本文僅供學(xué)習(xí)使用，總結(jié)很多本現(xiàn)有講述運動學(xué)或動力學(xué)書籍后的總結(jié)，從矢量的角度進(jìn)行分析，方法比較傳統(tǒng)，但更易理解，并且現(xiàn)有的看似抽象方法，兩者本質(zhì)上并無不同。

2024年底本人學(xué)位論文發(fā)表后方可摘抄
若有幫助請引用
本文參考：
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食用方法
如何表達(dá)剛體在空間中的位置與姿態(tài)
姿態(tài)參數(shù)如何表達(dá)？不同表達(dá)方式直接的轉(zhuǎn)換關(guān)系？
旋轉(zhuǎn)矩陣？轉(zhuǎn)換矩陣？有什么意義和性質(zhì)？轉(zhuǎn)置代表什么？
如何表示連續(xù)變換？——與RPY有關(guān)
齊次坐標(biāo)的意義——簡化公式？
務(wù)必自己推導(dǎo)全部公式，并理解每個符號的含義

剛體的位形可以用六個獨立（坐標(biāo)）參數(shù)完全描述：三個位置參數(shù)用于描述運動剛體上運動坐標(biāo)系 { M } \left\{ M \right\} { M}原點$M$在固定坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} { F}的投影參數(shù)，三個轉(zhuǎn)動參數(shù)用于描述運動坐標(biāo)系 { M } \left\{ M \right\} { M}的基矢量相對于固定坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} { F}的基矢量的姿態(tài)，而描述這種姿態(tài)的變換，則是需要確定矩陣$\left[Q_{\mathrm{M}}^F\right]$。

因此為描述空間坐標(biāo)系中任意一剛體的運動狀態(tài)，首先需要描述剛體的位置矢量$R_{\mathrm{M}}^F$與姿態(tài)矩陣$\left[Q_{\mathrm{F}}^M\right]$（表述為：坐標(biāo)系 { M } \left\{ M \right\} { M}的基矢量在坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} { F}下的線性表達(dá)，描述了 { M } \left\{ M \right\} { M}的姿態(tài)，同時也可理解為將坐標(biāo)系 { F } \left\{ F \right\} { F}通過姿態(tài)矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，得到新的坐標(biāo)系 { M } \left\{ M \right\} { M}）

廣義參考系坐標(biāo) Reference Coordinates：為方便后續(xù)動力學(xué)方程的建立與推導(dǎo)，常用廣義坐標(biāo)矢量參數(shù)$q_{\mathrm{M}}^F$來描述運動剛體的形位，其中：
$$q_{\mathrm{M}}^F=\left[R_{\mathrm{M}}^F,{\theta }_{\mathrm{M}}^F\right]$$

• ${\theta }_{\mathrm{M}}^F$可以用多種方法來描述（通常包含3或4個角度參數(shù) ），這些角度參數(shù)用于描述姿態(tài)矩陣（旋轉(zhuǎn)矩陣）$\left[Q_{\mathrm{F}}^M\right]$

對于剛體的運動狀態(tài)而言，其運動坐標(biāo)系的原點$M$的位置矢量$R_{\mathrm{M}}^F$表示與點的運動狀態(tài)表示相同，因此需要探究如何用角度參數(shù)來描述轉(zhuǎn)換矩陣。

3. 轉(zhuǎn)換矩陣與旋轉(zhuǎn)矩陣——剛體的位置與姿態(tài)描述

轉(zhuǎn)換矩陣用于表述兩個坐標(biāo)系$\left\{A:\left(i^A,j^A,k^A\right)\right\}$ 與$\left\{B:\left(i^B,j^B,k^B\right)\right\}$的基矢量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：
[ i ? B j ? B k ? B ] = [ Q B A ] T [ i ? A j ? A k ? A ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ?i Bj ?Bk B? ?=[QBA?]T ?i Aj ?Ak A? ?

其中，轉(zhuǎn)換矩陣${\left[Q_{\mathrm{B}}^A\right]}^{\mathrm{T}}$表示坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}的基矢量在坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的表達(dá)，可將向量在不同的基矢量坐標(biāo)系下進(jìn)行表示。特殊的：若將基矢量替換成對應(yīng)基矢量的向量投影，則可以表示為：兩個原點重合的坐標(biāo)系中，對同一向量的不同表達(dá)的轉(zhuǎn)換關(guān)系；

