向量組及其線性組合

一.向量、向量組

1.向量

n個有次序的數(shù)a1,a2,...,an所組成的數(shù)組稱為n維向量，這n個數(shù)稱為該向量的n個分量，第i個數(shù)ai稱為第

i個分量

n維向量可以寫成一行，也可以寫成一列，在沒有指明是行向量還是列向量時，均為列向量

2.向量組

若干個同維數(shù)的列向量（行向量）所組成的集合叫作向量組

含有限個向量的向量組可以構成一個矩陣

二.向量的線性組合和線性表示

1.線性組合

給定向量組A：a1,a2,...,am，對于任何一組實數(shù)k1,k2,...,km，表達式k1a1+k2a2+...+kmam稱為向量組A的一個線性組合，k1,k2,...,km稱為這個線性組合的系數(shù)（注意這里的a1,a2,...,am是向量，不是單一的數(shù)）

2.線性表示

給定向量組A：a1,a2,...,am和向量b，若有一組數(shù)λ1,λ2,...λm，使b=λ1a1+λ2a2,...,λmam，則向量b是向量組A的線性組合，稱向量b能由向量組A線性表示

向量b能由向量組A線性表示==方程組x1a1+x2a2,...,xmam=b有解==(R(a1,a2,...,am)=R(a1,a2,...,am, b))

若有兩個向量組A和B，若B中的每個向量都能由向量組A線性表示，則稱向量組B能由向量組A線性表示

向量組B能由向量組A線性表示==矩陣方程(a1,a2,...,am)X=(b1,b2,...,bl)(AX=B)有解==(存在矩陣Km*l，使得B=AK)==（R(A)=R(A,B)）

注：R(B)<=R(A)

3.向量組等價

若向量組A與向量組B能互相線性表示，則稱這兩個向量組等價

向量組A與向量組B等價==(R(A)=R(B)=R(A,B))

三.例題解析

題型一：向量的運算

題型二：向量線性表示問題

設向量組B：β1,β1,...,βs可以由向量組A：α1,α2,..,αt線性表示，向量y可以由向量組B線性表示，試證明：向量y也可由向量組A線性表示

證明：

設A=(α1,α2,..,αt)，B=(β1,β1,...,βs)，則由向量組B可由向量組A線性表示可得存在矩陣K使得B=AK，又y可以由向量組B線性表示，可得y=Bx

故y=AKx=A(Kx)，所以y也可以由向量組A線性表示

該結論表示了向量組線性表示具有傳遞性

題型三：向量組的線性表示問題

例一：

任一n維向量均可由n維向量組A：α1,α2,..,αt線性表示的充要條件是n維單位坐標向量組B：e1,e2,...,en可由A線性表示

思路：

n維單位坐標向量ei是第i個元素為1，其余元素為0的n維向量，即為單位矩陣E的第i個列向量（i=1,2,...,n）

證明：

必要性：

因為任一n維向量均可由向量組A線性表示，所以向量組B中任一向量ei（i=1,2,...,n）均可由向量組A線性表示，故向量組B可由向量組A線性表示

充分性：

設A=(α1,α2,..,αt)，B=(e1,e2,...,en)，則R(B)=n，向量組B可以由向量組A線性表示，所以R(A)>=R(B)=n，又因為R(A)<=矩陣A的列數(shù)=n，所以R(A)=n

于是對于任何一個n維向量β，有n=R(A)<=R(A,β)<=矩陣(A,β)的行數(shù)n

故R(A)=R(A,β)=n

所以向量β能由向量組A線性表示

例二：

設B是由矩陣A經(jīng)初等行變換得到的矩陣，證明A與B的列向量有完全相同的線性關系，即k1a1+k2a2+...+kmam=0當且僅當有k1b1+k2b2+...+kmbm=0，其中ai和bi分別為A和B的列向量

證明：

考慮線性方程組Ax=0與Bx=0，因為B是由A經(jīng)初等行變換得到的，所以Ax=0與Bx=0同解

所以當Ak=0試，有Bk=0，即k1b1+k2b2+...+kmbm=0，反之也成立

題型四：由線性表示關系確定參數(shù)

