玩轉(zhuǎn)線性代數(shù)(21)線性方程組解的判斷與求法的筆記，相關(guān)證明以及例子見(jiàn)原文
定理
對(duì)n元線性方程組
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A為系數(shù)矩陣，
B
=
(
A
∣
b
)
B=(A|b)
B=(A∣b)為增廣矩陣，則有
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b無(wú)解
?
R
(
A
)
<
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b)
?R(A)<R(A,b);
（2）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有唯一解
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
=
n
\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)=n
?R(A)=R(A,b)=n;
（3）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有無(wú)窮多解
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
<
n
\Leftrightarrow R(A)= R(A,b)\lt n
?R(A)=R(A,b)<n.
推論1
對(duì)n元線性方程組
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A為系數(shù)矩陣，
B
=
(
A
∣
b
)
B=(A|b)
B=(A∣b)為增廣矩陣，則有
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b無(wú)解
?
R
(
A
)
<
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)\lt R(A,b)
?R(A)<R(A,b);
（2）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有解
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
)
\Leftrightarrow R(A)=R(A,b)
?R(A)=R(A,b).
推論2
對(duì)n元線性方程組
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b，A為系數(shù)矩陣，或A為方陣，則有：
（1）
A
x
=
b
Ax=b
Ax=b有唯一解
?
R
(
A
)
=
n
?
∣
A
∣
≠
0
\Leftrightarrow R(A)=n\Leftrightarrow |A|\neq 0
?R(A)=n?∣A∣=0，其解為
x
=
A
?
1
b
x=A^{-1}b
x=A?1b; (
R
(
A
)
=
R
(
B
)
=
n
R(A)=R(B)=n
R(A)=R(B)=n);
（2）
∣
A
∣
=
0
?
|A|=0\Leftrightarrow
∣A∣=0?有無(wú)窮多解或無(wú)解.
推論3
對(duì)n元線性方程組
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0，A為系數(shù)矩陣，方程必有零解，故不存在無(wú)解的情況，另外增廣矩陣的最后一列為零，故其秩與系數(shù)矩陣A相同。
（1）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0只有零解
?
R
(
A
)
=
n
\Leftrightarrow R(A)=n
?R(A)=n;
（2）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0有非零解
?
R
(
A
)
<
n
\Leftrightarrow R(A)\lt n
?R(A)<n.
如果推論3中的A為方陣，則又有如下結(jié)論：
推論4
對(duì)n元線性方程組
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0，A為系數(shù)矩陣且為方陣，則有
（1）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0只有零解
?
R
(
A
)
=
n
?
∣
A
∣
≠
0
\Leftrightarrow R(A)=n \Leftrightarrow |A| \neq 0
?R(A)=n?∣A∣=0;
（2）
A
x
=
0
Ax=0
Ax=0有非零解
?
R
(
A
)
<
n
?
∣
A
∣
=
0
\Leftrightarrow R(A) \lt n \Leftrightarrow |A| = 0
?R(A)<n?∣A∣=0.
矩陣方程AX=B
解法
若A是方陣，先確定A是否可逆，若A可逆，則有唯一解
X
=
A
?
1
B
X=A^{-1}B
X=A?1B
若A不是方陣或不可逆，這時(shí)需要用待定元素法來(lái)求解。設(shè)未知矩陣X的元素為
x
i
j
x_{ij}
xij?，即
X
=
(
x
i
j
)
X=(x_{ij})
X=(xij?)，然后根據(jù)所給的矩陣方程列出
x
i
j
x_{ij}
xij?所滿足的線性方程組，通過(guò)解線性方程組求出所有元素
x
i
j
x_{ij}
xij?,從而得到X.
解的存在性
設(shè)A為m * n矩陣，X為n * l矩陣，則B為m * l矩陣，把X和B按列分塊，記為
X
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
l
)
,
B
=
(
b
1
,
b
2
,
.
.
