線性代數(shù)：齊次線性方程組學習筆記
一、定義
齊次線性方程組是指所有方程的常數(shù)項均為零的線性方程組，即形如 A x = 0 Ax=0 Ax=0 的方程組。
其中，矩陣 A A A 是一個 m × n m \times n m×n 的矩陣，向量 x x x 是一個 n n n 維列向量， 0 \mathbf{0} 0 是一個 m m m 維零向量。
二、性質
齊次線性方程組有以下性質：
1. 性質1
齊次線性方程組的解集合是一個子空間。
2. 性質2
如果齊次線性方程組有非零解，則它有無窮多個解。
3. 性質3
如果矩陣 A A A 的秩等于 n n n，則齊次線性方程組僅有零解。
4. 性質4
對于任意的 m × n m \times n m×n 矩陣 A A A 和任意的 n n n 維列向量 b b b，其增廣矩陣 [ A b ] \begin{bmatrix} A & b \end{bmatrix} [A?b?] 的秩等于矩陣 A A A 的秩或者比矩陣 A A A 的秩小 1 1 1。
三、求解
對于齊次線性方程組 A x = 0 Ax=0 Ax=0，我們可以通過以下步驟求解：
1. 構造增廣矩陣
將矩陣 A A A 和零向量 0 \mathbf{0} 0 拼接成一個 m × ( n + 1 ) m \times (n+1) m×(n+1) 的增廣矩陣 [ A 0 ] \begin{bmatrix} A & \mathbf{0} \end{bmatrix} [A?0?]。
2. 高斯消元
對增廣矩陣進行高斯消元，化為階梯形矩陣或行最簡形矩陣。
3. 求解基礎解系
如果階梯形矩陣或行最簡形矩陣中存在形如 [ 0 1 a 1 a 2 ? a n ? k ] \begin{bmatrix} \mathbf{0} & 1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-k} \end{bmatrix} [0?1?a1??a2????an?k??] 的行，則 x k + 1 = ? a 1 x k + 2 ? a 2 x k + 3 ? ? ? a n ? k x n x_{k+1}=-a_1 x_{k+2}-a_2 x_{k+3}-\cdots-a_{n-k} x_n xk+1?=?a1?xk+2??a2?xk+3????an?k?xn?，其中 x k + 2 , x k + 3 , … , x n x_{k+2},x_{k+3},\ldots,x_n xk+2?,xk+3?,…,xn? 是自由變量。因此，齊次線性方程組的通解為
x = c 1 v 1 + c 2 v 2 + ? + c k v k x=c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_k \mathbf{v}_k x=c1?v1?+c2?v2?+?+ck?vk?
其中， v 1 , v 2 , … , v k \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\ldots,\mathbf{v}_k v1?,v2?,…,vk? 是矩陣 A A A 的基礎解系， c 1 , c 2 , … , c k c_1,c_2,\ldots,c_k c1?,c2?,…,ck? 是任意常數(shù)。
如果階梯形矩陣或行最簡形矩陣中不存在自由變量，則齊次線性方程組的唯一解為零解。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-806959.html
四、應用
齊次線性方程組在計算機圖形學、數(shù)據(jù)降維和機器學習等領域有著廣泛的應用。例如：文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-806959.html
- 計算機圖形學：用于計算旋轉、縮放、平移等幾何變換矩陣。
- 數(shù)據(jù)降維：用于通過主成分分析等方法對高維數(shù)據(jù)進行降維。
- 機器學習：用于求解線性回歸、邏輯回歸等模型參數(shù)。
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