本文主要簡單介紹固定翼飛機(jī)的數(shù)學(xué)建模的一般形式與原理，讀者姥爺們可以跟著在草稿紙上手動(dòng)推導(dǎo)一次，理解會(huì)更加深刻！

1. 固定翼飛機(jī)的飛行原理

一般地，多旋翼飛機(jī)的飛行原理簡單而易懂：通過機(jī)身裝備的螺旋槳的轉(zhuǎn)動(dòng)產(chǎn)生升力，進(jìn)而獲得$z$軸上的上下垂直移動(dòng)。通過調(diào)整某個(gè)/某幾個(gè)螺旋槳的轉(zhuǎn)速，就能夠?qū)崿F(xiàn)俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航的姿態(tài)調(diào)整。從力學(xué)基礎(chǔ)角度看，螺旋槳同時(shí)增大/降低轉(zhuǎn)速可以實(shí)現(xiàn)多旋翼的上升/下降，不同螺旋槳之間的轉(zhuǎn)速差引起的轉(zhuǎn)矩則能夠?qū)崿F(xiàn)姿態(tài)機(jī)動(dòng)。

另一方面，由于多旋翼的控制通道往往是解耦的，因而其飛控算法容易實(shí)現(xiàn)，調(diào)參難度低，控制律設(shè)計(jì)也相對(duì)容易，經(jīng)常作為專業(yè)相關(guān)學(xué)生的入門接觸對(duì)象。

與旋翼機(jī)相比，固定翼飛機(jī)歷史悠久，飛行難度高，飛行條件苛刻，力學(xué)方程更加復(fù)雜，控制律更難設(shè)計(jì)。其飛行以流體力學(xué)為基礎(chǔ)，通過飛行過程中機(jī)翼上下表面的壓差提供升力，因而“無速度就無升力”。固定翼的俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航均通過機(jī)翼和尾翼的舵面來控制。

同時(shí)，固定翼飛機(jī)的數(shù)學(xué)模型往往相互耦合，難以設(shè)計(jì)控制律，且實(shí)際工業(yè)中往往通過控制左/右副翼、水平穩(wěn)定翼、垂直穩(wěn)定翼、方向舵、升降舵、推力等等參數(shù)以達(dá)到控制的目的，因而工業(yè)上固定翼飛機(jī)的控制律設(shè)計(jì)更加復(fù)雜。

本文以簡化后的固定翼數(shù)學(xué)建模為基礎(chǔ)，在牛頓–歐拉方程基礎(chǔ)上建立固定翼的數(shù)學(xué)模型。

2. 姿態(tài)角設(shè)置

根據(jù)目前最默認(rèn)的設(shè)置，滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航分別為歐拉角$\phi$、$\theta$、$\psi$（機(jī)體坐標(biāo)系），而在地球坐標(biāo)系下，三個(gè)通道的速度分別表示為$p$、$q$、$r$。二者之間通過坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣進(jìn)行轉(zhuǎn)換：
$$?\begin{array}{c}p\\ q\\ r\end{array}?=R_e^b?\begin{array}{c}\dot{\phi }\\ \dot{\theta }\\ \dot{\psi }\end{array}?=?\begin{array}{ccc}1& 0& ?\sin \theta \\ 0& \cos \phi & \sin \phi \cos \theta \\ 0& ?\sin \phi & \cos \phi \cos \theta \end{array}??\begin{array}{c}\dot{\phi }\\ \dot{\theta }\\ \dot{\psi }\end{array}?$$

