $b$ 不能被向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示，但由于向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 是線性相關(guān)的，故增廣矩陣的列向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 線性相關(guān)，可得 $r(\overline{A})<n+1$ 且 $r(\overline{A})=r(A)+1.$

因?yàn)橄蛄?$b$ 不能被向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示，則向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n,b$ 的秩比向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 多 1 ，即 $r(\overline{A})=r(A)+1.$
O.O 這個(gè)還是可以直觀理解的。向量組是一列一列的，加了一列不能被原來(lái)表示的列，肯定秩加了 1 嘛。

若方程組（II）有解，則向量 $b$ 能被向量組 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ 線性表示，故 $r(\overline{A})=r(A)<n.$

如下圖所示，討論了所有情況下的秩的特征。

總結(jié)一下可以得到如下一般性的結(jié)論：

• 非齊次方程組有解 $?$ $r(\overline{A})=r(A).$
• 非齊次方程組無(wú)解 $?$ $r(\overline{A})\ne r(A),$ 或 $r(\overline{A})=r(A)+1.$

有解其實(shí)還可以再做討論，就放在后面方程組那一章再來(lái)細(xì)說(shuō)吧。

寫(xiě)在最后

看來(lái)還是自己疏忽了三秩相等的性質(zhì)，才會(huì)產(chǎn)生開(kāi)頭那樣的疑問(wèn)。

現(xiàn)在也越來(lái)越認(rèn)同，其實(shí)向量才是貫穿線性代數(shù)的重要工具。文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-677501.html

到了這里，關(guān)于【考研數(shù)學(xué)】矩陣、向量與線性方程組解的關(guān)系梳理與討論的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！