隨機變量

在相同的條件下，如果每次試驗可能出現(xiàn)這樣或那樣的結(jié)果，我們對隨機事件進行數(shù)量化，用?X?表示所有可能的事件，也就是說?X?可以有不同的取值，用?P(X)?表示?X?取不同的值時對應(yīng)事件發(fā)生的概率，如果我們把?P(X)?稱作概率函數(shù)（probability function），那么這里的?X?就稱為概率函數(shù)?P(X)?的隨機變量（random variable）。

下面是一些隨機變量的例子：

1. 擲一顆骰子，出現(xiàn)的點數(shù)是一個隨機變量。
2. 檢查100件產(chǎn)品，殘次品的數(shù)量是一個隨機變量。
3. 某電商網(wǎng)站今年的銷售額是一個隨機變量。

簡單的說，隨機變量的值是需要通過試驗來進行確認(rèn)的。隨機變量根據(jù)其值是否可列分為：

• 離散型隨機變量（discrete random variable）：隨機變量?X?所有的取值可以逐個列出，例如：一批產(chǎn)品中取到殘次品的個數(shù)、客服系統(tǒng)單位時間內(nèi)收到電話呼叫的次數(shù)等。
• 連續(xù)型隨機變量（continuous random variable）：隨機變量?X?所有的取值無法逐個列出，例如：一批電子元器件的壽命、測量誤差等。

說明：如果離散型隨機變量的取值非常龐大時，可以近似看做連續(xù)型隨機變量。

如上圖2所示，由于連續(xù)型隨機變量可以取某個區(qū)間或整個實數(shù)軸上任意的值，我們不能夠像離散型隨機變量那樣列出每一個值及其對應(yīng)的概率，我們可以定義概率密度函數(shù)（probability density function）和分布函數(shù)（distribution function）來描述其概率。概率密度函數(shù)滿足以下兩個條件：

(1)f(x)≥0(2)∫?∞+∞f(x)dx=1需要注意的是，?f(x)?并不是一個概率，在指定范圍對?f(x)?進行積分的結(jié)果才是概率，例如隨機變量?X?取值在?a?和?b?之間的概率是：

(3)P(a<X<b)=∫abf(x)dx對于連續(xù)型隨機變量，由于不可能去羅列出每一個值出現(xiàn)的概率，為此我們需要引入分布函數(shù)的概念，如下所示：(4)F(x)=P{X≤x}=∫?∞xf(t)dt如果將?X?看成是數(shù)軸上的隨機坐標(biāo)，上面的分布函數(shù)表示了?X?落在區(qū)間?(?∞,x)?中的概率。很顯然，分布函數(shù)有以下性質(zhì)：

1. F(x)?是一個單調(diào)不減的函數(shù)；
2. 0≤F(x)≤1?，且?F(?∞)=limx→?∞F(x)=0?，?F(∞)=limx→∞F(x)=1?；
3. F(x)?是右連續(xù)的。

按照分布函數(shù)的定義，上面的?P(a<X<b)?也可以寫成：(5)P(a<X<b)=F(b)?F(a)期望和方差

為了全面了解隨機變量?X?的概率性質(zhì)，最好的情況是知道?X?的概率分布。但在現(xiàn)實問題中，?X?的概率分布往往不好確定，但是在很多場景下，我們也不需要了解?X?所有的概率性質(zhì)，只需要知道它某些數(shù)字特征就夠了。在隨機變量的各種數(shù)字特征中，最為重要的就是（數(shù)學(xué)）期望和方差。

• 期望：表示隨機變量平均水平或集中程度的數(shù)字特征，是隨機變量按照概率的加權(quán)平均值，記為?E(X)?。
  • 對于離散型隨機變量?X?，若?∑i=1∞xipi?收斂，那么它就是隨機變量?X?的期望。
    (6)E(X)=∑i=1∞xipi
  • 對于連續(xù)型隨機變量?X?，其概率密度函數(shù)為?f(x)?，若?∫?∞∞xf(x)dx?收斂，那么它就是隨機變量?X?的期望(7)E(x)=∫?∞∞xf(x)dx
• 方差：方差是表示隨機變量變異程度或離散程度的數(shù)字特征，它是隨機變量與其數(shù)學(xué)期望離差的平均水平。對于隨機變量?X?，若?E[X?E(X)]2?存在，則稱?E[X?E(X)]2?為?X?的方差，常用記為?D(X)?或?Var(X)?。
  • 離散型隨機變量?X?的方差：
    (8)Var(X)=∑i=1∞[xi?E(X)]2pi
  • 連續(xù)型隨機變量?X?的方差：(9)Var(X)=∫?∞∞[x?E(X)]2f(x)dx
• 期望與方差的性質(zhì)：
  • 對于任意兩個隨機變量?X1?和?X2?，則有?E(X1+X2)=E(X1)+E(X2)?。
  • 若?X?是隨機變量，?a?和?b?是任意常量，則有?E(aX+b)=aE(X)+b?和?Var(aX+b)=a2Var(X)?。
  • 若隨機變量?X1?和?X2?獨立，則有?Var(X1+X2)=Var(X1)+Var(X2)?。

