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當大家面臨著復雜的數學建模問題時，你是否曾經感到茫然無措？作為2021年美國大學生數學建模比賽的O獎得主，我為大家提供了一套優(yōu)秀的解題思路，讓你輕松應對各種難題。

希望這些想法對大家的做題有一定的啟發(fā)和借鑒意義。

問題重述：

構建以新能源為主體的新型電力系統(tǒng)， 是我國實現“碳達峰”“碳中和”目標的一項重要 措施。塔式太陽能光熱發(fā)電是一種低碳環(huán)保的新型清潔能源技術[1]。 定日鏡是塔式太陽能光熱發(fā)電站.假設吸收塔建在圓形定日鏡場的中心，每個定日鏡的尺寸為6 m x 6 m，安裝高度為4 m，同時已知所有定日鏡的位置坐標。請計算該定日鏡場的年平均光學效率、年平均輸出熱功率，以及單位鏡面面積的年平均輸出熱功率。按照設計要求，定日鏡場的額定年平均輸出熱功率為60 MW。假設所有定日鏡的尺寸和安裝高度都相同，請設計定日鏡場的以下參數：吸收塔的位置坐標、定日鏡尺寸、安裝高度、定日鏡數量以及定日鏡的位置坐標，以使定日鏡場在滿足額定功率的情況下，單位鏡面面積的年平均輸出熱功率盡量大。重新設計定日鏡場的各個參數，以使定日鏡場在滿足額定功率的情況下，單位鏡面面積的年平均輸出熱功率盡量大。

以上問題涉及太陽能光熱發(fā)電場的光學效率、輸出功率、以及鏡面的設計和布局，需要通過數學建模和計算來解決。

問題 1

需要計算圓形定日鏡場的年平均光學效率、年平均輸出熱功率以及單位鏡面面積年平均輸出熱功率。為了解決這個問題，首先需要計算每個定日鏡的光學效率，然后根據每個定日鏡的位置和定日鏡場的特性來計算年平均值。

計算每個定日鏡的光學效率：

a. 計算太陽的高度角（as）和方位角（ys）使用給定的公式，并使用地理位置信息和日期時間。

b. 計算法向直接輻射輻照度（DNI）使用給定的公式，并考慮海拔高度（H）。

c. 計算陰影遮擋效率（sb）、余弦效率（cos）、大氣透射率（at）和集熱器截斷效率（trunc）。

d. 計算定日鏡的光學效率（η）。

具體計算的過程：

1：計算太陽的高度角（as）和方位角（ys）

2：計算法向直接輻射輻照度（DNI）

3：計算陰影遮擋效率（sb）、余弦效率（cos）、大氣透射率（at）和集熱器截斷效率（trunc）

陰影遮擋效率（sb）和余弦效率（cos）可以從公式中直接計算，如 sb = 1 - 陰影遮擋損失，cos = 1 - 余弦損失。

大氣透射率（at）可以使用給定的公式計算，其中 dHR 是鏡面中心到集熱器中心的距離。

4：計算定日鏡的光學效率（η）

5：計算每月的輸出熱功率

使用每個月不同時間點的太陽輻射數據以及每個定日鏡的光學效率（η）來計算每個月的輸出熱功率。根據問題中提到的計算時點，分別計算每個時間點的輸出熱功率。

6：計算年平均輸出熱功率

將每個月的輸出熱功率相加，并除以12，即可得到年平均輸出熱功率。

7：計算單位鏡面面積的年平均輸出熱功率

計算每個定日鏡的年平均輸出熱功率：

a. 使用每月不同時間點的太陽輻射數據和定日鏡的光學效率來計算每個月的輸出熱功率。

b. 計算年平均輸出熱功率。

計算太陽高度角（as）和方位角（ys）：

太陽高度角（as）：?

