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基礎(chǔ)知識

數(shù)學期望

定義
數(shù)學期望其實很好理解，就是均值，當然這里并不是直接計算樣本的均值，而是考慮到樣本對應(yīng)的概率。我們分離散和連續(xù)兩類來討論數(shù)學期望。
離散型
對隨機變量X的分布律為

若級數(shù)

絕對收斂，則稱該級數(shù)為X的數(shù)學期望，記為E(X)。即

連續(xù)型
當我們把上面的求和換成積分就得到了連續(xù)型的數(shù)學期望

函數(shù)期望的兩個定理

設(shè)Y是隨機變量X的函數(shù)，Y=g(x)(g是連續(xù)函數(shù))
1.如果X是離散型，其分布律為P{X=xk}=pk，k=1，2，…，若對應(yīng)的無窮級數(shù)絕對收斂，則有

2.如果X是連續(xù)型，其概率密度為f(X),若對應(yīng)積分絕對收斂，則

根據(jù)上面兩個定理我們可以輕松地解決函數(shù)類型的數(shù)學期望問題。
性質(zhì)
關(guān)于數(shù)學期望有以下4個非常重要的性質(zhì)：
1.C是常數(shù)，E（C）=C
2.X是一個隨機變量，C是常數(shù)，則

3.X,Y是兩個隨機變量，則
該性質(zhì)可以推廣到多個隨機變量加和的情況
4.X,Y相互獨立，則

和3類似，也可以推廣到多個隨機變量乘積的情況。

方差

方差我們可以只管地理解為表示數(shù)據(jù)的偏離程度，或者說數(shù)據(jù)的集中程度。
定義
設(shè)X是一個隨機變量，若E{[X-E(X)]^2}存在，則稱該式為X的方差，記為D(X)或Var(X),即

它的開平方，我們記為

稱為均方差或標準差。
離散型

連續(xù)型

除了用定義，我們還可以使用下列式子來計算方差：

變量標準化

X*就是X的標準化變量。
四個重要性質(zhì)
在隨機變量的方差存在的情況下，有如下性質(zhì)：
1.C是常數(shù)，D?=0
2.X是隨機變量，C是常數(shù)

3.
若X、Y相互獨立，則有
一樣，也是可以推廣多個變量。
4.D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)E(X),即

切比雪夫不等式

設(shè) X 的 E(X) = μ， D(X) = σ^2

協(xié)方差以及相關(guān)系數(shù)

對于二維隨機變量，我們除了可以討論它的期望和方差，我們還可以討論這兩個隨機變量間的關(guān)系。
協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)其實我們在數(shù)據(jù)分析的時候，經(jīng)常會使用到的兩個數(shù)據(jù)性質(zhì)。
定義
協(xié)方差
記為Cov(X,Y)

相關(guān)系數(shù)
根據(jù)定義，可以容易知道，
對于任意兩個隨機變量，存在如下等式
我們將協(xié)方差的式子展開，其實就可以得到我們經(jīng)常用來計算的式子
協(xié)方差性質(zhì)
1.數(shù)乘性質(zhì)
2.分配
3.相關(guān)系數(shù)的兩個定理
①
②相關(guān)系數(shù)為1的充要條件是存在常數(shù)a，b使得

不相關(guān)與獨立
這兩個是一個集合的包含問題，獨立一定不相關(guān)，不相關(guān)卻不一定獨立。
對于不相關(guān)，我們可以用相關(guān)系數(shù)=0，或者協(xié)方差為0來證明。
對于變量獨立，我們則需要按照定義來證明。

矩、協(xié)方差矩陣

設(shè)X（X,Y）是二維隨機變量，有如下定義
定義
矩
1.若存在，則稱其為X的k階原點矩，簡稱k階矩。
2.若存在，稱其為X的k階中心距。
3.若
存在，稱其為X和Y的k+l階混合矩
4.若

存在，稱其為X和Y的k+l階混合中心距
顯然，原點矩其實就是期望，中心矩其實就是方差，協(xié)方差就是混合中心矩。
協(xié)方差矩陣
我們對二維隨機變量（X1,X2）有四個二階中心距（假設(shè)都存在），記為下式
排成矩陣就是

該矩陣就是（X1,X2）的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣也是一個對稱陣。
四條重要性質(zhì)
關(guān)于n維正態(tài)隨機變量有如下性質(zhì)：
1.每一個分量Xi，都是正態(tài)隨機變量，反之，則可以證明n維正態(tài)隨機變量。
2.服從n維正態(tài)分布的充要條件是
服從一維正態(tài)分布。
3.設(shè)Yi是Xi的線性函數(shù)，則對應(yīng)的Yi組成的n維隨機變量也服從n維正態(tài)分布。該性質(zhì)又稱為線性變換不變性。
4.若n維隨機變量服從n維正態(tài)分布，則隨機變量相互獨立和隨機變量兩兩不相關(guān)等價。

手寫筆記

課堂習題

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-486247.html

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