離散型隨機變量的分布

• 伯努利分布（Bernoulli distribution）：又名兩點分布或者0-1分布，是一個離散型概率分布。若伯努利試驗（只有兩種可能結(jié)果的單次隨機試驗）成功，則隨機變量取值為1。若伯努利試驗失敗，則隨機變量取值為0。記其成功概率為?p(0≤p≤1)?，則失敗概率為?1?p?，則概率質(zhì)量函數(shù)為：
  (10)P(X=k)=pk(1?p)1?k={p(k=1)1?p(k=0)
• 二項分布（binomial distribution）：二項分布描述了?n?重伯努利試驗中，如果每次試驗成功的概率為?p?，正好有?k?次成功的概率分布。一般地，如果隨機變量?X?服從參數(shù)為?n?和?p?的二項分布，記為?X～B(n,p)?，其概率質(zhì)量函數(shù)為：
  (11)P(X=k)=(nk)pk(1?p)n?k
  注意：上面提到的 n 重伯努利試驗需要滿足以下要求：①試驗的結(jié)果只有兩種：成功或失?。虎谠囼灥慕Y(jié)果是獨立的，彼此不影響；③試驗重復(fù)次數(shù)是固定的n；④每次試驗成功的概率都是p。在上面的公式中，?(nk)?表示?n?選?k?的組合數(shù)，國內(nèi)的教科書通常記為?Cnk?，計算公式為?n!k!(n?k)!?。Python中，可以通過math模塊的comb函數(shù)計算組合數(shù)的值；可以通過三方庫 numpy 中的random.binomial函數(shù)產(chǎn)生二項分布的隨機數(shù)；可以通過三方庫 scipy 中的stats.binom.pmf函數(shù)計算二項分布的概率。Excel 中，可以通過BINOM.DIST函數(shù)計算二項分布的概率。

很顯然，伯努利分布就是二項分布在?n=1?時的特例。二項分布的期望和方差分別是：(12)E(X)=npVar(X)=np(1?p)

• 泊松分布（Poisson distribution）：泊松分布通常用來描述指定的時間范圍或指定的面積（體積）內(nèi)隨機事件發(fā)生次數(shù)的概率分布，例如：某臺服務(wù)器在一定時間內(nèi)接收到服務(wù)請求的次數(shù)、單位時間內(nèi)汽車站臺的候客人數(shù)、某種機器每月出現(xiàn)故障的次數(shù)、某區(qū)域每年發(fā)生自然災(zāi)害的次數(shù)、DNA序列的變異數(shù)、放射性原子核的衰變數(shù)、保險公司每天收到死亡聲明的份數(shù)等。泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)如下所示：
  (13)P(X=k)=e?λλkk!其中，參數(shù)?λ?是單位時間或單位面積（體積）內(nèi)事件的平均值。

說明：上面兩張圖都來自于維基百科，我們也可以用 Python 的三方庫 matplotlib 來繪制上面的圖形，需要代碼的小伙伴可以在評論區(qū)留言。

泊松分布的期望和方差分別為：

(14)E(X)=λVar(X)=λ

說明：在沒有計算機的年代，由于二項分布的運算量太大，為了減少運算量，數(shù)學(xué)家們通常用泊松分布作為二項分布的近似。當(dāng)二項分布的?n?很大，?p?很小的時候，我們可以令?λ=np?，然后用泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)計算概率來近似二項分布的概率。例如：某批集成電路的次品率為0.15%，隨機抽取1000塊該集成電路，求次品數(shù)分別為0、1、2、3、4、5的概率。很顯然，這里提到的場景是一個?n?重伯努利試驗，由于?n=1000?，?p=0.0015?，可以用泊松分布做近似，這里大家也能夠很直觀的感受到泊松分布的計算量是遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于二項分布的，下面的表格是二項分布和泊松分布結(jié)果的對照。