向量組的線性相關性

線性相關（無關）->定義、判定、結論

一.線性相關、線性無關

1.線性相關

給定向量組A：a1,a2,...,am，若存在不全為零的數(shù)k1,k2,...,km，使k1a1+k2a2+...+kmam=0，則稱向量組A是線性相關的（注意是m個向量，即m個未知數(shù)）

充要條件為齊次線性方程x1a1+x2a2+...+xmam=0有非零解

矩陣A=(a1,a2,...,am)的秩R(A)<m，即行列式|A|=0

2.線性無關

若k1=k2=...=km=0，則稱向量組A是線性無關的

充要條件為齊次線性方程x1a1+x2a2+...+xmam=0只有零解

矩陣A的秩R(A)=m，即行列式|A|!=0

二.線性相關、無關的重要結論

1.向量組A：a1,a2,...,am（m>=2）線性相關，也就是在向量組A中至少有一個向量能由其余m-1個向量線性表示

2.含有零向量的向量組必是線性相關組

3.若向量組中有兩個向量成比例，則該向量組必為線性相關組

4.n維單位坐標向量必線性無關

5.若m維向量組A線性相關，則m+1維向量組B也線性相關，若向量組B線性無關，則向量組A也線性無關

（部分相關，整體相關；整體無關，部分無關）

6.m個n維向量構成的向量組，當維數(shù)n小于向量個數(shù)m時一定線性相關（R(A)<=min{m,n}，所以R(A)必定小于m，小于未知量的個數(shù)，必定為線性相關），n+1個n維向量一定線性相關（n*n+1矩陣，n<n+1，即R(A)必定小于未知量n+1）

7.設向量組Aa1,a2,...,am線性無關，向量組Ba1,a2,...,am,b線性相關，則向量b必能由向量組A線性表示，且表達式是唯一的

三.例題解析

題型一：判斷向量組的線性相關性

判斷抽象向量組的線性相關性時，有以下三種思路：

1.定義法

即設k1a1+k2a2+...+kmam=0，考察k1,k2,...,km是否全為0

2.表示矩陣法

即若m個向量構成的向量組A線性無關，有AX=B，則B線性無關==(R(X)=m)，B線性相關==(R(X)<m)

3.利用相關結論證明

題型二：已知線性相關性求參數(shù)的問題

兩個向量線性相關時，它們的對應分量成比例

利用線性相關的定義列出等式，轉化為求方程組解的問題，若系數(shù)矩陣|A|=0，則線性相關，若|A|!=0，則線性無關

題型三：線性相關性與線性表示相關問題

設向量組a1,a2,a3線性相關，向量組a2,a3,a4線性無關。a1能否由a2，a3線性表示？a4能否由a1，a2，a3線性表示？

因為a1,a2,a3線性相關，所以有不全為0的數(shù)k1,k2,k3，使k1a1+k2a2+k3a3=0，若k1=0，則k2和k3不全為0，并且k2a2+k3a3=0，所以a2,a3線性相關，從而a2,a3,a4也線性相關，矛盾，所以k1!=0

從而有a1=(-k2/k1)a2+(-k3/k1)a3，所以a1可由a2和a3線性表示

a4不能由a1,a2,a3顯現(xiàn)表示

若a4可以由a1,a2,a3線性表示，則有一組數(shù)k1,k2,k3使a4=k1a1+k2a2+k3a3，而a1可以由a2和a3線性表示，從而有一組數(shù)l2,l3，使a1=l2a2+l3a3，從而有a4=k1(l2a2+l3a3)+k2a2+k3a3=(k1l2+k2)a2+(k1l3+k3)a3，所以a4能由a2和a3表示，因此有基礎解系，a2,a3,a4線性相關，矛盾

