一、概念、定理
二次型是一個(gè)多元函數(shù) f (x1,x2,…,xn)，每一項(xiàng)都是二次的，未知數(shù)的個(gè)數(shù)為任意個(gè)。
二次型可以寫成矩陣形式（三個(gè)矩陣相乘）：
f (x1,x2,…,xn)
?
中間的矩陣A是對稱矩陣，A稱為二次型f 的對應(yīng)矩陣。
矩陣A的秩稱為二次型的秩。r(f)=r(A)
已知二次型，怎么寫出二次型的對應(yīng)矩陣A？
步驟
1、二次型f 的平方項(xiàng)系數(shù)，按順序?qū)懺贏的主對角線上
2、二次型f 的混合項(xiàng)系數(shù)，除以2后寫在相應(yīng)位置上（例如混合項(xiàng)系數(shù)2x1x2的系數(shù)2除以2=1，寫在a12和a21處）
給定一個(gè)二次型，可以寫出對稱矩陣A；給定一個(gè)對稱矩陣A，可以寫出一個(gè)二次型。
二次型f 和對稱矩陣A是一一對應(yīng)的，一個(gè)二次型f 對應(yīng)唯一一個(gè)對稱矩陣A。
二、標(biāo)準(zhǔn)形、正交變換法、配方法
1、標(biāo)準(zhǔn)形（/平方和）：
若二次型只有平方項(xiàng)，沒有混合項(xiàng)（混合項(xiàng)系數(shù)全為0）
標(biāo)準(zhǔn)形 ? 二次型矩陣A是對角矩陣（充要條件）
2、二次型的規(guī)范形：
二次型的平方項(xiàng)系數(shù)只有-1、1、0
二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的，規(guī)范形是唯一的。
3、正負(fù)慣性指數(shù)，是對于標(biāo)準(zhǔn)形來說的：
二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，正平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)——正慣性指數(shù)p，負(fù)平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)——負(fù)慣性指數(shù)q
4、合同
A、B是n階矩陣，若存在可逆矩陣C使得C^TAC=B，則稱A合同于B，
矩陣合同的性質(zhì)（和相似差不多）
??矩陣合同的性質(zhì)（和相似差不多：反身性、對稱性、傳遞性
★若矩陣A合同于B，則A、B對應(yīng)二次型的正/負(fù)慣性指數(shù)相等。
題型：與已知矩陣A合同得矩陣是，四選一
原理：A合同于B???A、B對應(yīng)二次型的 正/負(fù)慣性指數(shù)相等
5、坐標(biāo)變換，用矩陣描述就是x=Cy（必須滿足|C|≠0，即C為可逆矩陣）
以x為自變量的二次型x^TAx (對應(yīng)矩陣為A)，經(jīng)坐標(biāo)變換x=Cy后，成為以y為自變量的二次型y^TBy (對應(yīng)矩陣為B=C^TAC)
經(jīng)坐標(biāo)變換x=Cy后，新的二次型矩陣B和原來的矩陣A合同，C^TAC=B。
例子：?
1）正交變換
對任一個(gè)二次型f (x1,x2,…,xn)=x^TAx，必可通過正交變換x=Qy，化成標(biāo)準(zhǔn)形。
★其中Q是正交矩陣，由矩陣A的n個(gè)正交的單位特征向量構(gòu)成。
正交矩陣的性質(zhì)：Q^T=Q^(-1)
原因Q^TQ=QQ^T=E且Q^(-1)Q=QQ^(-1)=E
以x為自變量的二次型x^TAx (對應(yīng)矩陣為A)，經(jīng)正交變換x=Qy后，成為以y為自變量的二次型y^TBy (對應(yīng)矩陣為B=Q^TAQ=Λ)
經(jīng)正交變換x=Qy后，新的二次型矩陣B是對角矩陣，主對角線上元素為n個(gè)特征值（與Q中特征向量的順序要對應(yīng)）
正交變換法只能化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，平方項(xiàng)的系數(shù)即為特征值。
★★★常考題型：用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用坐標(biāo)變換
步驟
1、寫出二次型矩陣A
2、求特征值→由特征方程 |λE-A|=0解出
3、求特征向量→齊次方程組?(λE-A)x=0的非零解
4、改造特征向量為γ1,γ2,γ3
? ? ?①如果特征值不同，則有n個(gè)特征向量已經(jīng)正交，只需要單位化
? ? ?②如果特征值有重根，要先判斷特征向量是否已經(jīng)正交？
? ? ?若已正交只需單位化，否則施密特正交化（P239先正交再單位化）
5、構(gòu)造正交矩陣Q=(γ1,γ2,γ3)，
? ? ?則經(jīng)正交變換x=Qy，有
把二次型化為規(guī)范形(平方項(xiàng)系數(shù)只有-1,1,0)，需要通過兩次坐標(biāo)變換。
2）配方法
對任一個(gè)二次型f (x1,x2,…,xn)=x^TAx，必可通過（配方法）可逆線性變換x=Cy，化成標(biāo)準(zhǔn)形。
★其中C是可逆矩陣，|C|≠0
?（注意這里的平方項(xiàng)系數(shù)d1、d2…與特征值無關(guān)）（新的二次型矩陣B=C^TAC與原矩陣A合同）
配方法化二次型標(biāo)準(zhǔn)形
步驟
1、先配x1
2、再配x2
3、……
4、等全部配好了，再反過來寫坐標(biāo)變化。反解一下x等于多少y。
?
