?前言：基變換在做圖像壓縮等計算的時候，經(jīng)常用到?；儞Q和相似矩陣的定義也有非常密切的聯(lián)系：基變換的本質(zhì)就是變換了基向量的一個關(guān)聯(lián)計算，在最小二乘的算法里面，通過選擇正確的基可以將計算進行簡化。
而正確的的特征向量和特征值的確定，又和本節(jié)的基變換互為相互印證的關(guān)系。
基變換的標(biāo)準定義：
?基變換的實質(zhì)是， 將某向量空間中的元素v 由有序基 F[w1,w2...vn] ?v=x1w1+x2w2 +...xnwn的線性組合，表示成另一有序基E[v1,v2,...vn]即v=y1v1+y2v2+...ynvn的線性組合
?文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-471731.html
1基向量的來源
在二維向量空間有一個向量如下：
用單位基向量的縮放表示如下：【^i】和【^j】是單位基向量
我們可以隱含假設(shè)認為：
?【案，坐標(biāo)2，表示向右運動，坐標(biāo)3表述向上運動，基向量的單位表征運動的快慢】
由此，我們有如下定義：
[3,2]被稱為標(biāo)準的坐標(biāo)系下的向量，而【^i】和【^j】是這個標(biāo)準坐標(biāo)系的基向量
?2 不同的基向量的由來
如果我們定義一組不同的單位基向量作為構(gòu)成向量空間的基礎(chǔ)，看看會發(fā)生什么？
例如：
我們在原來的向量空間，定義任意兩個向量，b1,b2，并把它作為單位基向量：?
【案，記住這個新的基向量在原有基向量空間的坐標(biāo)后面要用到】
那么在這個新定義的坐標(biāo)向量坐標(biāo)系統(tǒng)里面，b1,b2變成了單位向量。
也就是原來的基向量[1,0]由[-1,1]代替了，而原來的基向量[1,0]由[2,1]這兩個新的基向量分別代替了。
【我們先稱呼這兩個變換后的基向量簡稱為斜的基向量，變換后向量空間為斜的向量空間，以便于簡化描述，這個斜向的向量空間，在參考視頻里面又叫做詹妮弗的向量空間】
在這個新定義的斜坐標(biāo)系統(tǒng)里面，隱含假設(shè)發(fā)生了變化：
方向和單位長度都變化了。
?【案，注意為了對比向量坐標(biāo)系統(tǒng)已經(jīng)發(fā)生了變化，我們用平行四邊形的網(wǎng)格背景表述新的向量坐標(biāo)系統(tǒng)空間】
兩個坐標(biāo)系統(tǒng)，唯一相同的是可以擁有同一個原點：
?這樣，我們就構(gòu)建了一個新的基向量的斜的坐標(biāo)系統(tǒng)
3 基變換：
既然，構(gòu)建了新的基向量坐標(biāo)空間，那么，不同的坐標(biāo)空間內(nèi)，某一個空間內(nèi)的向量如何在另外一個變換后的空間內(nèi)找到位置呢？
比如：這個斜的基向量空間的[-1,2]向量，在我們原來標(biāo)準的向量空間是哪個向量對應(yīng)呢？
在斜的基向量空間，向量[-1,2]大致可以表述為下面這個圖：
現(xiàn)在，我們加上斜的基向量在原向量空間的坐標(biāo)位置：
【案，注意，關(guān)鍵的聯(lián)系表述出現(xiàn)了，如下：】
我們在斜向變化后的向量空間取的任意向量[-1,2]，他在原來的向量空間的坐標(biāo)，應(yīng)該是通過這樣一個變換得到：
【案，解釋一下為啥是下面這個計算公式：1 向量在向量空間的張成位置，就是通過他的坐標(biāo)長度*單位向量所得。 2 我們現(xiàn)在乘的單位向量的值，是已經(jīng)經(jīng)過轉(zhuǎn)變后到原來的正方形單位向量的向量空間的值，所以，出來的結(jié)果也是原來的向量空間的值，而不是斜的的向量空間】
【也就是通過上面這個乘積的變換，我們搞成了原來的坐標(biāo)系】
