矩陣

直觀理解

一個(gè)$m\times n$的大小矩陣，直觀上看是$m\times n$的數(shù)字按矩陣排列。

從向量的角度看，看做是$n$個(gè)$m$維列向量從左到右的排列，也可以看做$m$個(gè)$n$維行向量從上到下的疊放。

特殊矩陣

1. 方陣：行數(shù)等于列數(shù)

2. 對(duì)稱矩陣：原矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣相等：$A=A^T$

   轉(zhuǎn)置：原始矩陣行列互換后得到的新矩陣，稱為原矩陣$A$的轉(zhuǎn)置矩陣,記作：$A^T$

3. 行矩陣和列矩陣可以看做是向量

4. 零矩陣：元素全為0，記作：$O_{m\times n}$

5. 對(duì)角矩陣：非對(duì)角元素全部為0的方陣

6. 單位矩陣：對(duì)角元素全為1的對(duì)角矩陣

矩陣的基本運(yùn)算

1. 矩陣加法：兩個(gè)同等規(guī)模的矩陣之間，對(duì)應(yīng)行列元素相加即可
2. 矩陣的數(shù)量乘法：將矩陣中每個(gè)元素都乘數(shù)乘的數(shù)

可見矩陣的運(yùn)算系統(tǒng)中也包含線性運(yùn)算

3. 矩陣與矩陣相乘，舉例：$A$,$B$兩個(gè)矩陣

   1. 首先如果想要得到$A\times B$的合法條件是，$A$的列數(shù)等于$B$的行數(shù)

   2. 左邊矩陣決定了目標(biāo)矩陣的行數(shù)

   3. 右邊矩陣決定了目標(biāo)矩陣的列數(shù)

   4. 具體運(yùn)算：乘積C的第m行第n列的元素等于矩陣A的第m行的元素與矩陣B的第n列對(duì)應(yīng)元素乘積之和。

      

矩陣( A A A)乘向量( x x x)的本質(zhì)：改變空間位置

矩陣乘向量的具體運(yùn)算可以看成是矩陣相乘的特殊情況，不做過多介紹。

1. 從矩陣列的角度

   假設(shè)$A=[co{l}_{1}co{l}_2......co{l}_n]$,其中$col$表示矩陣列表示的向量

   $Ax=[co{l}_{1}co{l}_2......co{l}_n][x_1{x}_2...x_n{]}^T=x_{1}co{l}_1+x_{2}co{l}_2+...+x_{n}co{l}_n$

   可以看出：矩陣和向量相乘的過程就是對(duì)原矩陣的各列向量進(jìn)行線性組合的過程，而線性組合的各系數(shù)就是向量的對(duì)應(yīng)各成分。

2. 進(jìn)一步引申：變換向量的基底

   x = ? [ x 1 x 2 . . . x n ] = x 1 ? [ 1 0 . . . 0 ] + x 2 ? [ 0 1 . . . 0 ] + . . . + x n ? [ 0 0 . . . 1 ] x = \ \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\... \\x_n \\ \end{matrix} \right ] = x_1\ \left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\... \\0 \\ \end{matrix} \right ] + x_2\ \left [ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\... \\0 \\ \end{matrix} \right ] + ...+ x_n\ \left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\... \\1 \\ \end{matrix} \right ] x=? ?x1?x2?...xn?? ?=x1?? ?10...0? ?+x2?? ?01...0? ?+...+xn?? ?00...1? ??,向量$x$?表示為在基底為 ( [ 1 0 . . . 0 ] , [ 0 1 . . . 0 ] , . . . , [ 0 0 . . . 1 ] ) (\left [ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\... \\0 \\ \end{matrix} \right ], \left [ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\... \\0 \\ \end{matrix} \right ],...,\left [ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\... \\1 \\ \end{matrix} \right ]) ( ?10...0? ?, ?01...0? ?,..., ?00...1? ?)的坐標(biāo)。

   我們來看一下在矩陣的作用下會(huì)發(fā)生怎樣的變化。

   A x = [ a 11 … a 1 n ? ? a m 1 a m n ] m × n ? [ x 1 x 2 . . . x n ] = x 1 ? [ a 11 a 21 . . . x m 1 ] + x 2 ? [ a 12 a 22 . . . x m 2 ] + . . . + x n ? [ a 1 n a 2 n . . . x m n ] Ax=\begin{bmatrix} a_{11} & \dots & a_{1n}\\ & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & & a_{mn} \end{bmatrix}_{m \times n}\ \left [ \begin{matrix} x_1 \\ x_2 \\... \\x_n \\ \end{matrix} \right ] = x_1\ \left [ \begin{matrix} a_{11} \\ a_{21} \\... \\x_{m1} \\ \end{matrix} \right ] + x_2\ \left [ \begin{matrix} a_{12} \\ a_{22} \\... \\x_{m2} \\ \end{matrix} \right ] + ...+x_n\ \left [ \begin{matrix} a_{1n} \\ a_{2n} \\... \\x_{mn} \\ \end{matrix} \right ] Ax= ?a11?am1??…??a1n??amn?? ?m×n?? ?x1?x2?...xn?? ?=x1?? ?a11?a21?...xm1?? ?+x2?? ?a12?a22?...xm2?? ?+...+xn?? ?a1n?a2n?...xmn?? ?