題型：給出帶參數(shù)的二次型，給出正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形，求參數(shù)。
原理： 1、正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形，平方項(xiàng)系數(shù)為 二次型矩陣A的特征值。
2、|A|=特征值的乘積λ1λ2λ3。
步驟：寫出二次型矩陣A，求|A|的值，即可求出參數(shù)a。
題型：給出帶參數(shù)的二次型，給出二次型的秩，求參數(shù)。求二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)。
原理：1、二次型的秩=二次型矩陣A的秩?r(f)=r(A)
2、正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形，平方項(xiàng)系數(shù)為 二次型矩陣A的特征值。
步驟：1、化矩陣A為行最簡矩陣，求出參數(shù)
2、由特征方程 |λE-A|=0 解出特征值→得到正、負(fù)慣性指數(shù)
題型：給出正交變換后的標(biāo)準(zhǔn)形，給出正交矩陣Q的第一列，求Q。
原理：1、實(shí)對稱矩陣A不同特征值的特征向量相互正交
步驟：1、設(shè)λ=3的特征向量為α2=(x1,x2)^T，內(nèi)積(α1,α2)=0解得α2。
2、將α2單位化得γ2，Q=(γ1,γ2)。
慣性定理
二次型經(jīng)過坐標(biāo)變換（化成標(biāo)準(zhǔn)形）不改變其正負(fù)慣性指數(shù)。
正定二次型
若對任意非零列向量x=(x1,x2,x3……)^T，恒有二次型 f(x1,x2,x3……)=x^TAx＞0。
稱二次型為正定二次型，稱矩陣為正定矩陣。
正定二次型的平方項(xiàng)系數(shù)必須嚴(yán)格＞0。
定理：可逆線性變換x=Cy不改變二次型的正定性。
對一般的二次型，應(yīng)設(shè)法作可逆變換x=Cy化成標(biāo)準(zhǔn)形(或規(guī)范形)，看平方項(xiàng)系數(shù)di是否均大于零→判斷其正定性
定理：二次型f正定的充要條件 ?
1）A的正慣性指數(shù)p=n?
2）A和單位矩陣E合同，即存在可逆矩陣C，使得C^TAC=E
3）A=D^TD，D是可逆矩陣
4）A的全部特征值λi都大于0
5）A的全部順序主子式都大于0
定理：二次型f正定的必要條件
若二次型?x^TAx 正定→
(1) 矩陣A的主對角線上元素aii＞0? ? ? ?原理：平方項(xiàng)系數(shù)均大于0
(2) A的行列式|A|＞0? ? ? ?原理：全部特征值λi都大于0，|A|=λ1λ2λ3…
???????
題型：判別二次型的正定性
方法一：用特征值。由特征方程 |λE-A|=0 解出A的特征值λi，全部特征值都大于0→正定
方法二：用順序主子式。解出矩陣A所有順序主子式Δi，全部順序主子式都大于0→正定
方法三：用配方法?；蓸?biāo)準(zhǔn)形，求出正、負(fù)慣性指數(shù)，p=n→正定
題型：已知二次型（帶參數(shù)）正定，求參數(shù)取值。
步驟
1、寫出二次型矩陣A
2、寫出A的全部順序主子式，由于正定→全部順序主子式都大于0，列出多個(gè)不等式，取交集(交匯)作為t的取值???????
題型：給定矩陣A，作加減變形告知新矩陣(帶參數(shù))正定，求參數(shù)取值。
原理：矩陣正定→其全部特征值都大于0
關(guān)鍵：矩陣變形后的特征值怎么求
???????
步驟
1、先求出A的特征值。用特征方程 |λE-A|=0?
2、推出變形后新矩陣的特征值
3、列出多個(gè)不等式，取交集(交匯)作為參數(shù)的取值
例：
?矩陣A的合同標(biāo)準(zhǔn)形不是唯一的。文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-536790.html
?合同標(biāo)準(zhǔn)形等同于規(guī)范形，就當(dāng)成規(guī)范形來求！文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-536790.html
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