說明：使用 Python 語言，可以通過三方庫 scipy 中的 stats.poisson.pmf函數(shù)計算泊松分布的概率。Excel 中，可以通過 POISSON.DIST函數(shù)計算泊松分布的概率。

• 幾何分布（geometric distribution）：幾何分布通常用來描述在伯努利試驗中，獲得一次成功需要的試驗次數(shù)。如果每次試驗成功的概率為?p?，那么?k?次試驗，第?k?次才得到的成功的概率是：?P(X=k)=(1?p)k?1p?，其中?k=1,2,3,??。若隨機變量?X?服從參數(shù)為?p?的幾何分布，則記為?X～G(p)?。

幾何分布的期望和方差分別為：

(15)E(X)=1pVar(X)=1?pp2

例子

下面，我們通過一些例子來展示，如何在特定場景下利用上面的概率質(zhì)量函數(shù)完成概率計算。

例1：已知某城市餐飲行業(yè)首年的生存率為20%，假設(shè)今年有15家餐館開業(yè)，問1年后至少有4家餐館存活下來的概率是多少？

可以簡單評估一下，存活下來的餐館數(shù)量應(yīng)該是一個二項分布的隨機變量。現(xiàn)在已知?n=15,p=0.2，我們可以通過下面的公式來計算題目要求的概率(16)P(X≥4)=1?P(x<4)=1?∑k=03Cnkpk(1?p)n?k=1?∑k=03C15i×0.2i×0.815?i≈1?0.6482≈0.3518

提示：使用 Python 語言，可以利用三方庫 scipy 的 stats模塊來完成上面的計算，執(zhí)行 stats.binom.cdf(3, n=15, p=0.2)可以得到0.6482，其中 cdf函數(shù)是 cumulative distribution function的縮寫，允許我們設(shè)定隨機變量的值以及二項分布的參數(shù)?n?和?p?，來計算累積概率分布。

例2：一個賭博游戲，每局獲勝的概率是10%，玩家需要玩多少次才能大概率（95%的概率）保證贏一次？（專欄導(dǎo)讀中“有趣的概率問題”中的第9題）

題目要求的隨機變量?X?服從幾何分布，如果希望95%的概率獲勝一次，也就意味著：(17)P(X≤k)=1?P(X>k)=1?(1?p)k≥0.95我們將?p=0.1?代入上面的不等式，得到?k>28?，即玩家需要玩29次才能大概率保證贏一次，這個結(jié)果是不是顛覆了你的認(rèn)知。同理，如果面試獲得offer的概率是50%，如果要以95%的概率獲得offer，至少需要面試5次。但是，如果我們通過提升自己的綜合職業(yè)素養(yǎng)，讓面試成功獲得offer的概率提升到78%，這個時候面試2次就有95%以上的概率能獲得offer。就找工作這個事情而言，幾何分布告訴我們，成功獲得offer的秘密就是要么你得多約面試，要么你得提升自己的綜合職業(yè)素養(yǎng)，前者得靠自己，后者的話我可以幫到你，這也是我現(xiàn)在正在從事的工作。

提示：使用 Python 語言，可以利用三方庫 scipy 的 stats模塊來完成上面的計算，執(zhí)行 stats.geom.ppf(0.95, 0.1)可以得到29，其中 ppf函數(shù)是 percent point function的縮寫，允許我們設(shè)定累積分布概率和試驗成功的概率來獲得隨機變量的值。

例3：假設(shè)一個公司門口有10個停車位，該公司有100名員工上班，每名員工早上8點鐘之前開車來上班的概率是10%，這些人每天什么時候來公司是隨機的，而且彼此無關(guān)，也不存在頭一天來晚了沒有搶到車位第二天就早到的可能性。問早上8點整開車到了公司，停車場還有車位的概率是多少？

按照題目所述，停車場一共有10個車位，那就意味著早上8點以前，只要停車場停車的數(shù)量為0到9，8點整開車到公司就是有車位的。停車場在早上8點以前有多少量車是一個服從泊松分布的隨機變量，我們令?λ=np?，其中?n?是員工的數(shù)量，?p?是8點鐘以前開車來上班的概率，因此?λ=100×0.1=10?。接下來，我們可以用下面的公式計算出題目中的概率：

(18)∑k=09P(X=k)=∑k=09e?λλkk!=∑k=09e?1010kk!=0.4579

提示：使用 Python 語言，可以利用三方庫 scipy 的 stats模塊來計算泊松分布的累積概率，執(zhí)行 stats.poisson.cdf(9, 10)就可以得到0.4579。