3. 牛頓–歐拉方程

牛頓–歐拉方程如下：
$${\dot{\Omega }}^b={\left(J^b\right)}^{?1}\left(M^b?{\Omega }^b\times \left(J^b?{\Omega }^b\right)\right)\text{\hspace{1em}(1)}$$其中$\Omega ={\left[\begin{array}{ccc}p& q& r\end{array}\right]}^T$為姿態(tài)角矩陣，$J^b$為機(jī)體坐標(biāo)系下固定翼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣：
$$J^b=?\begin{array}{ccc}{J}_x& 0& J_{xz}\\ 0& J_y& 0\\ J_{zx}& 0& J_z\end{array}?\text{\hspace{1em}(2)}$$而$M^b$為外力在俯仰、滾轉(zhuǎn)、偏航三通道上的力矩：
$$M^b=?\begin{array}{c}\bar{q}Sb{E}_L\\ \bar{q}S\bar{c}{E}_M\\ \bar{q}Sb{E}_N\end{array}?\text{\hspace{1em}(3)}$$其中$\bar{q}=\frac{1}{2}\rho V_T^2$為空氣動(dòng)壓，$b$為翼展，$\bar{c}$為機(jī)翼平均弦長；$E_M,E_L,E_N$分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航力矩系數(shù)，各自表達(dá)式如下：
$$\begin{array}{rl}{E}_L& =C_{\bar{L}\beta }?\beta +C_{L{\delta }_r}?{\delta }_r+C_{L{\delta }_a}?{\delta }_a+C_{L\bar{p}}\left(\frac{pb}{2V_T}\right)+C_{L\bar{r}}\left(\frac{rb}{2V_T}\right)\\ E_M& =C_{M_0}+C_{M\alpha }?\alpha +C_{M{\delta }_e}?{\delta }_e+C_{M\dot{\alpha }}\left(\frac{\dot{\alpha }\bar{c}}{2V_T}\right)+C_{M\bar{q}}\left(\frac{q\bar{c}}{2V_T}\right)\\ E_N& =C_{N\beta }?\beta +C_{N{\delta }_a}?{\delta }_a+C_{N{\delta }_r}?{\delta }_r+C_{N\bar{p}}\left(\frac{pb}{2V_T}\right)+C_{N\bar{r}}\left(\frac{rb}{2V_T}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$其中${\delta }_r,{\delta }_a,{\delta }_e$分別為尾翼方向舵、左右副翼、尾翼升降舵的控制量。

將(1)(2)(3)(4)聯(lián)立，(1)式可以化為
$$\begin{gathered} {\dot{\Omega }}^b={\left(J^b\right)}^{?1}\left(M^b?{\Omega }^b\times \left(J^b?{\Omega }^b\right)\right)? \\ ?\begin{array}{c}\dot{p}\\ \dot{q}\\ \dot{r}\end{array}?=\Lambda ?\begin{array}{c}\bar{q}Sb{E}_L?J_{zx}pq?J_{z}qr+J_{y}qr\\ \bar{q}S\bar{c}{E}_M?J_{x}pr?J_{xz}{r}^2+J_{zx}{p}^2+J_{z}pr\\ \bar{q}Sb{E}_N?J_{y}pq+J_{x}pq+J_{xz}qr\end{array}?\text{\hspace{1em}(5)} \end{gathered}$$其中$$\Lambda ={\left(J^b\right)}^{?1}=?\begin{array}{ccc}\frac{J_z}{J_x{J}_z?J_{xz}{J}_{zx}}& 0& \frac{J_{xz}}{J_{xz}{J}_{zx}?J_x{J}_z}\\ 0& \frac{1}{J_y}& 0\\ \frac{J_{zx}}{J_{xz}{J}_{zx}?J_x{J}_z}& 0& \frac{J_x}{J_x{J}_z?J_{xz}{J}_{zx}}\end{array}?$$另一方面，由于$E_L,E_M,E_N$表達(dá)式顯含控制量${\delta }_i$，因而(5)式還可以簡化為
$$?\begin{array}{l}\dot{p}=f_1\left({\delta }_r,{\delta }_a,p,q,r\right)\\ \dot{q}=f_2\left({\delta }_e,p,q,r\right)\\ \dot{r}=f_3\left({\delta }_r,{\delta }_a,p,q,r\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

4. 備注

本文只對(duì)固定翼的姿態(tài)角做出了數(shù)學(xué)建模，對(duì)于其位移、氣流角等的進(jìn)一步探討將在后續(xù)給出。
下一節(jié)將會(huì)給出固定翼姿態(tài)角的控制算法與實(shí)例。文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-500627.html

到了這里，關(guān)于固定翼飛機(jī)數(shù)學(xué)建模入門（姿態(tài)角篇）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請?jiān)谟疑辖撬阉鱐OY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！