上式也可以理解為：對坐標(biāo)系$\left\{A:\left(i^A,j^A,k^A\right)\right\}$進(jìn)行了 $\left[Q_{\mathrm{A}}^B\right]$的旋轉(zhuǎn)(從坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}旋轉(zhuǎn)為坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}的姿態(tài)) ，此時將轉(zhuǎn)換矩陣與向量的運算理解為張量與向量的運算，即得到了旋轉(zhuǎn)后的向量在坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的表達(dá)，此時實際上，對原始坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}的基矢量同樣進(jìn)行了旋轉(zhuǎn)，形成了新坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}的基矢量，其仍在坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}下表達(dá)。

[ r ′ 1 A r ′ 2 A r ′ 3 A ] = [ Q ] [ r 1 A r 2 A r 3 A ] \left[ \begin{array}{c} {r^{\prime}}_{1}^{A}\\ {r^{\prime}}_{2}^{A}\\ {r^{\prime}}_{3}^{A}\\ \end{array} \right] =\left[ Q \right] \left[ \begin{array}{c} r_{1}^{A}\\ r_{2}^{A}\\ r_{3}^{A}\\ \end{array} \right] ?r′1A?r′2A?r′3A?? ?=[Q] ?r1A?r2A?r3A?? ?

目前，人們采用不同的角度參數(shù)$\theta$來對旋轉(zhuǎn)矩陣進(jìn)行描述

• Representing an orientation —— from definition
  將原矢量進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換，得到該坐標(biāo)系下新矢量的坐標(biāo)投影參數(shù)：
  $$R_{{\mathrm{p}}^{\prime }}^F=\left[Q\right]R_{\mathrm{p}}^F$$
• Changing the reference frame
  對坐標(biāo)系進(jìn)行轉(zhuǎn)換，基于坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的該矢量的坐標(biāo)投影參數(shù)$R_{\mathrm{p}}^A$，得到該矢量在坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}中的坐標(biāo)投影參數(shù)${\left(R_{\mathrm{p}}^A\right)}^B$：
  $${\left(R_{\mathrm{p}}^A\right)}^B=\left[Q_{\mathrm{A}}^B\right]R_{\mathrm{p}}^A$$

3.1 軸角變換

假設(shè)兩個坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}與 { B } \left\{ B \right\} { B}的原點重合，其中坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}為坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}繞軸$v^F$（單位向量）旋轉(zhuǎn)$\theta$所得到的。因此對于坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的點$P$，經(jīng)過轉(zhuǎn)換后，得到點$P^{\prime }$，此時點$P^{\prime }$在坐標(biāo)系 { B } \left\{ B \right\} { B}中的矢量投影與點$P$在坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的投影分量相同。而在轉(zhuǎn)換過程中，點$P^{\prime }$在坐標(biāo)系 { A } \left\{ A \right\} { A}中的表達(dá)發(fā)生變化，即有：$\left[{P^{\prime }}_1^{\mathrm{B}},{P^{\prime }}_2^{\mathrm{B}},{P^{\prime }}_2^{\mathrm{B}}\right]=\left[P_1^A,P_2^A,P_2^A\right]$，因此對式 [ i ? B j ? B k ? B ] = [ Q B A ] T [ i ? A j ? A k ? A ] \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] =\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ?i Bj ?Bk B? ?=[QBA?]T ?i Aj ?Ak A? ?有：
[ i ? B j ? B k ? B ] T [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ? A j ? A k ? A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ? ( [ Q B A ] T [ i ? A j ? A k ? A ] ) T [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ? A j ? A k ? A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ? [ i ? A j ? A k ? A ] T [ Q B A ] [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ i ? A j ? A k ? A ] T [ P 1 A P 2 A P 3 A ] ? [ Q B A ] [ P 1 B P 2 B P 3 B ] = [ P 1 A P 2 A P 3 A ] = [ P ′ 1 B P ′ 2 B P ′ 3 B ] \begin{split} &\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^B\\ \vec{j}^B\\ \vec{k}^B\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left( \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] \right) ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} \vec{i}^A\\ \vec{j}^A\\ \vec{k}^A\\ \end{array} \right] ^{\mathrm{T}}\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] \\ &\Rightarrow \left[ Q_{\mathrm{B}}^{A} \right] \left[ \begin{array}{c} P_{1}^{\mathrm{B}}\\ P_{2}^{\mathrm{B}}\\ P_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} P_{1}^{A}\\ P_{2}^{A}\\ P_{3}^{A}\\ \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{c} {P^{\prime}}_{1}^{\mathrm{B}}\\ {P^{\prime}}_{2}^{\mathrm{B}}\\ {P^{\prime}}_{3}^{\mathrm{B}}\\ \end{array} \right] \end{split} ? ?i 文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-795847.html

到了這里，關(guān)于[足式機(jī)器人]Part3 機(jī)構(gòu)運動學(xué)與動力學(xué)分析與建模 Ch00-3(1) 剛體的位形 Configuration of Rigid Body的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！