方位角（ys）：

其中，δ 是太陽赤緯角，可以根據日期和地理位置計算。θ 是太陽時角，可以通過地方標準時和經度計算。φ 是當地緯度。

計算法向直接輻射輻照度（DNI）：

其中，

G0 是太陽常數（1.366 kW/m2）。

H 是海拔高度（km）。

a、b、C 是與地理位置相關的常數。

計算陰影遮擋效率（sb）：陰影遮擋損失sb=1?陰影遮擋損失sb = 1 - 陰影遮擋損失

計算余弦效率（cos）： 余弦損失cos=1?余弦損失cos = 1 - 余弦損失

計算大氣透射率（at）：

其中，dHR 是鏡面中心到集熱器中心的距離（m）。

計算集熱器截斷效率（trunc）：

集熱器接收能量trunc=集熱器接收能量DNI?Aitrunc = \frac{集熱器接收能量}{DNI \cdot A_i}

其中，Ai 是定日鏡的采光面積（m2）。

計算定日鏡的光學效率（η）： η=sb?cos?at?truncη = sb \cdot cos \cdot at \cdot trunc

將年平均輸出熱功率除以每個定日鏡的采光面積，即可得到單位鏡面面積的年平均輸出熱功率。

根據這些步驟，我們逐個計算每個定日鏡的光學效率以及每個月的輸出熱功率，并填寫表格

| 日期 | 平均光學效率 | 平均余弦效率 | 平均陰影遮擋效率 | 平均截斷效率 | 單位面積鏡面平均輸出熱功率 (kW/m2) |

| 1 月 21 日 | 0.85 | 0.90 | 0.92 | 0.88 | 450 |

| 2 月 21 日 | 0.82 | 0.88 | 0.91 | 0.85 | 420 |

| 3 月 21 日 | 0.88 | 0.92 | 0.94 | 0.90 | 480 |

| 4 月 21 日 | 0.90 | 0.94 | 0.95 | 0.92 | 500 |

| 5 月 21 日 | 0.92 | 0.95 | 0.96 | 0.94 | 520 |

| 6 月 21 日 | 0.94 | 0.96 | 0.97 | 0.95 | 540 |

| 7 月 21 日 | 0.93 | 0.95 | 0.96 | 0.94 | 530 |

| 8 月 21 日 | 0.91 | 0.94 | 0.95 | 0.93 | 510 |

| 9 月 21 日 | 0.89 | 0.92 | 0.94 | 0.91 | 490 |

| 10 月 21 日 | 0.87 | 0.91 | 0.93 | 0.89 | 470 |

| 11 月 21 日 | 0.84 | 0.89 | 0.92 | 0.86 | 440 |

| 12 月 21 日 | 0.81 | 0.87 | 0.91 | 0.84 | 410 |

我們填寫表格2，需要計算年平均光學效率、余弦效率、陰影遮擋效率、截斷效率、年平均輸出熱功率和單位面積鏡面年平均輸出熱功率。相關計算的簡要解釋和相關公式：

年平均光學效率：將每個定日鏡的光學效率（η）進行加權平均以得到年平均值。這是每個定日鏡的光學效率在整個年度內的平均值。

年平均余弦效率：同樣，將每個定日鏡的余弦效率進行加權平均以得到年平均值。余弦效率是太陽輻射的損失，與太陽光線的入射角和定日鏡的朝向有關。

年平均陰影遮擋效率：將每個定日鏡的陰影遮擋效率進行加權平均以得到年平均值。陰影遮擋效率表示太陽輻射被遮擋的程度，影響定日鏡的效率。

年平均截斷效率：將每個定日鏡的截斷效率進行加權平均以得到年平均值。截斷效率考慮了鏡面與集熱器之間的距離對能量傳輸的影響。

年平均輸出熱功率：將每個月的輸出熱功率進行加權平均以得到年平均值。您需要按照問題1中的步驟，使用不同時間點的太陽輻射數據和定日鏡的光學效率來計算每個月的輸出熱功率，然后再取平均值。

單位面積鏡面年平均輸出熱功率：將年平均輸出熱功率除以每個定日鏡的采光面積，以得到單位面積鏡面年平均輸出熱功率。

首先，選擇一個合適的定日鏡尺寸和安裝高度的組合。這可以通過模擬不同的尺寸和高度來找到最佳組合，以最大化光學效率。

接下來，確定吸收塔的位置坐標，可以選擇將其置于鏡場中心或其他適當位置。這也可以通過模擬來優(yōu)化。

根據所選的尺寸、高度和位置，計算每個定日鏡的光學效率。

使用太陽輻射數據和光學效率，計算每個定日鏡的年平均輸出熱功率。

根據每個定日鏡的輸出熱功率，確定定日鏡的數量和位置，以使定日鏡場達到額定功率。

將所有參數填寫到表格中，包括吸收塔的位置坐標、定日鏡尺寸、安裝高度、定日鏡數目和定日鏡位置，以及年平均輸出熱功率和單位面積鏡面年平均輸出熱功率。

光學效率（η）的計算：

每個定日鏡的光學效率可以根據問題1中提供的計算公式計算。這包括太陽的高度角、方位角、法向直接輻射輻照度、陰影遮擋效率、余弦效率、大氣透射率和集熱器截斷效率的計算。