所以a4不能由a2和a3表示

題型四：與矩陣相關的向量組線性關系問題

用線性無關的定義及分塊矩陣的知識將問題轉化為熟悉的矩陣方陣問題

題型五：線性相關性常用結論證明

利用定義來討論向量組的線性相關性是一種常用方法

向量組的秩

一.最大無關組

若向量組A中能選出r個向量a1,a2,..,ar線性無關，而向量組A中任意r+1個向量（A中有r+1個向量）都線性相關，則a1,a2,...,ar稱為向量組A的一個最大線性無關向量組（最大無關組）

若a1,a2,...,ar是向量組A的一個部分組，且向量組a1,a2,...,ar線性無關，向量組A的任一向量都能由a1,a2,...,ar線性表示，則a1,a2,...,ar是向量組A的一個最大無關組

結論：

1.任意向量組都和它的最大無關組等價

2.同一向量組的任意兩個最大無關組等價

3.兩個等價的線性無關的向量組所含向量個數(shù)相同

4.一向量組的任一兩個最大無關組所含向量個數(shù)相同

5.線性無關向量組的最大無關組是它本身

注：向量組的最大無關組不是唯一的

二.向量組的秩、矩陣的秩

1.向量組的秩

向量組A的最大無關組所含向量的個數(shù)r稱為向量組A的秩

若向量組A的秩為r，則A中任意r個線性無感的向量均構成A的一個最大無關組，等價的向量組有相同的秩

2.矩陣的秩

矩陣的秩=列向量組的秩=行向量組的秩

任一矩陣的行秩與列秩相等

聯(lián)系：

若Dr是矩陣A的一個最高階非零子式，則Dr所在的r列即是A的列向量組的一個最大無關組，Dr所在的r行即是行向量組的一個最大無關組

3.向量組的線性表示與向量組的秩的關系

向量組b1,b2,...,bl能由向量組a1,a2,...,am線性表示的充分必要條件是R(a1,a2,...,am)=R(a1,...,am,b1,...,bl)

若向量組B能由向量組A線性表示，向量組B和A的秩分別表示為RB和RA，則RB<=RA

三.例題解析

題型一：求向量組的秩

矩陣的秩等于它的行向量組的秩，也等于它的列向量組的秩

一般使用反證法和定義法

向量組a1,a2,...,an的秩為r2，在其中任取m個向量β1,β2,...,βm，該向量組的秩為r1，則r1>=r2+m-n

題型二：向量組的秩與向量組的線性表示的關系

設n維列向量組a1,a2,...,am(m<n)線性無關，則n維列向量組b1,b2,...,bm線性無關的充分必要條件為矩陣A=(a1,a2,...,am)與矩陣B(b1,b2,...,bm)等價

討論n維度向量組a1,a2,...,as的線性相關性，將其轉化為方程組Ax=0是否有非零解，向量組a1,a2,...,as線性相關==Ax=0有非零解==R(A)<=min{n,s}

題型三：已知向量組的秩或線性關系討論未知參數(shù)

一般利用非齊次線性方程組有解則其系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等，或者利用最大無關組與原向量組等價的性質，將B由A線性表示這一條件，轉化為由A的最大無關組表示

線性方程組的解的結構

一.齊次線性方程組解的性質與結構

1.性質

若x1,x2為方程組Ax=0的解，則x1+x2也是Ax=0的解

若x為方程組Ax=0的解，k為任意實數(shù)，則kx也是Ax=0的解

2.基礎解系

齊次線性方程組的解集的最大無關組稱為該齊次方程組的基礎解系

設m×n的矩陣A的秩R(A)=r，則n元齊次線性方程組Ax=0的解集S的秩Rs=n-r，n元齊次線性方程組Ax=0的任意n-R(A)個線性無關的解都可構成它的基礎解系

3.通解

若X1,X2,..,Xn-r是Ax=0的基礎解系，則方程組Ax=0的任一解向量都可由X1,X2,...,Xn-r線性表示，且Ax=0的通解是k1X1+k2X2+...+Kn-rXn-r，其中k1,k2,...,kn-r是任意常數(shù)