如果我們希望把上面的概率提高到0.9，也就是說早上8點整開車到公司會大概率有車位，停車場需要大規(guī)模擴容嗎？利用上面的公式，我們可以計算出，在其他條件不變的情況下，當(dāng)停車場有15個車位時，這個概率就會大于0.9。

連續(xù)型隨機變量的分布

在眾多連續(xù)型隨機變量中，最重要的一種隨機變量其概率密度函數(shù)呈現(xiàn)鈴鐺形狀。我們把這種隨機變量稱之為正態(tài)隨機變量，相應(yīng)的概率分布稱為正態(tài)分布（normal distribution）或高斯分布（Gaussian distribution）。正態(tài)分布經(jīng)常用于自然科學(xué)和社會科學(xué)中來代表一個分布不明的隨機變量，事實上，如果一個隨機變量的值受到諸多因素的影響，但是每個因素的影響又非常有限，那么該隨機變量最終會呈現(xiàn)出正態(tài)分布。這一點，從定性的角度可以通過伽爾頓板試驗來得到驗證，如下圖所示。

伽爾頓板為一塊豎直放置的板，上面有交錯排列的釘子。讓小球從板的上端自由下落，當(dāng)其碰到釘子后會隨機向左或向右落下。最終，小球會落至板底端的某一格子中。假設(shè)板上共有?n?排釘子，每個小球撞擊釘子后向右落下的概率為?p?（如果向左向右的概率相同，?p?的取值為0.5），那么小球落入下方第?k?個格子概率服從上面講過的二項分布，其概率值為?(nk)pk(1?p)n?k?。此時，將大量小球落至格中，格子中的小球數(shù)量將呈現(xiàn)出正態(tài)分布的鈴鐺型曲線。這里，小球落入不同的格子相當(dāng)于隨機變量取到不同的值，而釘子就是影響隨機變量值的因素，小球落入哪個格子受到了多行釘子的影響，不管做多少次這樣的試驗，最終格子中小球的數(shù)量都呈現(xiàn)出正態(tài)分布的輪廓。

如果隨機變量 X 的概率密度函數(shù)為：

(19)f(x)=12πσe?(x?μ)22σ2

則稱?X?服從正態(tài)分布，記為?X～N(μ,σ2)?，其中?μ?是正態(tài)分布的位置參數(shù)，它決定了概率密度曲線對稱軸的位置；?σ?是正態(tài)分布的形狀參數(shù)，它決定了概率密度曲線的陡緩程度，如下圖所示。

當(dāng)正態(tài)分布的兩個參數(shù)?μ=0?，?σ=1?時，有：

(20)f(x)=12πe?x22我們將這樣的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standard normal distribution）。一個普通的正態(tài)分布可以通過下面的線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，這樣的話就可以通過查表的方式解決正態(tài)分布的概率計算問題，在計算機技術(shù)普及之前，這一點是相當(dāng)重要的。

(21)Z=X?μσ～N(0,1)

說明：今天由于計算機的普及，上面的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布速查表就沒有那么重要了。如果你使用 Python語言，可以通過三方庫 scipy 中的 stats.norm.pdf函數(shù)計算正態(tài)分布的概率。Excel 中，可以通過 NORM.DIST函數(shù)計算正態(tài)分布的概率，可以通過 NORM.S.DIST計算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率。

根據(jù)“棣莫弗-拉普拉斯積分定理”，假設(shè)?μn(n=1,2,?)?表示?n?重伯努利試驗中成功的次數(shù)，已知每次試驗成功的概率為?p，有：

(22)limn→∞P{μn?npnp(1?p)≤x}=12π∫?∞xe?t22dt該定理表明正態(tài)分布是二項分布的極限分布，這也是為什么說概率統(tǒng)計是建立在拋硬幣試驗基礎(chǔ)上的最佳佐證。

