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線性代數(shù)筆記4.4(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

2年前作者：被遺忘在角落的死小孩分類：Toy博客閱讀(17)違法舉報(bào)

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4.4非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

導(dǎo)出組

首先

Ax = b是一個(gè)非齊次線性方程組，若Ax = 0，則叫這個(gè)齊次方程組為導(dǎo)出組

性質(zhì)

若a1,a2是Ax = b的解，則a1 - a2 是Ax = 0的解，即非齊次方程組的解相減得到齊次方程組的解
非齊次線性方程組的解與導(dǎo)出組的解相加以后，還是非齊次方程組的解

線性代數(shù)筆記4.4(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

非齊次線性方程組的解：等于一個(gè)Ax = b的一個(gè)特解 + Ax = 0的基本線性組合
線性代數(shù)筆記4.4(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
求非齊次線性方程組的解就轉(zhuǎn)換為:非齊次方程組的特解和Ax = 0的基礎(chǔ)解析

求齊次方程組的基礎(chǔ)解系

系數(shù)矩陣化為行最簡(jiǎn)形，非零元為1寫在等號(hào)左邊，剩下移項(xiàng)寫在右邊，帶入單位向量得到的結(jié)果再與單位向量接長(zhǎng)即可

如何求非齊次方程組的特解？

求Ax = b的特解，先拿非齊次線性方程組的增廣系數(shù)矩陣，只做初等行變換化為行最簡(jiǎn)形得到相關(guān)的方程組。然后自由未知數(shù)取0帶入求得結(jié)果再與0接長(zhǎng)就是一個(gè)特解（接長(zhǎng)的時(shí)候需要考慮順序!!!）

然后直接寫出線性方程組的通解，只需要去掉系數(shù)就可以得到解的方程組了，然后按照上一節(jié)課講得做法寫出通解再相加就好

具體情況看圖更直觀
線性代數(shù)筆記4.4(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
總結(jié)

寫出增廣系數(shù)矩陣只做行變換，化為行簡(jiǎn)化
非零行的首非零元的1留在左邊，其余挪到右邊，寫出非齊次線性方程組，指出誰(shuí)是自由未知量(不在左邊都是自由未知量)
含自由未知量均取0得到一個(gè)特解
另通解方程組右邊常數(shù)均為0，等齊次方程組的通解，指出誰(shuí)是自由未知量，帶入單位向量，得到線性方程組的基礎(chǔ)解系
非齊次特解+齊次通解

考研的一道例題

求通解

首先4元3秩，顯然自由未知量只有一個(gè)，則導(dǎo)出組只有一個(gè)解，而特解可以用α1

用兩次性質(zhì)構(gòu)造等式就能求出線性組合了
線性代數(shù)筆記4.4(二)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)
略微修改之后也不難
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