目錄

一、二維隨機(jī)變量及其分布

1、二維隨機(jī)變量

2、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)

3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)

二、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性

三、二維均勻分布和二維正態(tài)分布

二維均勻分布

二維正態(tài)分布

四、二個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布

X、Y均為離散型隨機(jī)變量：

X、Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量：

X為離散型隨機(jī)變量，Y為連續(xù)型隨機(jī)變量：

Z=max{X,Y}的分布：轉(zhuǎn)為小于等于號(hào)? ? P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}

Z=min{X,Y}的分布：轉(zhuǎn)為大于號(hào)? ?P{min{X,Y}＞z}=P{X＞z,Y＞z}=P{X＞z}P{Y＞z}

必考：二維兩個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的條件概率密度；兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布；

一、二維隨機(jī)變量及其分布

1、二維隨機(jī)變量

●設(shè)X、Y是樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量(X,Y)為二維隨機(jī)變量 /隨機(jī)向量。

●二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù) /隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)：

●分布函數(shù)F(x,y)的性質(zhì)：

●二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布：

、

邊緣分布和二維隨機(jī)變量分布函數(shù)的關(guān)系：

●在條件Y=y下X的條件分布，記作：

?在條件X=x下Y的條件分布，記作：

2、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)

摘要：定義—概率分布(性質(zhì))—邊緣分布(與概率分布的關(guān)系)—條件分布

●二維離散型隨機(jī)變量的定義：滿足條件→稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量。

●二維概率分布/分布律：

也可用表格形式表示：（習(xí)慣把x1、x2…豎著寫，把y1、y2…橫著寫）

●二維概率分布pij的性質(zhì)：

(概率大于0)

(概率之和等于1)

●(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布：

邊緣分布pi·和p·j與二維概率分布pij的關(guān)系：

pi·= P{X=xi} =pi1+pi2+……+pin；? ??確定X=xi，Y可取任意值，

p·j= P{Y=yj} =p1j+p2j+……+pnj? ? ? ??確定Y=Yj，X可取任意值，

（eg.確定X=x1,即i=1，p1·= P{X=1} =p11+p12+…+p1n）

（eg.確定Y=Y1,即j=1，p·1= P{Y=1} =p11+p21+…+pn1）

●若P{Y=yj＞0}，則有在條件Y=yj下X的條件分布：

3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)

摘要：定義—概率密度(性質(zhì))—邊緣密度—條件密度

●二維連續(xù)型隨機(jī)變量的定義：滿足條件→稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量。

●二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度 /隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度：f(x,y)

●概率密度f(x,y)的性質(zhì)：

(概率密度大于0；

概率密度在-∞→+∞上積分等于1；

求(X,Y)落在某區(qū)域的概率，可以轉(zhuǎn)化為在區(qū)域D上對(duì)概率密度的二重積分)

★概率密度的性質(zhì)(3)每年必考！

●(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣密度：

注意分別是對(duì)y積分和對(duì)x積分，被積函數(shù)是概率密度f(x,y)，積分區(qū)間是-∞→+∞

●若fY(y)＞0，則有在條件Y=y下X的條件密度：

★fY(y)＞0是條件密度fX|Y(x|y)成立的重要條件，經(jīng)?？迹浝?！

同理，fX(x)＞0是條件密度fY|X(y|x)成立的重要條件。

小總結(jié)：連續(xù)型隨機(jī)變量

★與分布函數(shù)F(x,y)相關(guān)的積分，積分區(qū)間一般為 -∞→x和?-∞→y

原因是

eg.一維隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)的計(jì)算公式：

eg.二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)的計(jì)算公式：

★與概率密度f(x,y)相關(guān)的積分，積分區(qū)間一般為 -∞→+∞

原因是概率密度的性質(zhì)，在-∞→+∞上對(duì)概率密度f(x,y)積分結(jié)果是1（全部的概率之和為1）

eg.一維隨機(jī)變量X的概率密度f(x)的性質(zhì)：

eg.二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y)的性質(zhì)：

★易記錯(cuò)的公式：

二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度：

和關(guān)于Y的邊緣密度：。分別是對(duì)y積分和對(duì)x積分，被積函數(shù)是概率密度f(x,y)，積分區(qū)間是-∞→+∞。

推導(dǎo)過程：

題型：求二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X,Y)的邊緣密度

★(1)小題步驟：

1、由0＜y＜x＜1畫分區(qū)圖，找出概率密度不為0的區(qū)域(方便后續(xù)對(duì)概率密度的積分和確定積分區(qū)間)，和概率密度為0的區(qū)域

2、邊緣密度公式——、

3、等號(hào)寫在哪——可以先模糊分區(qū)，最后再看端點(diǎn)加等號(hào)

關(guān)鍵分析：

由于邊緣密度是對(duì)概率密度f(x,y)的定積分，而非零概率密度f(x,y)只在0＜y＜x＜1平面上取到。除此以外的部分概率密度f(x,y)都為0，自然邊緣密度也都為0。

