第四章 線性方程組
4.1 線性方程組
● 由二元一次方程的消元法，交換兩個(gè)方程，用非零數(shù)乘以某個(gè)方程，某方程乘以k倍加到另一方程。這個(gè)與矩陣的初等行變換相似。
● 將上面方程組的未知數(shù)去掉，將系數(shù)寫在一個(gè)矩陣中。就可以表示該方程組。并可以通過矩陣的初等行變換求解。
4.2 線性方程組有解的判定
● 系數(shù)矩陣，將方程組所以方程等號(hào)左邊的系數(shù)寫成一個(gè)矩陣。
● 增廣系數(shù)矩陣(記作
A
ˉ
\bar A
Aˉ)，在系數(shù)矩陣的右側(cè)加方程組等號(hào)右側(cè)的數(shù)字（只有一列）。
● 向量表達(dá)式，每個(gè)未知數(shù)與該未知數(shù)的系數(shù)組成的向量的乘積之和等于方程組等號(hào)右側(cè)數(shù)字組成的矩陣。
● 判斷方程組的系數(shù)矩陣和增廣型系數(shù)矩陣的秩的關(guān)系便可以判斷方程組有解與否。
● 判斷方程組系數(shù)矩陣和增廣型系數(shù)矩陣的秩是否相等的步驟
1.寫出增廣型系數(shù)矩陣
2.只做初等行變換，將矩陣轉(zhuǎn)換成階梯型
3.階梯型中虛線左右非零行行數(shù)是否等于
4.不管全為0的行，左邊首非零元留在左邊，其他變量挪到右邊。得到一般解
5.如果是無窮型，那么為零的未知數(shù)就是自由未知量。
● 在矩陣中出現(xiàn)參數(shù)的時(shí)候，一定注意參數(shù)不能放在分母。
4.3 齊次線性方程組
● 齊次方程組指的是方程組的等號(hào)右邊都是0.
● 齊次線性方程組一定有解，至少有0解。
●
r
(
A
)
=
r
(
A
ˉ
)
r(A)=r(\bar A)
r(A)=r(Aˉ) 有唯一的零解
?
\Leftrightarrow
? r(A)=n
有非零解
?
r
(
A
)
<
n
\Leftrightarrow r(A)<n
?r(A)<n
方程個(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)，有非零解。
r
(
A
)
<
m
i
n
(
m
,
n
)
<
n
r(A)<min{(m,n)}<n
r(A)<min(m,n)<n
方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)，有非零解
?
∣
A
∣
=
0
?
r
(
A
)
<
n
?
A
不可逆
\Leftrightarrow \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow r(A)<n\Leftrightarrow A不可逆
?
?A?
?=0?r(A)<n?A不可逆
4.4.1 齊次方程組解的結(jié)構(gòu)
● 對(duì)于 齊次方程組
1.
η
1
和
η
2
是
A
x
=
0
的解，那么
η
1
+
η
2
也是它的解
A
(
η
1
+
η
2
)
=
A
η
1
+
A
η
2
=
0
+
0
=
0
\eta_1和\eta_2是Ax=0的解，那么\eta_1+\eta_2也是它的解\\A(\eta_1+\eta_2)=A\eta_1+A\eta_2=0+0=0
η1?和η2?是Ax=0的解，那么η1?+η2?也是它的解A(η1?+η2?)=Aη1?+Aη2?=0+0=0
2.
η
是
A
x
=
0
的解，
c
η
也是解，那么
A
(
c
η
)
=
c
A
η
=
c
?
0
=
0
\eta是Ax=0的解，c\eta也是解，那么A(c\eta)=cA\eta=c\cdot0=0
η是Ax=0的解，cη也是解，那么A(cη)=cAη=c?0=0
● 基礎(chǔ)解系：1.
η
1
?
η
s
線性無關(guān)
\eta_1\cdots\eta_s線性無關(guān)
η1??ηs?線性無關(guān) 2.任意一個(gè)解都可以由
η
1
?
η
s
\eta_1\cdots\eta_s
η1??ηs?來表示
● 基礎(chǔ)解系就是極大線性無關(guān)組。
● 將矩陣進(jìn)行初等行變換，然后化簡成行簡化階梯型。
自由未知量取最大線性無關(guān)組
● 基礎(chǔ)解系中解的個(gè)數(shù)是
n
?
r
(
A
)
n-r(A)
n?r(A)個(gè)。
● 結(jié)論：
A
m
×
n
、
B
n
×
s
??
A
B
=
0
n
×
s
??那么：
r
(
A
)
+
r
(
B
)
≤
n
A_{m\times n}、B_{n\times s} \ \ AB=0_{n\times s}\ \ 那么： r(A)+r(B)\leq n
Am×n?、Bn×s???AB=0n×s???那么：r(A)+r(B)≤n證明過程，將矩陣B分為s個(gè)向量，這個(gè)地方之所以要分塊是因?yàn)橐獪惓鼍仃嚦艘韵蛄康扔诹悖R次線性方程組）；然后如第二、三行所示，
A
B
i
=
0
AB_i=0
ABi?=0 這個(gè)就是齊次線性方程組。 之后分類討論。
4.4.2 非齊次方程組解的結(jié)構(gòu)
● 矩陣乘以向量等于一個(gè) 常數(shù) ，就是非齊次方程組 。即Ax=b 令b=0,那么Ax=0就是導(dǎo)出組。
α
1
、
α
2
是
A
x
=
b
的解
,
α
1
?
α
2
是
A
x
=
0
的解。
A
(
α
1
?
α
2
)
=
A
α
1
?
