引言
承接前文，繼續(xù)學(xué)習(xí)線性方程組的內(nèi)容，從方程組的通解開始。
四、線性方程組的通解
4.1 齊次線性方程組
（1）基礎(chǔ)解系 —— 設(shè) r ( A ) = r < n r(A)=r<n r(A)=r<n ，則 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 所有解構(gòu)成的解向量組的極大線性無關(guān)組稱為方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一個基礎(chǔ)解系?；A(chǔ)解系中所含有的線性無關(guān)的解向量的個數(shù)為 ( n ? r ) (n-r) (n?r) 個。
因為是 r ( A ) < n r(A)<n r(A)<n 呢？因為如果 r ( A ) = n r(A)=n r(A)=n 的話，那齊次方程就只有零解了，也沒什么好討論的。
求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系時，把其系數(shù)矩陣通過初等行變換進(jìn)行階梯化（系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換相當(dāng)于方程組的同解變形），每行第一個非零元素所在的列對應(yīng)的未知數(shù)是約束變量，其余變量是自由變量，從而可以確定基礎(chǔ)解系（最好把每行第一個非零元素化為 1 ，且其所在的列其余元素都化為零）。
舉個例子，假設(shè)方程組
A
X
=
0
\pmb{AX=0}
AX=0 的系數(shù)矩陣
A
\pmb{A}
A 經(jīng)過初等行變換可以化為如下形式：
則
r
(
A
)
=
3
<
5
r(A)=3<5
r(A)=3<5 ，方程組
A
X
=
0
\pmb{AX=0}
AX=0 的基礎(chǔ)解系中含有
n
?
r
=
5
?
3
=
2
n-r=5-3=2
n?r=5?3=2 個解向量，其中
x
1
,
x
2
,
x
3
x_1,x_2,x_3
x1?,x2?,x3? 為約束變量，
x
4
,
x
5
x_4,x_5
x4?,x5? 為自由變量，
(
x
4
,
x
5
)
(x_4,x_5)
(x4?,x5?) 分別取
(
1
,
0
)
(1,0)
(1,0) 和
(
0
,
1
)
(0,1)
(0,1) ，則基礎(chǔ)解系為：
ξ
1
=
(
?
2
,
1
,
?
3
,
1
,
0
)
T
,
ξ
2
=
(
3
,
?
4
,
2
,
0
,
1
)
T
.
\xi_1=(-2,1,-3,1,0)^T,\xi_2=(3,-4,2,0,1)^T.
ξ1?=(?2,1,?3,1,0)T,ξ2?=(3,?4,2,0,1)T. （2）通解 —— 設(shè)
ξ
1
,
ξ
2
,
…
,
ξ
n
?
r
\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r}
ξ1?,ξ2?,…,ξn?r? 為齊次線性方程組
A
X
=
0
\pmb{AX=0}
AX=0 的一個基礎(chǔ)解系，稱
k
1
ξ
1
+
k
2
ξ
2
+
?
+
k
n
?
r
ξ
n
?
r
k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_{n-r}\xi_{n-r}
k1?ξ1?+k2?ξ2?+?+kn?r?ξn?r? 為齊次線性方程組
A
X
=
0
\pmb{AX=0}
AX=0 的通解，其中
k
1
,
k
2
,
…
,
k
n
?