【案，這里原視頻解釋不夠細致，我們可以理解為向量之間的一種線性變化的關(guān)系和聯(lián)系，而，這有點像點積的表達？？】
也就是：我們得到了斜向坐標(biāo)系下[-1,2]變成了我們坐標(biāo)系下[-4,1]的對應(yīng)向量。
這里就是用某個向量的特定坐標(biāo)與他的基向量數(shù)乘然后相加：
而這就是矩陣的向量乘法：
矩陣的向量乘法，可以理解為應(yīng)用一個特定的線性變換【矩陣的列，就是變化后的新的基向量，他乘以新的坐標(biāo)系下的某個特定向量，得到，我們原來變換前的向量的位置和值】
再仔細考慮上面這個思想：
1 首先-特定向量是基向量的特點線性組合：
2 變換后的向量仍然是線性組合的，不過使用的是新的基向量
3 然后思考，這個變換是在兩個不同的基空間進行：
并且，其實只是表述不同【類似于語言不同，表達的意思一樣】
?也就是【-1,2】在斜網(wǎng)格空間等價于【-4,1】在我們【原始】的空間的表述。
以上，我們完成了一個斜向空間【基向量不是單位向量的變更空間】內(nèi)的一個矢量變換到之前我們的元素單位空間的例子。
====================================================================
那么，現(xiàn)在我們反過來呢？如果從一個原始的坐標(biāo)系的向量坐標(biāo)變換到斜向的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)呢？
在第一節(jié)里面，我們有如下的一個向量：
?用單位基向量的縮放表示如下：【^i】和【^j】是單位基向量
步驟1：變換后的基向量是什么？
我們設(shè)定，變換后我們的兩個基向量分別是[2,1],[-1,1]
步驟2：原始 --》斜向的變化矩陣
于是從這兩個基向量構(gòu)成的，我們稱為斜的向量空間，變換到之前元素的坐標(biāo)用的變換矩陣：就是
?步驟3：斜向的變化矩陣 --》原始
這個顯然是步驟2的逆變換，而，一個變換的逆變換是一個新的變換，他是什么呢？
經(jīng)過計算應(yīng)該是右邊這個矩陣：
步驟4，現(xiàn)在我們把元素坐標(biāo)下的向量，逆變換到斜向的向量空間。
?
【逆變換的矩陣乘法如上】?
這就是斜向向量空間里面和之前的[3,2]對應(yīng)的那個向量。?
?
推而廣之：
右邊的式子，也可以用逆變換，或者說逆矩陣表述為：
?
?
?
舉例：
1 一個90度的選擇的坐標(biāo)變換：
1.1 從原始坐標(biāo)系統(tǒng)來理解：
用坐標(biāo)變換，跟蹤一下，變換后的坐標(biāo)：
并把這個坐標(biāo)作為矩陣的列：
這里我們理解為：
?1.2 從斜的坐標(biāo)空間來理解：
在斜向坐標(biāo)系下有一個任意的向量：
我們通過基變換矩陣把他變換從我們原始的坐標(biāo)系下的向量：
然后，我們再左乘，【90度旋轉(zhuǎn)的變換矩陣】
【注意，這樣變換的結(jié)果就是我們原來坐標(biāo)系下，變化后的向量了】?
如果我們閑著蛋疼，想把這個向量再邊到斜向坐標(biāo)系里面去，那么，只需要再左乘一個原來變換的逆矩陣，就可以了。
?
【OK，如果我們把這些變換都放到一起，如上，我們就實現(xiàn)了一個在斜向的向量空間下，對任意給定的斜向坐標(biāo)系下的向量的一個90度的翻轉(zhuǎn)變換】
然后，我們可以計算和化簡這個變換，最后得到，
【注意，這里變換的矩陣分別出現(xiàn)了兩次，一次是左乘的逆矩陣，一次是右乘的矩陣】
于是可以拿來和任意一個想要翻轉(zhuǎn)的向量來相乘，實現(xiàn)變換【在斜向向量空間下】
?本例，這個給出的要變換的向量是[1,2]
于是有：如下的左乘計算完成了這個變換，
推而廣之：
?
