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【2023年第三屆長三角高校數(shù)學(xué)建模競賽】A 題 快遞包裹裝箱優(yōu)化問題 詳細(xì)數(shù)學(xué)建模過程
1 題目
2022 年，中國一年的包裹已經(jīng)超過 1000 億件，占據(jù)了全球快遞事務(wù)量的一半以上。近幾年，中國每年新增包裹數(shù)量相當(dāng)于美國整個(gè)國家一年的包裹數(shù)量， 十年前中國還是物流成本最昂貴的國家，當(dāng)前中國已經(jīng)建立起全世界最強(qiáng)大、最先進(jìn)的快遞物流體系。在包裹的打包環(huán)節(jié)，選取合適的包裝耗材非常重要。由于包裹的基數(shù)大，因此每個(gè)包裹耗材成本的略微降低，也能帶來極大的經(jīng)濟(jì)效益。圖 1 是一些紙箱實(shí)物樣式，圖 2 是某種三維裝箱示意圖。
圖1 紙箱樣式圖2 三維裝箱示意圖
附件 1 的裝箱數(shù)據(jù)中給出了訂單數(shù)據(jù)和耗材數(shù)據(jù)。根據(jù)以上背景，請你們的團(tuán)隊(duì)完成以下問題：
問題1： 針對附件1裝箱數(shù)據(jù)中給出的訂單數(shù)據(jù)和耗材數(shù)據(jù)，對每個(gè)訂單，分別用箱子或袋子去裝，請?jiān)O(shè)計(jì)出合適的裝載方案，要求使用耗材數(shù)量越少越好， 在耗材數(shù)量相同時(shí)，耗材總體積越小越好。給出每種耗材的使用總數(shù)和耗材總體積。
問題2： 針對附件1的數(shù)據(jù)，現(xiàn)在需要優(yōu)化耗材的尺寸，請給出耗材尺寸的優(yōu)化方案。要求優(yōu)化后耗材的種數(shù)不變，只是改變耗材尺寸；對問題1中成功裝載的物品，優(yōu)化后的方案使用的箱子或袋子數(shù)盡量減少；總體積不能超過原方案的總體積；在耗材數(shù)量相同時(shí)，耗材總體積越小越好。給出優(yōu)化后的每種耗材的具體尺寸、使用總數(shù)和耗材總體積。
問題 3： 以上兩個(gè)問題假設(shè)貨物與耗材都為剛性的，若貨物與耗材存在柔性或者可輕微擠壓的屬性時(shí)，請重新完成問題 1、2。根據(jù)實(shí)際情況，這里考慮耗材伸展時(shí)，長、寬、高都不超過原尺寸的 5%。
提示：
1、需要分別給出箱裝(全使用箱子作為耗材)、袋裝(全使用袋子作為耗材) 以及兩種耗材同時(shí)使用的方案。
2、物品長寬高可以任意互換，如case1中第一種物品可看成長170、寬110、高27，也可看成長110、寬170、高27。
3、用袋子裝物品時(shí)，能夠裝下的判定標(biāo)準(zhǔn)為同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件： 袋子長+袋子高≥物品長+物品高；袋子寬+袋子高≥物品寬+物品高。
4、在附件1裝箱數(shù)據(jù)中，case序號相同的看作同一訂單，同一訂單的物品可以裝在同一箱(袋)子里，不同訂單的物品一定裝在不同箱(袋)子里。
5、對附件1裝箱數(shù)據(jù)中的某訂單物品，若耗材無論如何不能裝下，則不需要考慮該物品。
6、耗材的重量暫不考慮。
7、表1是訂單表示例，表2是耗材信息表，更詳細(xì)的數(shù)據(jù)見附件1。
表1 部分訂單表（示例）
| case | L（長） | W（寬） | H（高） | num |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 170 | 110 | 27 | 7 |
| 1 | 210 | 200 | 30 | 1 |
| 2 | 105 | 105 | 100 | 2 |
| 2 | 135 | 110 | 110 | 5 |
| 3 | 208 | 140 | 18 | 5 |
| 3 | 90 | 90 | 75 | 1 |
| 4 | 115 | 65 | 35 | 1 |
| 5 | 250 | 190 | 53 | 3 |
| 6 | 140 | 140 | 48 | 2 |
| 6 | 225 | 80 | 35 | 2 |