所以求邊緣密度時(shí)只考慮在0＜y＜x＜1平面上的積分即可：

邊緣密度fX(x)是對(duì)y積分，定積分上下限由y的取值范圍確定

——由非零概率密度的區(qū)域0＜y＜x＜1推得0＜y＜x——y的積分區(qū)間為0→x

邊緣密度fY(y)是對(duì)x積分，定積分上下限由x的取值范圍確定

——由非零概率密度的區(qū)域0＜y＜x＜1推得y＜x＜1——x的積分區(qū)間為y→1

★(2)小題步驟：

1、先求出條件。由邊緣密度fY(y)＞0時(shí)→ 0＜y＜1時(shí)，才有條件密度fX|Y(x|y)存在。

2、將計(jì)算出的邊緣密度fY(y)和聯(lián)合密度f(x,y)代入條件密度公式。這里注意題干中聯(lián)合密度f(x,y)的分區(qū)：0＜y＜x＜1和其他，要照抄！

綜合題：2013數(shù)三真題

第(1)題值得好好思考，思路很繞，一定要想清晰了！

二、二維隨機(jī)變量的獨(dú)立性

定義：隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立：

離散型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立? 二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布=兩個(gè)邊緣分布相乘?pij=pi·p·j

連續(xù)型隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立? 二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度=邊緣密度相乘 f(x,y)=fX(x) fY(y)

題型：設(shè)X和Y相互獨(dú)立，已知(X,Y)的聯(lián)合分布部分?jǐn)?shù)值，求剩余數(shù)值p21

關(guān)鍵：pij=pi·p·j，

(X,Y)關(guān)于X的邊緣分布：p1·= P{X=1} =p11+p12+……+p1n? ??確定X=x1,即i=1,Y可取任意值

(X,Y)關(guān)于Y的邊緣分布：p·1= P{Y=1} =p11+p21+……+pn1? ? ?確定Y=Y1,即j=1,X可取任意值

題型：已知離散型二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布，判斷X與Y是否相互獨(dú)立

?

★題型：給定分布，求概率P{X≥Y}

?

三、二維均勻分布和二維正態(tài)分布

二維均勻分布

定義

性質(zhì)

★關(guān)鍵：

1、分區(qū)要準(zhǔn)確！

(X,Y)的聯(lián)合密度f(x,y)，根據(jù)x、y的取值情況分類

(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度fX(x)，根據(jù)x的取值分類

在X=x條件下Y的條件密度fY|X(y|x)，根據(jù)y的取值分類

2、積分上下限要準(zhǔn)確！

邊緣密度fX(x)是對(duì)y積分，定積分上下限由y的取值范圍確定——由非零概率密度的區(qū)域x^2+y^2≤1推得y^2≤1-x^2——積分區(qū)間為：→。

?3、對(duì)端點(diǎn)特別小心！

（2）求條件密度，條件密度fY|X(y|x)成立的條件是fX(x)＞0。查閱(1)中求的fX(x)，可以推出fX(x)＞0時(shí)，-1＜x＜1。千萬注意端點(diǎn)！這里取不到端點(diǎn)！

---

比較下面這個(gè)題，只能取到一邊端點(diǎn)：

?可以推出fY(y)＞0時(shí)，0 ≤ y＜2。這里只能取到一個(gè)端點(diǎn)！

二維正態(tài)分布

定義

?性質(zhì)

?(X,Y)符合二維正態(tài)分布，則其邊緣分布一定也是正態(tài)。

由?(X,Y)符合二維正態(tài)分布→X、Y都符合正態(tài)分布，

但是由X、Y都符合正態(tài)分布推不出?(X,Y)符合二維正態(tài)分布。

要再加一個(gè)條件，只有當(dāng)X、Y都符合正態(tài)分布，且X與Y相互獨(dú)立時(shí)，才可以推出(X,Y)符合二維正態(tài)分布。

四、二維隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X,Y)的分布

X、Y均為離散型隨機(jī)變量：

Z=g(X,Y)的分布律的求法與一維離散型類似。

X、Y均為連續(xù)型隨機(jī)變量：

公式法：

X為離散型隨機(jī)變量，Y為連續(xù)型隨機(jī)變量：

Z=max{X,Y}的分布：轉(zhuǎn)為小于等于號(hào)? ? P{max{X,Y}≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}

（可以假設(shè)X≤Y，Z=max{X,Y}=Y，則max{X,Y}≤z即X＜Y≤z，寫成X≤z且Y≤z）

Z=min{X,Y}的分布：轉(zhuǎn)為大于號(hào)? ?P{min{X,Y}＞z}=P{X＞z,Y＞z}=P{X＞z}P{Y＞z}

（可以假設(shè)X≤Y，Z=min{X,Y}=X，則min{X,Y}＞z即Y＞X＞z，寫成X＞z且Y＞z）文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-484171.html

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