?一個向量的長度的平方等于這個向量與這個向量自己的內(nèi)積
從代數(shù)的角度定義向量的長度：
??????正如我在另外一篇文章中（見本文底部的推薦鏈接）提到的，兩個向量（這是默認(rèn)是兩個列向量）的內(nèi)積，可以表示為也可以表示為?，F(xiàn)在我們考慮一種特殊情形，現(xiàn)在我們有一個向量v=(1,2,3),那么這個向量自己和自己的內(nèi)積是多少呢，他又代表了什么含義呢？
????????一個向量的長度等于他和他自己的內(nèi)積的平方根。這個向量與他自己是重合的，夾角為0。下面我們就給出一個向量的長度的正式定義：
從幾何的角度定義向量的長度：
????????在一個二維空間下，任意向量x的長度，是一個直角三角形的斜邊。如下圖所示：
根據(jù)Pythagoras（畢達(dá)哥拉斯）定理，如果用符號表示斜邊x的長度。則有：
?繼續(xù)，在一個三維空間中，向量x=(x1,x2,x3)是一個長方體的對角線。如下圖所示：
????????這個對角線x的長度，可以通過分別使用兩次Pythagoras定理得到。第一次是應(yīng)用該定理求得底面對角線OA=(x1,x2,0)的長度。在OA，OB與豎棱(0,0,x3)所構(gòu)成的直角三角形OAB中，斜邊OB就是我們最終所要求的對角線x，這里我們再用一次Pythagoras定理，得：
?以此類推，對于n維空間中的向量x=(x1,x2,......,xn)有：
????????即，中的n維向量x的長度等于它所有分量的平方和的平方根，取正號。這相當(dāng)于是應(yīng)用了n-1次Pythagoras定理。此外，對于一維向量，n=1的情況。該向量的長度等于其唯一一個分量的絕對值，也取正號。
個人筆記：
(全文完）
作者 --- 松下J27
格言摘抄：什么是女人？女人是形式邏輯的典范，是辯證邏輯的障礙。（《遙遠(yuǎn)的救世主》---豆豆）
推薦鏈接：線性代數(shù) --- 向量的內(nèi)積（點積）（個人學(xué)習(xí)筆記）_松下J27的博客-CSDN博客_線性代數(shù)內(nèi)積
參考文獻(xiàn)（鳴謝）：
1，《Introduction to Linear Algebra》,5th Edition - Gilbert Strang
?2，線性代數(shù)及其應(yīng)用，侯自新，南開大學(xué)出版社，1990.
文中截圖均來自于以上兩本書中的插圖。
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