玩轉(zhuǎn)線性代數(shù)(32)線性變換的相關(guān)概念的筆記，相關(guān)證明以及例子見(jiàn)原文
線性變換
一個(gè)將向量空間V映射到向量空間W的映射L，如果對(duì)所有的
v
1
,
v
2
∈
V
v_1,v_2\in V
v1?,v2?∈V及所有的標(biāo)量
α
\alpha
α和
β
\beta
β，有
L
(
α
v
1
+
β
v
2
)
=
α
L
(
v
1
)
+
β
L
(
v
2
)
L(\alpha v_1+\beta v_2)=\alpha L(v_1)+\beta L(v_2)
L(αv1?+βv2?)=αL(v1?)+βL(v2?)
則稱(chēng)L為V到W上的一個(gè)線性變換，記為
L
:
V
→
W
L:V\rightarrow W
L:V→W
判斷方法：若L為V到W上的一個(gè)線性變換，等價(jià)于：
L
(
v
1
+
v
2
)
=
L
(
v
1
)
+
L
(
v
2
)
;
L
(
λ
v
1
)
=
λ
L
(
v
1
)
L(v_1+v_2)=L(v_1)+L(v_2); L(\lambda v_1) = \lambda L(v_1)
L(v1?+v2?)=L(v1?)+L(v2?);L(λv1?)=λL(v1?)
表示矩陣
對(duì)任一矩陣 A m ? n A_{m*n} Am?n?，可以定義一個(gè)由 R n R^n Rn到 R m R^m Rm的線性變換 L A L_A LA?，稱(chēng)A為 L A L_A LA?的表示矩陣。而每一線性變換均可由矩陣來(lái)定義，如果是 R n R^n Rn上的線性算子，則其對(duì)應(yīng)矩陣為n階方陣。
線性算子
如果V與W相同，稱(chēng) L : V → V L:V\rightarrow V L:V→V為V上的一個(gè)線性算子，是一個(gè)向量空間到其自身的線性變換。
R 2 R^2 R2中特殊的線性變換
示意圖見(jiàn)原文
旋轉(zhuǎn)變換算子
A
=
(
cos
?
θ
?
sin
?
θ
sin
?
θ
cos
?
θ
)
A=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}
A=(cosθsinθ??sinθcosθ?)
繞逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)
θ
\theta
θ角
反射變換算子
B
1
=
(
1
0
0
?
1
)
B_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
B1?=(10?0?1?)
x軸對(duì)稱(chēng)
B
2
=
(
?
1
0
0
1
)
B_2=\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
B2?=(?10?01?)
y軸對(duì)稱(chēng)
投影變換算子
C
1
=
(
1
0
0
0
)
C_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
C1?=(10?00?)
只取了x坐標(biāo)，所以是投影到x軸
C
2
=
(
0
0
0
1
)
C_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
C2?=(00?01?)
只取了y坐標(biāo)，所以是投影到y(tǒng)軸
伸壓變換算子
D
1
=
(
t
0
0
1
)
D_1=\begin{pmatrix} t & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
D1?=(t0?01?)
x坐標(biāo)縮放t倍，y不變
D
2
=
(
0
0
0
t
)
D_2=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & t \end{pmatrix}
D2?=(00?0t?)
x坐標(biāo)不變，y縮放t倍文章來(lái)源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-695162.html
剪切變換算子
E
1
=
(
1
0
k
1
)
E_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{pmatrix}
E1?=(1k?01?)
x不變，將x坐標(biāo)的k倍加到y(tǒng)上，離y軸越遠(yuǎn)(x絕對(duì)值越大)形變?cè)酱螅ù怪弊儞Q）
E
2
=
(
1
k
0
1
)
E_2=\begin{pmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{pmatrix}
E2?=(10?k1?)
y不變，將y坐標(biāo)的k倍加到x上，離x軸越遠(yuǎn)(y絕對(duì)值越大)形變?cè)酱螅ㄋ阶儞Q）文章來(lái)源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-695162.html
到了這里，關(guān)于第六章，線性變換，1-線性變換、表示矩陣、線性算子的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
