1 正態(tài)分布與Z檢驗

1.1 理論

Z檢驗的目的是為了驗證：已知一個總體服從均值，方差的正態(tài)分布，現(xiàn)在有一些樣本，這些樣本所代表的總體的均值是否為。

則構(gòu)建一個統(tǒng)計量Z，

（1）

式中，為樣本均值，為總體均值，為總體方差，n為樣本數(shù)量。

若零假設（null hypothesis）成立，即：樣本所代表的總體的均值為，則Z服從N(0, 1)。換一種說法就是統(tǒng)計量Z落在下圖所示的標準正態(tài)分布概率密度函數(shù)的大概率區(qū)間，也就是白色區(qū)域所對應的橫軸范圍。

?若Z落在陰影范圍所對應的橫軸區(qū)域，則假設不成立，陰影范圍的選取與給定的顯著性水平有關。

1.2 應用

工廠老板宣稱生產(chǎn)的零件符合正態(tài)分布，質(zhì)檢部門抽檢了100個樣本，那么這些樣本所代表的全部零件的均值，是否跟老板所說的正態(tài)分布均值一致。這個問題就可以通過Z檢驗驗證，計算樣本均值，將樣本均值和樣本數(shù)量代入式（1），看Z值落在橫軸的什么區(qū)域，白色區(qū)域檢驗合格，黑色區(qū)域檢驗不合格。

2 卡方分布和卡方檢驗

2.1 自由度的概念

在講卡方分布前，先要理解樣本的自由度。舉例說明：一個列表中有10個數(shù)字，我告訴你，這10個數(shù)字你可以隨便寫，那么這個列表中10個數(shù)字都是“自由的”，有10個自由度。如果我告訴你，這個列表的平均值是5，那么你前9個值你可以隨便寫，第10個數(shù)是固定的，因為必須滿足我給定的平均值，這樣一來，這個列表的自由度就是9了。

上面是一維的情況，如果推廣到二維，看下面這個例子。

你調(diào)查了男生、女生各100人的化妝情況，上面四個空著的格子里，你只能隨便寫一個，剩下的三個必須根據(jù)總數(shù)來計算，所以這個例子中，四個空著的格子是4個樣本，但是只有一個樣本是“自由”的，所以自由度為1。自由度的計算公式：（行數(shù) - 1）*（列數(shù) - 1）

?更加詳細的自由度解釋，參見這邊文章：用可視化思維解讀統(tǒng)計自由度 - 簡書

2.2 卡方分布

卡方分布定義如下

?2.3 卡方檢驗

卡方檢驗的目的是為了驗證。兩個事物之間是否有關系，還是拿自由度那里提到的男女化妝比例的例子來講。現(xiàn)在想研究男女性別和是否化妝，這兩件事是否相關。

假定不相關（這個就是零假設），也就是說，化妝和不化妝的人群中，男女所占的比例是相同的。在零假設中，樣本的標準值就是下面這樣：

?隨機抽樣的樣本結(jié)果如下

?X1、X2、X3、X4為4個抽樣樣本，其數(shù)值分別為5、95、85、15。

構(gòu)建如下式所示的一個統(tǒng)計量：

? （2）

式中， 表示第i個樣本， 表示第i個樣本所對應的零假設值，k為樣本數(shù)量

如果零假設成立，這個統(tǒng)計量服從自由度為n的卡方分布，化妝問題中，自由度為1，即自由度為1的卡方分布。

把樣本數(shù)據(jù)代入式（2），發(fā)現(xiàn)其值落在了卡方分布的概率密度函數(shù)的小概率區(qū)間（與Z檢驗的原理類似），所以拒絕原假設。

2.4 卡方檢驗與卡方分布的關系

有讀者看到這里會有疑問，為什么式（2）所構(gòu)建的統(tǒng)計量服從卡方分布？

因為 服從正態(tài)分布，也服從正態(tài)分布（正態(tài)分布的樣本減去常數(shù)再除一個常數(shù)還服從正態(tài)分布），所以那個統(tǒng)計量就服從卡方分布啦，就是卡方分布的定義嘛！

這里再說明一個問題，為什么 是服從正態(tài)分布的？

原假設中男性化妝和不化妝啊的概率為50%，那么100個男性中化妝的男性數(shù)量就滿足正態(tài)分布了，就像扔硬幣的正反面，下面的python代碼直觀給出了圖像

import random
import matplotlib.pyplot as plt
import pandas as pd


plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 防止中文標簽亂碼，還有通過導入字體文件的方法
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False


def toss():
    # 1正面朝上
    return random.randint(0, 1)


def toss_100_times():
    # 擲100次硬幣正面朝上的次數(shù)
    times = 0
    for i in range(100):
        times += toss()

    return times


if __name__ == "__main__":
    result = []
    for i in range(1000):
        result.append(toss_100_times())

    count = pd.value_counts(result)
    count = pd.DataFrame(count)
    count = count.sort_index(ascending=True)

    labels = list(count.index)
    data = list(count.iloc[:, 0])

    plt.bar(range(len(data)), data)
    plt.xticks(range(len(data)), labels)
    plt.xlabel("100次投擲中正面朝上的硬幣數(shù)")
    plt.ylabel("頻次")
    plt.show()

    print("done")

?

3 t分布和t檢驗

3.1 t分布

?3.2 t檢驗

t檢驗一方面可以理解為Z檢驗的擴展。Z檢驗中，要求總體方差已知，但是現(xiàn)實中往往未知。這種情況下，通過樣本方差，來構(gòu)造符合t分布的統(tǒng)計量，如式（3）所示，進行t檢驗。

式中，為樣本均值，為總體均值，s為樣本方差，n為樣本數(shù)量。

為什么這個統(tǒng)計量符合t分布的定義？

? 詳細的證明參見t分布是干什么用，t分布與t檢驗有什么不同，t檢驗到底在檢驗什么東西？ - 知乎

?t檢驗還有配對t檢驗、兩樣本t檢驗，這里不詳述了。

4 F分布與F檢驗

4.1 F分布

4.2 F檢驗

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-453677.html

到了這里，關于結(jié)合實例，直觀理解正態(tài)分布、卡方分布、t分布、F分布和對應的Z檢驗、卡方檢驗、t檢驗、F檢驗的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！