   可以看出矩陣對(duì)于向量的作用相當(dāng)于對(duì)其基底做了映射轉(zhuǎn)換，由舊基底轉(zhuǎn)換為“新基底”。

   映射后向量維數(shù)取決于矩陣的行數(shù)。

   至于為啥”新基底“加引號(hào)，請(qǐng)往下看。

3. 特殊情況

   對(duì)于$m\times n$的矩陣$A$和$n$維列向量$x$，$x$的$n$個(gè)$n$維默認(rèn)基向量構(gòu)成的基底被轉(zhuǎn)換成了$n$個(gè)$m$維的目標(biāo)向量。

   • 當(dāng)$n>m$時(shí)，這$n$個(gè)新向量線性相關(guān)，因此不能構(gòu)成基底。
   • 當(dāng)$n<m$時(shí)，這$n$個(gè)新向量不足以表示$R^m$向量空間的所有向量，也不能構(gòu)成基底。
   • 當(dāng)且僅當(dāng)$n=m$并且這$n$個(gè)新向量線性無關(guān)時(shí)，才能被稱為變換了基底

   以上所說的基底都是相對(duì)于$R^m$向量空間而言

矩陣：空間映射關(guān)系

由于矩陣的作用，原始向量的空間位置甚至其所在空間的維度和形態(tài)都發(fā)生了改變，這就是矩陣乘法的空間映射作用

以下假設(shè)矩陣$A$中的$n$個(gè)列向量線性無關(guān)

矮胖矩陣對(duì)空間的降維壓縮

當(dāng)$m<n$的時(shí)候，矩陣是一個(gè)外表"矮胖’的矩陣，向量$x$是$R^n$空間中的一個(gè)$n$維向量，$x$的$n$個(gè)基向量$e$分別被矩陣$A$映射成了$n$個(gè)$m$維向量，由于$m<n$，這一組目標(biāo)向量所能張成的空間維數(shù)最大就是$m$。這樣一來，在矩陣$A$的作用下，位于$R^n$空間中的任意向量$x$，經(jīng)過映射作用，都轉(zhuǎn)換到了一個(gè)維數(shù)更低的新空間中的新位置。由此我們看出，“矮胖"矩陣$A$壓縮了原始空間$R^n$。

高瘦矩陣無法覆蓋目標(biāo)空間

簡(jiǎn)單來說就是高瘦矩陣通過對(duì)原向量空間的映射是不能夠表示目標(biāo)向量空間的所有向量的。

其實(shí)變換后的空間是不會(huì)增多的

$m\times n$矩陣中的$m>n$這種情況，我們稱之為"高瘦"矩陣。
$x$的$n$個(gè)基向量$e$,分別被矩陣$A$映射成了$n$個(gè)$m$維向量，由于$m>n$，看上去$x$映射后的目標(biāo)向量的維數(shù)提高了，變成了$m$維。那我們能不能說:經(jīng)過矩陣$A$的映射，原始向量$x$構(gòu)成的空間$R^n$變成了維數(shù)更高的空間$R^m$呢?答案是否定的，哲學(xué)點(diǎn)說，一個(gè)事物無中生有，那是不可能的，平白無故的一個(gè)向量攜帶的信息怎么能增加呢?

方陣映射

假設(shè)方陣$A_{n\times n}$

1. 當(dāng)方陣$A$中$n$個(gè)列向量線性無關(guān)時(shí)，意味著原始向量的基被映射成新向量后，仍然可以構(gòu)成$R^n$空間里的一組基底。
2. 當(dāng)方陣$A$中$n$個(gè)列向量線性相關(guān)時(shí)，方陣則退化成了矮胖矩陣，參考前面所述即可。

矩陣的秩

我們把一個(gè)空間經(jīng)過矩陣映射后得到的新空間稱之為他的像空間。我們發(fā)現(xiàn)，一個(gè)原始空間，經(jīng)過幾個(gè)形狀相同的矩陣進(jìn)行映射，像空間的維數(shù)可能不同;經(jīng)過幾個(gè)不同形狀的矩陣進(jìn)行映射，又有可能得到維數(shù)相同的像空間。那么決定因素是什么?
決定因素就是空間映射矩陣的列向量，列向量張成空間的維數(shù)就是原始空間映射后的像空間維數(shù)。我們給矩陣列向量的張成空間維數(shù)取了一個(gè)名字，就叫作:矩陣的秩。從另一方面看，秩也可以說是該矩陣線性無關(guān)的列的個(gè)數(shù)。

間的維數(shù)可能不同;經(jīng)過幾個(gè)不同形狀的矩陣進(jìn)行映射，又有可能得到維數(shù)相同的像空間。那么決定因素是什么?
決定因素就是空間映射矩陣的列向量，列向量張成空間的維數(shù)就是原始空間映射后的像空間維數(shù)。我們給矩陣列向量的張成空間維數(shù)取了一個(gè)名字，就叫作:矩陣的秩。從另一方面看，秩也可以說是該矩陣線性無關(guān)的列的個(gè)數(shù)。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-466112.html

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