正態(tài)分布

正態(tài)分布，最早由棣莫弗在二項(xiàng)分布的漸近公式中得到，而真正奠定其地位的，應(yīng)是高斯對(duì)測(cè)量誤差的研究，故而又稱Gauss分布。測(cè)量是人類定量認(rèn)識(shí)自然界的基礎(chǔ)，測(cè)量誤差的普遍性，使得正態(tài)分布擁有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景，或許正因如此，正太分布在分布族譜圖中居于核心的位置。

正態(tài)分布$N(\mu ,\sigma )$受到期望$\mu$和方差${\sigma }^2$的調(diào)控，其概率密度函數(shù)為

$$\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\exp [?\frac{(x?\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}]$$

當(dāng)$\mu =0$而$\sigma =1$時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布$N(0,1)$，對(duì)應(yīng)概率分布函數(shù)為$\Phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp [?\frac{x^2}{2}]$，形狀如下，

在scipy.stats中，分別封裝了正態(tài)分布類norm和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布類halfnorm。

二項(xiàng)分布

二項(xiàng)分布是非常簡(jiǎn)單而又基礎(chǔ)的一種離散分布，貌似是高中學(xué)到的第一個(gè)分布，就算不是第一個(gè)，也是第一批。在$N$次獨(dú)立重復(fù)的伯努利試驗(yàn)中，設(shè)A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率均為$p$。則$N$次試驗(yàn)后A發(fā)生$k$次的概率分布，就是二項(xiàng)分布，記作$X～B(n,p)$，則

P { X = k } = ( n k ) p k ( 1 ? p ) n ? k P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k} P{X=k}=(kn?)pk(1?p)n?k

其中$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n?k)!}$，高中的寫法一般是$C_n^k$。

記$q=1?p$，令$x_k=\frac{k?np}{\sqrt{npq}}$，當(dāng)$n$趨近于無(wú)窮大時(shí)，根據(jù)De Moivre–Laplace定理，有

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n!}{k!(n?k)!}{p}^k{q}^{n?k}\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}{e}^{\frac{(k?np{)}^2}{2npq}}$$

即服從${\sigma }^2=npq,\mu =np$的高斯分布。

驗(yàn)證

下面通過(guò)scipy.stats對(duì)二項(xiàng)分布和高斯分布之間的關(guān)聯(lián)進(jìn)行驗(yàn)證

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as ss

p,q = 0.2, 0.8
ns = [10, 100, 1000, 10000]

fig = plt.figure()
for i,n in enumerate(ns):
    rs = ss.binom(n, p).rvs(50000)
    rv = ss.norm(n*p, np.sqrt(n*p*q))
    st, ed = rv.interval(0.999)
    xs = np.linspace(st, ed, 100)
    ys = rv.pdf(xs)
    ax = fig.add_subplot(2,2,i+1)
    ax.hist(rs, density=True, bins='auto', alpha=0.2)
    ax.plot(xs, ys)
    plt.title(f"n={n}")

plt.show()

效果如下，可見(jiàn)隨著$n$越來(lái)越大，二項(xiàng)分布的隨機(jī)數(shù)越來(lái)越靠近正態(tài)分布的概率密度曲線

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