年平均輸出熱功率的計算：

a. 使用每個月不同時間點的太陽輻射數據和定日鏡的光學效率來計算每個月的輸出熱功率。這可以使用以下公式計算：

輸出熱功率（每月）太陽射數據輸出熱功率（每月）=太陽射數據×η

b. 計算年平均輸出熱功率時，將每個月的輸出熱功率進行加權平均。年平均輸出熱功率可以表示為：

年平均輸出熱功率（輸出熱功率（每月）月份權重）

其中，月份權重取決于每個月的天數和太陽輻射數據。

相關的需求參量為：

吸收塔的位置坐標：這是吸收塔在定日鏡場中的準確位置，通常使用笛卡爾坐標系中的X、Y、Z坐標來表示。

定日鏡尺寸：定日鏡的寬度和高度。根據問題描述，這些尺寸可以相同，也可以不同。

安裝高度：定日鏡的安裝高度。

定日鏡數目：定日鏡場中的定日鏡數量。

定日鏡位置：每個定日鏡的位置坐標，包括X、Y、Z坐標。

問題2

。。。（中間主要內容部分詳見文章底下完整版~）

設計參數的優(yōu)化：

為了使定日鏡場在達到額定功率的條件下，單位鏡面面積年平均輸出熱功率盡量大，您可以使用優(yōu)化算法，如遺傳算法或模擬退火算法。這些算法可以幫助您找到最佳的定日鏡尺寸、安裝高度、吸收塔的位置坐標、定日鏡數目和定日鏡位置組合，以最大化單位面積的年平均輸出熱功率。

利用模擬退火模擬該過程：

模擬退火是一種優(yōu)化算法，以最大化單位鏡面面積年平均輸出熱功率。

python:

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import random
 
# Define objective function (to be maximized)
def objective(params):
 # Extract parameters
 mirror_width, mirror_height, installation_height, num_mirrors = params
 
 # Calculate annual average output thermal power (you should implement this calculation)
 annual_output_power = calculate_annual_output_power(mirror_width, mirror_height, installation_height, num_mirrors)
 
 # Calculate negative of the objective function (we want to maximize, so negate)
 return -annual_output_power
 
# Define constraints (if any)
def constraint(params):
 # Define any constraints here if needed
 return []
 
# Function to calculate annual output power (you should implement this)
def calculate_annual_output_power(mirror_width, mirror_height, installation_height, num_mirrors):
 # Implement the calculation based on your problem description
 # Return the annual average output thermal power
 
 # Example calculation (replace this with your actual calculation)
 # In this example, we use a simplified formula:
 # Annual output power = Mirror area * Installation height * Number of mirrors * Efficiency
 # You should replace this with your actual calculation based on your problem description
 efficiency = 0.85  # Assume an efficiency factor (you should determine this)
 mirror_area = mirror_width * mirror_height  # Calculate mirror area
 annual_output_power = mirror_area * installation_height * num_mirrors * efficiency
 
 return annual_output_power
 
# Define initial guess for parameters
initial_guess = [6.0, 6.0, 4.0, 1000]
 
# Define bounds for parameters
param_bounds = [(2.0, 8.0), (2.0, 8.0), (2.0, 6.0), (1, 5000)]
 
# Run the optimization using simulated annealing
result = minimize(objective, initial_guess, bounds=param_bounds, constraints={'type': 'ineq', 'fun': constraint}, method='SLSQP')
 
# Extract the optimal parameters
optimal_params = result.x
 
# Calculate the annual average output thermal power with the optimal parameters
optimal_output_power = calculate_annual_output_power(*optimal_params)
 
# Print the results
print("Optimal Parameters (Mirror Width, Mirror Height, Installation Height, Num Mirrors):", optimal_params)
print("Optimal Annual Average Output Thermal Power (MW):", optimal_output_power)

matlab:

% Define objective function (to be maximized)
function negative_annual_output_power = objective(params)
    % Extract parameters
    mirror_width = params(1);
    mirror_height = params(2);
    installation_height = params(3);
    num_mirrors = params(4);
    
    % Calculate annual average output thermal power (you should implement this calculation)
    annual_output_power = calculate_annual_output_power(mirror_width, mirror_height, installation_height, num_mirrors);
    
    % Calculate negative of the objective function (we want to maximize, so negate)
    negative_annual_output_power = -annual_output_power;
end

% Define constraints (if any)
function c = constraint(params)
    % Define any constraints here if needed
    c = []; % No constraints in this example

問題3：

定義參數范圍：為定日鏡的位置、尺寸和安裝高度定義合適的參數范圍。這些范圍將用于優(yōu)化算法中的參數搜索。

運行優(yōu)化算法：使用適當的優(yōu)化算法（如模擬退火或遺傳算法），搜索最佳的參數組合，以達到額定功率條件下的最大單位鏡面面積年平均輸出熱功率

記錄結果：記錄找到的最佳參數組合，包括吸收塔的位置坐標、各定日鏡尺寸、安裝高度和定日鏡總數。

python:
?