二.非齊次線性方程解的性質與結構

1.性質

若X1,X2是非齊次線性方程組Ax=b的解，則X1-X2是對應的齊次線性方程組Ax=0的解

若X1是方程組Ax=b的解，X2是方程組Ax=0的解，則X1+X2是方程組Ax=b的解

2.通解

若X*是非齊次線性方程組Ax=b的特解，X1,X2,...,Xn-r是對應的齊次線性方程組Ax=0的基礎解系，則方程組Ax=b的任一解均可表示為以上的線性組合，且方程組Ax=b的通解為X*+X1+...+Xn-r，其中k1,k2,...,kn-r是任意常數(shù)

三.例題解析

題型一：求具體齊次線性方程組的解

解齊次線性方程組的一般步驟：

1.將系數(shù)矩陣化為行最簡矩陣

2.寫出同解方程組

3.確定未知量，找出基礎解系

4.寫出通解

題型二：由齊次線性方程組的性質確定齊次線性方程組的解

n元齊次線性方程組Ax=0的任意n-R(A)個線性無關的解都可構成它的基礎解系

題型三：求非齊次線性方程組的解

設三階矩陣A=(a1,a2,a3)有3個不同的特征值，且a3=a1+2a2，證明R(A)=2

設A的特征值為λ1,λ2,λ3，因為A有三個不同的特征值，所以A可以相似對角化，即存在可逆矩陣P，使得(P^-1)AP為三階矩陣

因為三個特征值兩兩不相同，則有R(A)>=2，又因為a3=a1+2a2，所以a1,a2,a3線性相關，因此R(A)<3，所以R(A)=2

若β=a1+a2+a3，求方程組Ax=β的通解

因為R(A)=2，所以Ax=0的基礎解系含一個線性無關的解向量

由a3=a1+2a2，可得一個基礎解系為(1,2,-1)T，所以Ax=0的通解為x=k(1,2,-1)T（k∈R）

由β=a1+a2+a3=A(1,1,1)T，可得Ax=β的一個特解為(1,1,1)T

所以Ax=β的通解為x=k(1,2,-1)T+(1,1,1)T（k∈R）

題型四：已知方程組的解，反求方程組

對于已知方程組的解反求原方程組的問題，首先應該搞明白方程組有多少個未知數(shù)，多少個方程

題型五：與方程組有關的應用

題型六：求解含參數(shù)的線性方程組

求解線性方程組最本質的思想是得到與原方程組同解的更簡單的方程組，從而求解

對系數(shù)矩陣作初等變換可保證同解性，即方程組Ax=β和PAx=Pβ（P可逆）是同解方程組，所以系數(shù)矩陣所作的初等行變換只能是初等行變換

向量空間

一.向量空間的相關概念

1.向量空間

若V是n維向量的非空集合，并且V對于向量的加法和數(shù)乘兩種運算封閉，則稱V是向量空間

封閉：若a∈V，b∈V，則a+b∈V，若a∈V，λ∈R，則λa∈V

2.解空間

齊次線性方程組的解集S={x|Ax=0}是一個向量空間，稱為齊次線性方程組的解空間

3.向量生成空間

由向量組a1,a2,...,am生成的向量空間為L={x=k1a1+k2a2+...+kmam|k1,k2,...,km∈R}

設V1是由向量組a1,a2,...,am生成的向量空間，V2是由向量組b1,b2,...,bn生成的向量空間，則(V1=V2)==向量組a1,a2,...,am與向量組b1,b2,...,bn等價

4.子空間

設有向量空間V1及V2，若V1是V2的子集，則稱V1是V2的子空間，任一由n維向量所組成的向量空間V都是R^n的子空間

5.向量空間的基

若向量空間V的r個向量a1,a2,...,ar滿足

（一）a1,a2,...,ar線性無關

（二）V中任一向量都可由a1,a2,...,ar線性表示，則向量組a1,a2,...,ar稱為向量空間的一個基，r稱為向量空間的維數(shù)，并稱V為r維向量空間

如果V是由向量組a1,a2,...,as生成的向量空間，則V的維數(shù)等于向量組a1,a2...,as的秩，向量組a1,a2,...,as的一個最大無關組是V的一個基