M就是你要的變換，A則表示你的數(shù)學(xué)上或者說空間上的轉(zhuǎn)移作用的轉(zhuǎn)移矩陣。
【案，轉(zhuǎn)移矩陣必定為非奇異的(滿秩)的】
?推而廣之，上面的式子其實也是一個相似變化的定義很像：
再推而廣之，
矩陣的化簡，可以通過對角化來實現(xiàn)矩陣化簡。而能否對角化，又是通過判斷和特征向量有關(guān)。這一個概念的聯(lián)系，應(yīng)該在下一節(jié)會介紹。
?
2 基變換公式
【案，這里從數(shù)學(xué)角度再推導(dǎo)一下】
【基變換公式，就是基向量變換公式】?
在說明之前，先預(yù)備一下知識：就是向量的線性表出的三種形式記號：
【案，形式3 ，和形式1都是向量的線性表述的寫法】
如果推而廣之到一個多維的向量組，那么有，
?3 坐標(biāo)變換公式
例題1：
理解了上述概念后，我們來做一道實際的例題，加深一下印象：
【案，這里有序基就是可以看出是一個基向量】?
?
?
【這個例子，將兩個有序基的轉(zhuǎn)換表述出來，這里表述了用有序基[1,x,x^2]來表述有序基[1,2x,4x^2-2],這里基向量就是有序基，而這樣就可以寫出他對應(yīng)的系數(shù)矩陣，注意這里是按照行的方式寫，不影響結(jié)果】?
【也就是完成了一個從[1,2x,4x^2-2], 到 [1,x,x^2]的轉(zhuǎn)換】
?
而，反過來，
?
計算得到他的逆矩陣為：
然后，我們給的P3任意一個p(x),【也就是我們前面討論的，一個向量空間的某一個任意向量】?
【案，注意這里這個通用方程的系數(shù)[a,b,c]，就是我們要給出的任意向量的值】?
求他對應(yīng)于：【基向量】
的坐標(biāo)，
按照之前討論，我們只需要用變換矩陣去左乘給出的任意向量，就可以完成這個向量的空間變換，也就是，
?
這個就是基于新的基向量的方程形式。
?
?例題2，
?上面推導(dǎo)如下：
由此，
由此
所以，
所以，
如果，換成基向量的變化，也就有：
?
?
?
?
?
?
詞匯：
1implicit assumptions? ? ? ? ????????隱含假設(shè)
2change of basis matrix? ? ? ? 基變換矩陣
參考：
?【官方雙語/合集】線性代數(shù)的本質(zhì) - 系列合集_嗶哩嗶哩_bilibilihttps://www.bilibili.com/video/BV1ys411472E?p=13
(46條消息) 關(guān)于基變換_weixin_33725807的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/weixin_33725807/article/details/86252992?spm=1001.2101.3001.6650.5&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-5.no_search_link(57條消息) 線性代數(shù)【１０】 相似矩陣_山云的專欄-CSDN博客https://dimensionspacex.blog.csdn.net/article/details/121491943
(46條消息) 基變換和坐標(biāo)變換_大哉數(shù)學(xué)之為用-CSDN博客_基變換和坐標(biāo)變換https://blog.csdn.net/Daniel_tanxz/article/details/89135594?spm=1001.2101.3001.6650.9&utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-2%7Edefault%7EBlogCommendFromBaidu%7Edefault-9.no_search_link
旋轉(zhuǎn)矩陣（Rotation Matrix）的推導(dǎo)及其應(yīng)用 - meteoric_cry - 博客園 (cnblogs.com)https://www.cnblogs.com/meteoric_cry/p/7987548.html文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-471731.html
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