1. 適用場合
- 初等行、列變換可以混用
- 求矩陣/向量組的秩：初等變化不改變矩陣的秩（求向量組的秩也是先排成矩陣然后求矩陣的秩）
- 矩陣化行階梯型矩陣（用來求秩）：同上
- 矩陣化為等價標準形：根據(jù)定義，化標準形時要同時左乘和右乘可逆矩陣，相當于初等行列變換都做了
- 求行列式的值：只要求出數(shù)值就行。注意在初等變換時要同步記錄對行列式值的影響（互換→反號，倍乘→變k倍，倍加→不變）
- 只能用初等行變換：
- 解線性方程組：只有行變換是線性方程組的同解變換
- 矩陣化行階梯型矩陣（用來解線性方程組）：同上
- 求特征向量：本質(zhì)是解齊次線性方程組
- 求（列向量）極大線性無關(guān)組：對于列向量而言，初等行變換保持線性相關(guān)性（證明見第2節(jié)）
-
求逆矩陣（橫向排列）
- 只能用初等列變換：
- 求（行向量）極大線性無關(guān)組：對于行向量而言，初等列變換保持線性相關(guān)性（證明見第2節(jié)）
-
求逆矩陣（縱向排列）
2. 初等行變換保持列向量的線性相關(guān)性
-
考慮一個 n n n 元齊次線性方程組如下，它總共有 m m m 個顯式約束
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + a m 3 x 3 + . . . + a m n x n = 0 \left\{\begin{matrix} a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+...+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+...+a_{2n}x_n=0 \\...\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+a_{m3}x_3+...+a_{mn}x_n=0 \end{matrix}\right. ????????a11?x1?+a12?x2?+a13?x3?+...+a1n?xn?=0a21?x1?+a22?x2?+a23?x3?+...+a2n?xn?=0...am1?x1?+am2?x2?+am3?x3?+...+amn?xn?=0? 提取出系數(shù)矩陣 A m × n \pmb{A}_{m\times n} AAAm×n?，并把它用 n n n 個 m m m 維列向量 a i = [ a 1 i , a 2 i , . . . , a m i ] ? \pmb{a}_i=[a_{1i},a_{2i},...,a_{mi}]^\top aaai?=[a1i?,a2i?,...,ami?]? 表示，原方程組變形為
A x = [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] x = x 1 a 1 + x 2 a 2 + . . . + x n a n = 0 \begin{aligned} \pmb{Ax} &= [\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]\pmb{x} \\&= x_1\pmb{a}_1+x_2\pmb{a}_2 +...+x_n\pmb{a}_n \\&= \pmb{0} \end{aligned} AxAxAx?=[aaa1?,aaa2?,...,aaan?]xxx=x1?aaa1?+x2?aaa2?+...+xn?aaan?=000? 這樣，任意一個列向量都可以寫成用其他列向量表示的形式
a i = ? ∑ j ≠ i x j x i a j \pmb{a}_i = -\sum_{j\neq i} \frac{x_j}{x_i}\pmb{a}_j aaai?=?j?=i∑?xi?xj??aaaj? 這意味著，這組向量的線性相關(guān)性由線性方程組的解唯一確定- ? x i ≠ 0 \exist x_i \neq 0 ?xi??=0，對應(yīng)的 a i \pmb{a}_i aaai? 就真的能由其他列向量線性表示，這一組向量就線性相關(guān)了（這時有效方程數(shù)量少于未知數(shù)個數(shù)，齊次線性方程組有無窮多非零解）
- ? x i = 0 \forall x_i = 0 ?xi?=0（即 x = 0 \pmb{x}=\pmb{0} xxx=000）時，這一組向量線性無關(guān)（這時有效方程數(shù)量等于未知數(shù)個數(shù)，齊次線性方程組有唯一的零解）
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對于線性方程組來說，對它做初等行變換是不改變解的（這正是高斯消元法的理論基礎(chǔ)）。因此，對矩陣做初等行變換得到新矩陣文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-447063.html
- 變換前后，任何相應(yīng)部分的列向量組有相同的線性相關(guān)性
- 變換前后，行向量組等價（可以相互線性表出）
-
由于行列的等價性，把上述討論中所有 “行”，“列” 交換，仍成立文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-447063.html
到了這里，關(guān)于線性代數(shù)拾遺（2）—— 何時用初等行變換，何時用初等列變換？的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