68-95-99.7法則

提到正態(tài)分布，就必須說一下“3?σ?法則”，該法則也稱為“68-95-99.7法則”，如下圖所示。

說明：上面兩張圖也來自于維基百科，很多講解正態(tài)分布的文章和視頻都引用了這些圖。

對于隨機變量?X～N(μ,σ2)?，上面的圖也可以用下面的公式來表示：

(23)P(μ?σ<X<μ+σ)≈0.68P(μ?2σ<X<μ+2σ)≈0.95P(μ?3σ<X<μ+3σ)≈0.997簡單的說，對于一個正態(tài)分布的隨機變量，幾乎所有（99.7%）的值都會在均值（?μ?）正負(fù)三個標(biāo)準(zhǔn)差（?σ?）的范圍內(nèi)。換句話說，如果我們認(rèn)為某個數(shù)據(jù)來自于一個正態(tài)總體，那么它的值應(yīng)該以極大的概率位于?[μ?3σ,μ+3σ]?范圍或以較大概率位于?[μ?2σ,μ+2σ]?范圍。如果數(shù)據(jù)不在這個范圍，我們就有足夠的理由懷疑它并非來自于該正態(tài)總體，這一點對于我們后面要講的假設(shè)檢驗非常重要。生產(chǎn)中的質(zhì)量檢驗和過程控制也利用了這一思想，有興趣的讀者可以了解一下風(fēng)靡全球的六西格瑪質(zhì)量管理體系。在這種質(zhì)量管理體系下，產(chǎn)品的合格率要達(dá)到99.9999998%，即殘次率僅為十億分之二；即便考慮到1.5?σ?的漂移（由于隨機因素的影響，實際結(jié)果偏離理論值的情況），殘次率也僅為百萬分之3.4，即100萬個產(chǎn)品中有缺陷的產(chǎn)品不到4個。

我們再來講一個大學(xué)英語四六級考試的例子，英語四六級考試的成績并不是你卷面的原始分，而是經(jīng)過處理之后的標(biāo)準(zhǔn)分。處理的方式是將所有人的考試成績轉(zhuǎn)化成一個?μ=500,σ=70?的正態(tài)分布，通過這個標(biāo)準(zhǔn)分你就能知道你的成績在所有考生中所處的位置。很多學(xué)校設(shè)置的425分的合格線大致位于?μ?σ?的位置，通過上圖可以看出，只要你的成績大約超過了16%的考生，也就達(dá)到了合格的水平。這個要求其實并不高，只是很多人不明白學(xué)習(xí)英語的重要性，甚至以“愛國”來掩飾自己不重視英語的事實，這才導(dǎo)致了自己連16%這個水平都達(dá)不到。當(dāng)然，每年考試也有不少人的成績會超過640分，640分位于?μ+2σ?的位置，雖然這個成績在很多學(xué)霸眼里不算什么，但已經(jīng)是全國前2.5%的水平。美國紐約有一家對沖基金投資公司，這家公司非常擅長使用人工智能、機器學(xué)習(xí)、分布式計算等技術(shù)手段來進行投資策略的管理，它的名字叫?Two Sigma。這家公司的創(chuàng)始人之一大衛(wèi)·賽格（David Siegel）是 MIT 的計算機博士，妥妥的 IT 技術(shù)男；而公司的名字據(jù)說是為了反映 Sigma 這個詞的雙重性，小寫的?σ?指的是投資回報率相對于給定基準(zhǔn)?μ?的波動性，而大寫的?Σ?是指總的收益。當(dāng)然，很多人更愿意相信，Two Sigma 這個名字是暗示基金的表現(xiàn)要達(dá)到?μ+2σ?這個水準(zhǔn)，也就是近乎“百里挑二”的水平。

小結(jié)

最后我們留下兩個小問題，大家可以思考一下，然后想想計算出的結(jié)果跟你平常的認(rèn)知是不是有很大的出入。

1. 假設(shè)一架波音或空客的飛機是由50000個零件組成的，每個零件的可靠性是99.99%，在這樣的品控下組裝的飛機你敢去坐嗎？（事實上，目前還有不少企業(yè)和它們的管理者對99.99%的可靠性感到非常樂觀，這是多么可怕的事情?。?/li>
2. 如果你去玩搖骰子押大小的賭博游戲，如果已經(jīng)連續(xù)開出了20次大，下一次你要不要梭哈，把所有的錢全部押小？（很多人對“隨機”二字的理解都是有問題的，所以才會出現(xiàn)著名的賭徒謬誤?。?/li>

另外，如果你熟悉 Excel 或 Python 語言，很多概率計算的問題都可以交給它們?nèi)ヌ幚恚F(xiàn)在概率統(tǒng)計的教科書也不需要再像我們當(dāng)前那樣，在附錄的部分放上各種各樣的概率速查表。計算機以及人工智能的出現(xiàn)都是為了將人類從繁瑣乏味的勞動中解放出來，對于這樣的工具我們不應(yīng)該感到焦慮，而是要用好它們來解放自己，讓自己有更多的時間和精力去進行創(chuàng)造性的勞動。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-856597.html

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