玩轉(zhuǎn)線性代數(shù)(38)二次型概念、合同矩陣與合同變換的筆記，相關(guān)證明以及例子見原文
二次型相關(guān)概念
二次型
含有n個(gè)變量
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
x_1,x_2,...x_n
x1?,x2?,...xn?的二次齊次函數(shù):
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
a
22
x
2
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
2
a
13
x
1
x
3
+
.
.
.
+
2
a
n
?
1
,
n
x
n
?
1
x
n
f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n
f(x1?,x2?,...xn?)=a11?x12?+a22?x22?+...+ann?xn2?+2a12?x1?x2?+2a13?x1?x3?+...+2an?1,n?xn?1?xn?
稱為二次型。
二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形
f
=
k
1
y
1
2
+
k
2
y
2
2
+
.
.
.
+
k
n
y
n
2
f=k_1y_1^2+k_2y_2^2+...+k_ny_n^2
f=k1?y12?+k2?y22?+...+kn?yn2?
這種只含平方項(xiàng)的二次型，稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。
如果二次型的標(biāo)準(zhǔn)形形如：
f
=
y
1
2
+
.
.
.
+
y
p
2
?
y
p
+
1
2
?
.
.
.
?
y
r
2
f = y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2
f=y12?+...+yp2??yp+12??...?yr2?
即系數(shù)只有-1,1,0三個(gè)取值，稱為二次型的規(guī)范形。
表示形式
f
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
a
22
x
2
2
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
2
a
13
x
1
x
3
+
.
.
.
+
2
a
n
?
1
,
n
x
n
?
1
x
n
f(x_1,x_2,...x_n)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+...+a_{nn}x_n^2+2a_{12}x_1x_2+2a_{13}x_1x_3+...+2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n
f(x1?,x2?,...xn?)=a11?x12?+a22?x22?+...+ann?xn2?+2a12?x1?x2?+2a13?x1?x3?+...+2an?1,n?xn?1?xn?
取
a
i
j
=
a
j
i
a_{ij}=a_{ji}
aij?=aji?（對(duì)稱矩陣），則
2
a
i
j
x
i
x
j
=
a
i
j
x
i
x
j
+
a
j
i
x
j
x
i
2a_{ij}x_ix_j=a_{ij}x_ix_j+a_{ji}x_jx_i
2aij?xi?xj?=aij?xi?xj?+aji?xj?xi?，于是
f
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
(
a
11
a
12
?
a
1
n
a
21
a
22
?
a
2
n
?
?
?
?
a
n
1
a
n
2
?
a
n
n
)
(
x
1
x
2
?
x
n
)
=
x
T
A
x
f=\sum_{i,j=1}^na_{ij}x_ix_j = (x_1,x_2,...,x_n)\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}=x^TAx
f=i,j=1∑n?aij?xi?xj?=(x1?,x2?,...,xn?)
?a11?a21??an1??a12?a22??an2???????a1n?a2n??ann??
?
?x1?x2??xn??
?=xTAx
把對(duì)稱矩陣A叫做二次型f的矩陣，f叫做對(duì)稱矩陣A的二次型，對(duì)稱矩陣A的秩叫做二次型f的秩
合同矩陣與合同變換
設(shè)有可逆線性變換x=Cy，將x=Cy代入
f
=
x
T
A
x
f=x^TAx
f=xTAx，有
f
=
=
x
T
A
x
=
(
C
y
)
T
A
(
C
y
)
=
y
T
(
C
T
A
C
)
y
=
y
T
B
y
f==x^TAx=(Cy)^TA(Cy)=y^T(C^TAC)y=y^TBy
f==xTAx=(Cy)TA(Cy)=yT(CTAC)y=yTBy
理解：線性變換后，將向量的坐標(biāo)由x變換為了y，令原坐標(biāo)系為
E
=
(
e
1
,
e
2
,
.
.
.
,
e
n
)
E=(e_1,e_2,...,e_n)
E=(e1?,e2?,...,en?)，變換之后，
E
C
=
C
EC=C
EC=C，過渡矩陣為C，則新基為
C
=
(
c
1
,
c
2
,
.
.
.
,
c
n
)
C=(c_1,c_2,...,c_n)
C=(c1?,c2?,...,cn?)，向量在新基下的坐標(biāo)為y,
y
=
C
?
1
x
y=C^{-1}x
y=C?1x是坐標(biāo)變換公式
定義 合同
設(shè)A與B為n階方陣，若有可逆矩陣C，使
B
=
C
T
A
C
B=C^TAC
B=CTAC，則稱矩陣A與B合同
本質(zhì)：是同一個(gè)二次型在不同基下的矩陣，對(duì)比相似矩陣，相似矩陣是同一個(gè)線性變換在不同基下的表示矩陣，合同矩陣首先都是對(duì)稱的，又因
B
=
C
T
A
C
B=C^TAC
B=CTAC，C可逆，故合同矩陣又是等價(jià)的。
合同矩陣的性質(zhì)
（1）自反性 任意方陣A與其自身合同：
E
T
A
E
=
A
E^TAE=A
ETAE=A
（2）對(duì)稱性 若A與B合同，則B與A合同：若A與B合同，則存在可逆陣C使得
C
T
A
C
=
B
C^TAC=B
CTAC=B，則
A
=
(
C
T
)
?
1
B
(
C
?
1
)
=
(
C
?
1
)
T
B
(
C
?
1
)
A=(C^T)^{-1}B(C^{-1})=(C^{-1})^TB(C^{-1})
A=(CT)?1B(C?1)=(C?1)TB(C?1)，即B與A合同
（3）傳遞性 若A與B合同，B與C合同，則A與C合同：由
B
=
C
1
T
A
C
1
,
C
=
C
2
T
B
C
2
B=C_1^TAC_1,C=C_2^TBC_2
B=C1T?AC1?,C=C2T?BC2?，得
C
=
C
2
T
(
C
1
T
A
C
1
)
C
2
=
(
C
1
C
2
)
T
A
(
C
1
C
2
)
C=C_2^T(C_1^TAC_1)C_2=(C_1C_2)^TA(C_1C_2)
C=C2T?(C1T?AC1?)C2?=(C1?C2?)TA(C1?C2?)，故A與C合同。
等價(jià)、相似、合同三種關(guān)系的對(duì)比
等價(jià)
A經(jīng)過若干次初等行變換或初等列變換得到B，則A與B等價(jià) ? \Leftrightarrow ? 存在可逆陣P,A，使 P A Q = B PAQ=B PAQ=B成立
相似
A與B相似 ? \Leftrightarrow ?存在可逆陣P，使 P ? 1 A P = B P^{-1}AP=B P?1AP=B。(同一個(gè)線性變換在不同基下的表示矩陣)
合同
A與B合同 ? \Leftrightarrow ?存在可逆陣P，使 P T A P = B P^TAP=B PTAP=B。(同一個(gè)二次型在不同可逆線性變換下的矩陣)文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-680447.html
通過以上三個(gè)定義可以看出，相似矩陣一定是等價(jià)矩陣，合同矩陣一定是等價(jià)矩陣．但等價(jià)矩陣不一定是相似矩陣，也不一定是合同矩陣．文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-680447.html
到了這里，關(guān)于第七章，相似矩陣及其應(yīng)用，3-二次型、合同矩陣與合同變換的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
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