| 7 | 292 | 166 | 87 | 1 |
| 7 | 320 | 240 | 70 | 1 |
| 8 | 228 | 148 | 26 | 2 |
表 2 耗材信息表
| 耗材名稱 | 耗材類型 | 長 | 寬 | 高 | 重量 |
|---|---|---|---|---|---|
| 普通1號袋 | 袋 | 250 | 190 | 1 | 10 |
| 普通2號袋 | 袋 | 300 | 250 | 1 | 8 |
| 普通3號袋 | 袋 | 400 | 330 | 1 | 15 |
| 普通4號袋 | 袋 | 450 | 420 | 1 | 23 |
| 普通1號自營紙箱 | 箱 | 165 | 120 | 55 | 45 |
| 普通2號自營紙箱 | 箱 | 200 | 140 | 70 | 67 |
| 普通3號自營紙箱 | 箱 | 200 | 150 | 150 | 103 |
| 普通4號自營紙箱 | 箱 | 270 | 200 | 90 | 132 |
| 普通5號自營紙箱 | 箱 | 300 | 200 | 170 | 179 |
2 論文介紹
基于優(yōu)化模型尋找最優(yōu)快遞裝箱方案
摘要
本文針對快遞包裹裝箱優(yōu)化問題，在分析題設(shè)所給的大量數(shù)據(jù)信息基礎(chǔ)上，由于基數(shù)較大，通過算法編程，依據(jù)題目要求，不斷優(yōu)化找出最佳裝箱方案。在建模基礎(chǔ)上， 通過整合數(shù)據(jù)以及三維模擬訂單數(shù)據(jù)，依托 MATLAB、Python 等軟件，將數(shù)據(jù)歸一化， 構(gòu)造了一套求解問題的模型方案體系，包括貪婪算法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法，并應(yīng)用該方案體系解決題設(shè)所給問題。由于上述所給的典型算法具有局限性，因此在設(shè)計(jì)好對應(yīng)的基礎(chǔ)算法后，針對問題一、二、三，不斷優(yōu)化算法直至其滿足題設(shè)所需要的最優(yōu)方案。
對于問題一，首先分析題目，可知為一個(gè)雙目標(biāo)優(yōu)化問題，根據(jù)實(shí)際，首先要先確定出最少的耗材數(shù)量，其次才考慮耗材體積，因此，首先分析每一個(gè)訂單可以使用的所有包裹編號，其次找出這些包裝中體積最小的編號即為本次方案的目標(biāo)，初始方案就是通過編程設(shè)計(jì)算法，遍歷所有數(shù)據(jù)，確定最終方案之后依據(jù)所出現(xiàn)的問題，不斷優(yōu)化算法，通過我們的優(yōu)化，總體積從原來的 23110332000 降低到 788818500，大大減少了物流的成本。
對于問題二，在問題一的基礎(chǔ)上，建立新的數(shù)學(xué)模型，計(jì)算每個(gè)訂單所需最小空間。將修改后的算法模型應(yīng)用其中，通過我們的優(yōu)化，能夠在保證總體積不超過原方案的前提下，進(jìn)一步減少使用箱子或袋子的數(shù)量，以及耗材總體積。最終，我們節(jié)省了238895652 的體積，也進(jìn)一步減少了成本。
對于問題三，僅需將問題一中的數(shù)據(jù)縮小為原來的 0.05，之后重復(fù)前兩個(gè)問題的步驟即可。將問題 1 和問題 2 中的物品從剛性深度優(yōu)先裝箱問題轉(zhuǎn)化為柔性二維裝箱問題。我們將箱袋的尺寸進(jìn)行微調(diào)，保證物品在寬、長、高方向上的伸展不超過原尺寸的0.05。對于這個(gè)問題，我們同樣采用了貪心算法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃等算法，最終得到了使耗材使用數(shù)量最少且總體積最小的解。在優(yōu)化之后，我們節(jié)省了 150994261 的體積，同時(shí)達(dá)到了最優(yōu)方案.
最后，我們對模型進(jìn)行了優(yōu)缺點(diǎn)分析和推廣。
關(guān)鍵字： 打包優(yōu)化 耗材數(shù)量 數(shù)學(xué)模型 貪心算法
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