r
k_1,k_2,\dots,k_{n-r}
k1?,k2?,…,kn?r? 為任意常數(shù)。
4.2 非齊次線性方程組
設(shè) r ( A ) = r ( A ￣ ) < n r(A)=r(\overline{A})<n r(A)=r(A)<n ，且 ξ 1 , ξ 2 , … , ξ n ? r \xi_1,\xi_2,\dots,\xi_{n-r} ξ1?,ξ2?,…,ξn?r? 為 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的導(dǎo)出方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的一個基礎(chǔ)解系， η 0 \pmb{\eta_0} η0? 為 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的一個解，則 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的通解為 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ? + k n ? r ξ n ? r + η 0 , k_1\xi_1+k_2\xi_2+\dots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta_0, k1?ξ1?+k2?ξ2?+?+kn?r?ξn?r?+η0?, 其中 k 1 , k 2 , … , k n ? r k_1,k_2,\dots,k_{n-r} k1?,k2?,…,kn?r? 為任意常數(shù)。
1，齊次線性方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的基礎(chǔ)解系不唯一，但線性無關(guān)的解向量的個數(shù)是唯一的。
2， r ( A ) = r ( A ￣ ) < n r(A)=r(\overline{A})<n r(A)=r(A)<n 時，非齊次線性方程組 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 所有解向量的極大線性無關(guān)的向量個數(shù)為 ( n ? r + 1 ) (n-r+1) (n?r+1) 個。
3，設(shè) η 1 , η 2 , … , η n ? r + 1 \eta_1,\eta_2,\dots,\eta_{n-r+1} η1?,η2?,…,ηn?r+1? 為非齊次線性方程組 A X = b \pmb{AX=b} AX=b 的一個極大線性無關(guān)組，則其通解也可以像齊次方程那樣表示為 k 1 η 1 + k 2 η 2 + ? + k n ? r + 1 η n ? r + 1 k_1\eta_1+k_2\eta_2+\dots+k_{n-r+1}\eta_{n-r+1} k1?η1?+k2?η2?+?+kn?r+1?ηn?r+1? ，其中 k 1 , k 2 , … , k n ? r + 1 k_1,k_2,\dots,k_{n-r+1} k1?,k2?,…,kn?r+1? 為任意常數(shù)，且 k 1 + k 2 + ? + k n ? r + 1 = 1. k_1+k_2+\dots+k_{n-r+1}=1. k1?+k2?+?+kn?r+1?=1.
五、方程組解的理論延伸
定理 1 —— 設(shè)
A
A
A 是
m
×
n
m\times n
m×n 矩陣，
B
B
B 是
n
×
s
n\times s
n×s 矩陣，若
A
B
=
O
AB=O
AB=O ，則
B
B
B 的列向量組是方程組
A
X
=
0
AX=0
AX=0 的解。
證明： 令
B
=
(
β
1
,
β
2
,
…
,
β
s
)
B=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_s)
B=(β1?,β2?,…,βs?)，則
A
B
=
(
A
β
1
,
A
β
2
,
…
,
A
β
s
)
AB=(A\beta_1,A\beta_2,\dots,A\beta_s)
AB=(Aβ1?,Aβ2?,…,Aβs?)，若
A
B
=
O
AB=O
AB=O ，則
A
β
1
=
0
,
A
β
2
=
0
…
,
A
β
s
=
0
A\beta_1=0,A\beta_2=0\dots,A\beta_s=0
Aβ1?=0,Aβ2?=0…,Aβs?=0 ，原命題得證。
定理 2 —— 設(shè)方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 與 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 為同解方程組，則 r ( A ) = r ( B ) r(A)=r(B) r(A)=r(B) ，反之不對。
定理 3 —— 設(shè)方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解為 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，則 r ( A ) ≥ r ( B ) . r(A) \geq r(B). r(A)≥r(B).
1，設(shè)方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解為 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，但不全是，則 r ( A ) > r ( B ) . r(A) > r(B). r(A)>r(B).
2，設(shè)方程組 A X = 0 \pmb{AX=0} AX=0 的解為 B X = 0 \pmb{BX=0} BX=0 的解，且 r ( A ) = r ( B ) r(A) = r(B) r(A)=r(B) ，則兩個方程組同解。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-674756.html
定理 4 —— 設(shè) A X = b , B X = c \pmb{AX=b},\pmb{BX=c} AX=b,BX=c ，則線性方程組 ( A , B ) T X = ( b , c ) T (A,B)^TX=(b,c)^T (A,B)TX=(b,c)T 的解即為兩個方程的公共解。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-674756.html
到了這里，關(guān)于【考研數(shù)學(xué)】線性代數(shù)第四章 —— 線性方程組（2，線性方程組的通解 | 理論延伸）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