.
b
l
)
X=(x_1,x_2,...,x_l), B=(b_1,b_2,...b_l)
X=(x1?,x2?,...,xl?),B=(b1?,b2?,...bl?)，
則矩陣方程
A
X
=
B
AX=B
AX=B等價(jià)于l個(gè)向量方程
A
x
i
=
b
i
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
l
)
Ax_i=b_i, (i=1,2,...l)
Axi?=bi?,(i=1,2,...l)，
又設(shè)
R
(
A
)
=
r
R(A)=r
R(A)=r，且A的行最簡(jiǎn)形矩陣為
A
~
\tilde{A}
A~，則
A
~
\tilde{A}
A~一定有r個(gè)非零行。
再設(shè)
(
A
,
B
)
=
(
A
,
b
1
,
b
2
,
.
.
.
,
b
i
)
～
r
(
A
~
,
b
~
1
,
b
~
2
,
.
.
.
,
b
~
l
)
(A,B)=(A, b_1, b_2,..., b_i)_{\sim}^r (\tilde{A}, \tilde_1, \tilde_2, ..., \tilde_l)
(A,B)=(A,b1?,b2?,...,bi?)～r?(A~,b~1?,b~2?,...,b~l?)
從而
(
A
,
b
i
)
r
～
(
A
~
,
b
~
i
)
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(A,b_i)_r^{\sim}(\tilde{A}, \tilde_i), (i=1,2,...,l)
(A,bi?)r～?(A~,b~i?),(i=1,2,...,l)
則
A
X
=
B
AX=B
AX=B有解
?
\Leftrightarrow
?
A
x
i
=
b
i
Ax_i=b_i
Axi?=bi?有解，
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(i=1,2,...,l)
(i=1,2,...,l)
?
\Leftrightarrow
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
b
i
)
,
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
R(A)=R(A,b_i), (i=1,2,...,l)
R(A)=R(A,bi?),(i=1,2,...,l)
?
\Leftrightarrow
?將
(
A
,
b
i
)
(A,b_i)
(A,bi?)化為行最簡(jiǎn)形
(
A
~
,
b
~
i
)
(\tilde{A}, \tilde_i)
(A~,b~i?),此時(shí)
b
~
i
\tilde_i
b~i?的后m-r行全為零，
(
i
=
1
,
2
,
.
.
.
,
l
)
(i=1,2,...,l)
(i=1,2,...,l).
?
\Leftrightarrow
?
(
A
~
,
b
~
1
,
b
~
2
,
.
.
.
,
b
~
l
)
(\tilde{A}, \tilde_1, \tilde_2, ..., \tilde_l)
(A~,b~1?,b~2?,...,b~l?)的后m-r行全為零，
?
\Leftrightarrow
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
B
)
R(A)=R(A,B)
R(A)=R(A,B).文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-648688.html
推論
設(shè)
A
B
=
C
AB=C
AB=C，則
R
(
C
)
≤
m
i
n
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
R(C)\leq min \{R(A), R(B) \}
R(C)≤min{R(A),R(B)}
證明：
∵
A
B
=
C
,
∴
A
X
=
B
\because AB=C, \therefore AX=B
∵AB=C,∴AX=B有解
?
R
(
A
)
=
R
(
A
,
C
)
≥
R
(
C
)
\Rightarrow R(A)=R(A, C) \geq R(C)
?R(A)=R(A,C)≥R(C)
又
B
T
A
T
=
C
T
∴
B
T
X
=
C
T
B^TA^T=C^T \therefore B^TX=C^T
BTAT=CT∴BTX=CT有解
?
R
(
B
)
=
R
(
B
T
)
=
R
(
B
T
,
c
T
)
≥
R
(
C
T
)
=
R
(
C
)
\Rightarrow R(B)=R(B^T)=R(B^T, c^T) \geq R(C^T)=R(C)
?R(B)=R(BT)=R(BT,cT)≥R(CT)=R(C)
∴
R
(
C
)
≤
m
i
n
{
R
(
A
)
,
R
(
B
)
}
\therefore R(C) \leq min\{R(A), R(B)\}
∴R(C)≤min{R(A),R(B)}.文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-648688.html
到了這里，關(guān)于第三章，矩陣，09-線性方程組解的判斷與求法、矩陣方程的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