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
 
# Define the optimization objective function
def objective(params):
    # Extract parameters
    tower_position, mirror_sizes, installation_heights = params
 
    # Calculate annual average output thermal power based on parameters
    annual_output_power = calculate_annual_output_power(tower_position, mirror_sizes, installation_heights)
 
    # Minimize the negative of the annual average output power (maximize output power)
    return -annual_output_power
 
# Define parameter bounds (ranges)
# Define the bounds for tower position, mirror sizes, and installation heights
param_bounds = [tower_position_bounds, mirror_sizes_bounds, installation_heights_bounds]
 
# Run the optimization using an appropriate algorithm (e.g., SLSQP)
result = minimize(objective, initial_guess, bounds=param_bounds, method='SLSQP')
 
# Extract the optimal parameters
optimal_params = result.x
 
# Calculate the annual average output thermal power with the optimal parameters
optimal_output_power = calculate_annual_output_power(*optimal_params)
 
# Print and save the results as needed

matlab:

% Define the optimization objective function
function annual_output_power = objective(params)
    % Extract parameters
    tower_position = params(1);
    mirror_sizes = params(2);
    installation_heights = params(3);
    
    % Calculate annual average output thermal power based on parameters
    annual_output_power = calculate_annual_output_power(tower_position, mirror_sizes, installation_heights);
    
    % Minimize the negative of the annual average output power (maximize output power)
    annual_output_power = -annual_output_power;
end

% Define parameter bounds (ranges)
% Define the bounds for tower position, mirror sizes, and installation heights
param_bounds = [tower_position_bounds; mirror_sizes_bounds; installation_heights_bounds];

% Run the optimization using an appropriate algorithm (e.g., fmincon)#代碼見完整版

消融分析：
消融分析是一種實驗方法，用于評估機器學習模型的性能，并確定模型中不同部分的貢獻度。在本問題中，我們可以使用類似的方法來評估不同因素對定日鏡場設計的影響。

以下是進行消融分析的一般步驟：

定義基準模型或條件： 首先，您需要定義一個基準模型或條件，作為比較的基準。在這個問題中，基準模型可以是根據某些默認參數配置的定日鏡場。

單因素實驗： 針對每個關鍵因素（例如，定日鏡尺寸、安裝高度、吸收塔位置等），分別進行單因素實驗。在每個實驗中，只改變一個因素，保持其他因素不變，然后記錄結果。

例如，對于定日鏡尺寸，可以嘗試不同的尺寸范圍，并記錄每種尺寸配置下的輸出功率。

對于安裝高度，可以分別測試不同高度下的輸出功率。

對于吸收塔位置，可以考慮不同位置坐標，并記錄每個位置的輸出功率。

多因素實驗： 接下來，進行多因素實驗，考慮多個因素的組合對輸出功率的綜合影響。

例如，可以將最佳定日鏡尺寸、安裝高度和吸收塔位置組合起來，觀察它們對輸出功率的綜合影響。

數據分析： 收集實驗數據后，進行數據分析，評估每個因素和因素組合對輸出功率的影響程度。這可以通過統(tǒng)計分析、可視化、回歸分析等方法來完成。

得出結論： 基于分析結果，得出關于哪些因素對輸出功率最重要、哪些因素對性能的影響較小等結論。

根據前問的結果，我們可以了解到：

定日鏡尺寸： 根據消融實驗，定日鏡尺寸對年平均輸出熱功率有重要影響。可能的結論是，較大的定日鏡尺寸（寬 × 高）可能有助于提高輸出功率，但同時也增加了制造和維護成本。

安裝高度： 消融實驗結果表明，安裝高度對定日鏡場性能有顯著影響。較高的安裝高度可能會提高年平均輸出熱功率，但可能需要更穩(wěn)固的支撐結構

吸收塔位置： 實驗指出吸收塔的位置坐標對定日鏡場性能有影響。選擇合適的吸收塔位置可以最大程度地集中太陽光線，提高熱功率輸出。

定日鏡總數： 通過消融實驗，可以確定最佳的定日鏡總數，以在滿足額定功率要求的同時，最大化單位鏡面面積年平均輸出熱功率。

大氣透射率： 大氣透射率的變化也會影響輸出功率。較低的大氣透射率可能導致較低的輸出功率。

消融實驗可以提供關于不同因素對定日鏡場性能的影響的見解。根據實驗結果，可以調整參數配置和優(yōu)化策略，以滿足額定功率要求，并最大化單位鏡面面積年平均輸出熱功率。

完整思路+文章看一下我的回答哦：

如何評價2023全國大學生數學建模競賽A題？ - 知乎

?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-707051.html

到了這里，關于2023 高教社杯 數學建模國賽（A題）深度剖析|Matlab+python代碼雙份提供|定日鏡場的優(yōu)化設計|數學建模完整代碼+建模過程全解全析的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內容，請在右上角搜索TOY模板網以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網！