6.坐標

若a1,a2,...,ar是r維向量空間V的一個基，則V中任一向量x可唯一表示為x=k1a1+k2a2+...+krar，數(shù)組k1,k2,...,kr稱為向量x在基a1,a2,...,ar的坐標

一般在R^n中取單位坐標向量e1,e2,...,en為基，則任一向量x=(x1,x2,...,xn)=x1e1+x2e2+...+xnen

二.過度矩陣

此處介紹三維

R^3中的基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的基變換公式為(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)P，若記A=(a1,a2,a3)，B=(b1,b2,b3)，則P=(A^-1)B為從基a1,a2,a3到基b1,b2,b3的過渡矩陣

令P^-1=B^-1A，則任一向量在a1,a2,a3下的坐標y到其在b1,b2,b3下的坐標z的坐標變換公式為z=P-1y

注：過渡矩陣一定是可逆的

三.例題解析

題型一：判斷向量集合是否構成向量空間

驗證向量集合是向量空間需首先驗證集合非空，再驗證加法和數(shù)乘封閉即可

題型二：涉及基于坐標的問題

一般利用矩陣取逆來求坐標，也可將β=x1a1+x2a2+...+xrar寫成線性方程組，再解出x1,x2,...,xr的值

由向量組A生成的向量空間的維數(shù)等于向量組A的秩

題型三：求過渡矩陣

解題時利用逆矩陣和初等行變換

知識總結

一.關于判斷向量組線性相關性的小結

給出向量組a1,a2,...,an，判斷其是否線性相關主要利用定義，利用矩陣的秩，利用行列式，利用向量組的等價性

1.定義法

假設有一組數(shù)k1,k2,...,kn，使k1a1+k2a2+...+knan=0成立，若k1,...,kn全為零，則a1,a2,...,an線性相關

2.矩陣秩法

求矩陣A=(a1,a2,...,an)的秩，當R(A)=n時，a1,a2,...,an線性無關，當R(A)<n時，a1,a2...,an線性相關

3.行列式法

向量組的個數(shù)與向量組的維數(shù)相同時（方陣）可利用行列式來判斷其線性相關性，當|A|=|a1,a2,...,an|=0時，向量組a1,a2...,an線性相關，當|A|=|a1,a2,...,an|!=0時，向量組a1,a2...,an線性無關

4.等價性

找一個與向量組a1,a2,...,an等價的并且比較容易判定線性相關性的新向量組，討論新向量組的線性相關性，從而可判斷向量組a1,a2,...,an的線性相關性

二.關于求向量組的秩的小結

求向量組的秩通常利用初等變換、利用向量組的等價性、利用向量組秩的定義等方法

1.初等變換法

給定向量組a1,a2,...,an，可將它們組成的矩陣作初等變換化成行階梯型矩陣后可判斷其秩

2.等價性

找出一個與向量組等價的新向量組，因為等價的向量組有相同的秩，新向量組的秩即等于原向量組的秩

3.定義法

找出向量組的一個最大線性無關組，其向量個數(shù)就是向量組的秩

三.關于求向量組的最大無關組的小結

1.利用初等變換求向量組的最大無關組

2.逐一選擇求向量組的最大無關組

四.關于向量空間的基和維數(shù)的小結

向量空間是對于向量的加法和數(shù)乘都封閉的特殊的向量組，將向量空間視為向量組，則向量空間的基和維數(shù)分別對應向量組的最大無關組和秩，向量空間的基并不是唯一的，即在一個向量空間中可能找出多組基

五.關于線性方程的小結

1.齊次線性方程組Ax=0的解的集合構成一個向量空間稱為解空間，其基礎解系實際上就是解空間的一個基，方程組Ax=0的每一個解都可由其基礎解系線性表示

2.非齊次線性方程組Ax=b的任一解都可由Ax=b的一個特解和對應的方程組Ax=0的某一解表示，只要找到Ax=0的通解和Ax=b的特解就可得到Ax=b的通解

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