A
α
2
=
b
?
b
=
0
\alpha_1、\alpha_2是Ax=b的解,\alpha_1-\alpha_2是Ax=0的解。A(\alpha_1-\alpha_2)=A\alpha_1-A\alpha_2=b-b=0
α1?、α2?是Ax=b的解,α1??α2?是Ax=0的解。A(α1??α2?)=Aα1??Aα2?=b?b=0
α
0
是
A
x
=
b
的解，
η
是
A
x
=
0
的解，
α
0
+
η
是
A
x
=
b
的解
,
A
(
α
0
+
η
)
=
A
α
0
+
A
η
=
b
+
0
=
b
\alpha_0是Ax=b的解，\eta是Ax=0的解 ，\alpha_0+\eta是Ax=b的解,A(\alpha_0+\eta)=A\alpha_0+A\eta=b+0=b
α0?是Ax=b的解，η是Ax=0的解，α0?+η是Ax=b的解,A(α0?+η)=Aα0?+Aη=b+0=b
● 定理：
α
0
是
A
x
=
b
的一個(gè)解
,
η
是
A
x
=
0
的通解?
η
=
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
c
d
o
t
s
+
C
n
?
r
η
n
?
r
,
η
n
?
r
是
A
x
=
0
的基礎(chǔ)解系?
α
0
+
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
c
d
o
t
s
+
C
n
?
r
η
n
?
r
就是
A
x
=
b
的全解
(
通解
)
\alpha_0是Ax=b的一個(gè)解,\eta是Ax=0的通解\ \eta=C_1\eta_1+C_2\eta_2+cdots+C{n-r}\eta{n-r},\eta_{n-r}是Ax=0的基礎(chǔ)解系\ \alpha_0+C_1\eta_1+C_2\eta_2+cdots+C{n-r}\eta{n-r}就是Ax=b的全解(通解)
α0?是Ax=b的一個(gè)解,η是Ax=0的通解?η=C1?η1?+C2?η2?+cdots+Cn?rηn?r,ηn?r?是Ax=0的基礎(chǔ)解系?α0?+C1?η1?+C2?η2?+cdots+Cn?rηn?r就是Ax=b的全解(通解)
● 例題：
文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-859180.html
所以通解為：
(
13
7
?
4
7
0
0
)
+
C
1
(
?
3
7
?
2
7
0
0
)
+
C
2
(
?
13
7
?
4
7
0
0
)
\left(\begin{matrix}\frac{13}{7}\\-\frac{4}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)+C_1\left(\begin{matrix}-\frac{3}{7}\\-\frac{2}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)+C_2\left(\begin{matrix}-\frac{13}{7}\\-\frac{4}{7}\\0\\0\end{matrix}\right)
?713??74?00?
?+C1?
??73??72?00?
?+C2?
??713??74?00?
?
● 步驟：
1.寫出增廣型系數(shù)矩陣，只做初等行變換，化為行簡化階梯型
2.非零行的首非零元的1留在左邊，其余的移到右邊，寫出非齊次方程組的通解方程組，指出誰是自由未知量(不在左邊是自由未知量)
3.令自由未知量均取0，得到Ax=b的一個(gè)特解。
4.令通解方程組右邊常數(shù)項(xiàng)均為0，得到Ax=0的通解方程組。指出誰是自由未知量，令自由未知量取最大線性無關(guān)組，得到Ax=0的基礎(chǔ)解系
5.按
α
0
+
C
1
η
1
+
C
2
η
2
+
?
+
C
n
?
r
η
n
?
r
\alpha_0+C_1\eta_1+C_2\eta_2+\cdots+C_{n-r}\eta_{n-r}
α0?+C1?η1?+C2?η2?+?+Cn?r?ηn?r? 得出非齊次方程組的通解
● 例題：
四元非齊次方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，
α
1
、
α
2
、
α
3
是方程組的三個(gè)解
其中
α
1
=
(
2
,
3
,
4
,
5
)
T
,
α
2
+
α
3
=
(
1
,
2
,
3
,
4
)
T
\alpha_1、\alpha_2、\alpha_3是方程組的三個(gè)解\\其中\(zhòng)alpha_1=(2,3,4,5)^T,\alpha_2+\alpha_3=(1,2,3,4)^T
α1?、α2?、α3?是方程組的三個(gè)解其中α1?=(2,3,4,5)T,α2?+α3?=(1,2,3,4)T
求：通解
解：通解=Ax=b的一個(gè)特解+導(dǎo)出組基礎(chǔ)解系的線性組合
其中
α
1
,
α
2
,
α
3
都是特解，但是只有
α
1
給出，所以把
α
1
做特解
\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3都是特解，但是只有\(zhòng)alpha_1給出，所以把\alpha_1做特解
α1?,α2?,α3?都是特解，但是只有α1?給出，所以把α1?做特解
導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系的解的個(gè)數(shù)=n-r 在本題中=4-3=1。
由
α
1
、
α
2
是
A
x
=
b
的解
,
α
1
?
α
2
是
A
x
=
0
的解。
A
(
α
1
?
α
2
)
=
A
α
1
?
A
α
2
=
b
?
b
=
0
\alpha_1、\alpha_2是Ax=b的解,\alpha_1-\alpha_2是Ax=0的解。A(\alpha_1-\alpha_2)=A\alpha_1-A\alpha_2=b-b=0
α1?、α2?是Ax=b的解,α1??α2?是Ax=0的解。A(α1??α2?)=Aα1??Aα2?=b?b=0
所以
2
α
1
?
α
2
?
α
3
就是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系
2\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3就是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系
2α1??α2??α3?就是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-859180.html
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