前言：
? ? ? ? 上次博客，我寫了一篇關(guān)于定義矩陣除法并且代碼的文章。矩陣除法或許用處不大，不過在那一篇文章中，我認(rèn)為比較好的一點是告訴了大家一種計算方法，即：若矩陣??已知且可逆，矩陣??已知，并且??，求解矩陣 B 。我認(rèn)為這種初等行變換的方法還是挺好的。
? ? ? ? 在本篇文章中，我和大家探討一下線性代數(shù)里面一個重要的知識——線性方程組及其解法。
一、線性代數(shù)知識回顧：
我們先探討一下二元一次方程組的解法：
????????相信這個解法大家已經(jīng)很熟悉了，將第一個式子的 -2 倍加到第二個式子上，就可以消掉第二個式子中的 x 了，然后第二個式子就只剩下 y 一個未知數(shù)了，就可以輕松解出 y ，然后將 y 代入第一個式子，就可以輕松解出 x ，到此，二元一次方程組求解完成。
? ? ? ? 從幾何意義上看，這兩個方程對應(yīng)著二維平面上的兩條直線，并且這兩條直線交于一點（1,1），因此有唯一解。
? ? ? ? 有人可能會想到，不是所有的二元一次方程組都有解，因此我們看一看下面的例子：?
? ? ? ? ?大家看到，這個這個將第二個式子中兩個未知數(shù)都化沒了，并且觀察這個方程組可知，它有無數(shù)解，其實容易看到，第二個式子就是第一個式子的 2 倍，實際上，這兩個式子是等價的，第二個式子所描述的信息完全可以用第一個式子描述，也就是說這個方程組中 “有效方程” 的個數(shù)為 1 ，而只靠一個式子無法固定兩個未知數(shù)，因此方程組有無數(shù)解。
? ? ? ? 從幾何意義上看，這兩個式子就是二維平面中的兩個直線，而這兩個直線是重合的，也就是說，兩個直線相交的點有無數(shù)個，即：方程組有無數(shù)解。
? ? ? ? 那么，二元一次方程組有沒有可能無解呢？看看下面的例子：
? ? ? ? ?可以看到，消元后，第二個方程變?yōu)榱艘粋€不可能成立的式子。容易看出，這兩個方程是矛盾的，因此是無解的。
? ? ? ? 從幾何意義上看，這兩個二維平面上的直線平行且不重合，沒有交點，因此無解。
????????從上面二元一次方程組的回顧中，我們可以將方程組推廣到 n 維情形：
?????????同樣按照上面的消元方法，不過這次稍微復(fù)雜，首先消去第 2 個到第 n 個方程的未知數(shù)??然后消去第 3 個到第 n 個方程的未知數(shù)??，以此類推，直到消去最后一個方程的未知數(shù)??，然后自下而上，先求出??，代入倒數(shù)第二個方程，求出??，代入倒數(shù)第三個方程，依次類推，便可求出方程組的解。大家仔細(xì)看看消元的過程，是不是和初等行變換十分像，我們其實可以將上述方程組這樣表示：
設(shè)? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
上述方程組可以表示為：
為了表示方便，我們引入增廣矩陣：
? ? ? ? ?當(dāng)我們對未知數(shù)規(guī)定書寫順序，那么增廣矩陣就和線性方程組就?一 一 對應(yīng)了，對方程組進(jìn)行消元就等價于對增廣矩陣??進(jìn)行初等行變換，方程組的有效方程的個數(shù)就等于增廣矩陣的秩，也等于系數(shù)矩陣的秩，也就是說，如果系數(shù)矩陣滿秩，那么方程組有唯一解。當(dāng)系數(shù)矩陣不滿秩時，若沒有矛盾方程出現(xiàn)，則方程組有無數(shù)解，若有矛盾方程出現(xiàn)，則方程組無解。
? ? ? ? 從幾何意義來看，這 n 個方程組相當(dāng)于 n 維空間中 n 個 n-1 維的平面。n 個平面交于一點等價于方程組中的 “有效方程” 的個數(shù)為 n ，等價于系數(shù)矩陣??滿秩，等價于增廣矩陣??的秩為 n ，等價于方程組有唯一解。
二、算法描述：
? ? ? ? 輸入系數(shù)矩陣 ?以及 向量??，求解向量??，使得??。
? ? ? ? 1. 求出增廣矩陣
? ? ? ? 2. 將增廣矩陣初等行變換，化為上三角形，在這個過程中，判斷增廣矩陣的秩是否是 n ,如果不是 n ，則說明方程組無解或有無數(shù)解。
? ? ? ? 3. 自下而上依次計算出??。
? ? ? ? ?詳情請看下面代碼：
三、代碼實現(xiàn)：
????????類定義為：
class Mat
{
public:
int m = 1, n = 1; //行數(shù)和列數(shù)
double mat[N][N] = { 0 }; //矩陣開始的元素
Mat() {}
Mat(int mm, int nn)
{
m = mm; n = nn;
}
void create();//創(chuàng)建矩陣
void Print();//打印矩陣
void augmat(Mat a, Mat b);//求矩陣 a 和向量 b 的增廣矩陣
bool solve(Mat a, Mat b); //求線性方程組的解
};? ? ? ? 其中solve函數(shù)求解線性方程組，其定義如下：
bool Mat::solve(Mat a, Mat b) //a 為方陣 ，b 為列向量
//求線性方程組的解(ax=b ,求 x)，矩陣 a 為方陣并且方程組有唯一解時返回 true
{
if (a.n != a.m)//只求解是方陣時的情形
{
cout << "系數(shù)矩陣不是方陣" << endl;
return false; //返回false
}
m = a.n; n = 1; //解向量中必定有 a.n（ a.m ）個分量,是 a.n * 1 的列向量
Mat aa;
aa.augmat(a, b); //求增廣矩陣
//下面代碼將增廣矩陣化為上三角矩陣，并判斷增廣矩陣秩是否為 n
for (int i = 1; i <= aa.m; i++)
{
//尋找第 i 列不為零的元素
int k;
for (k = i; k <= aa.m; k++)
{
if (fabs(aa.mat[k][i]) > 1e-10) //滿足這個條件時，認(rèn)為這個元素不為0
break;
}
if (k <= aa.m)//說明第 i 列有不為0的元素
{
//交換第 i 行和第 k 行所有元素
for (int j = i; j <= aa.n; j++)//從第 i 個元素交換即可，因為前面的元素都為0
{//使用aa.mat[0][j]作為中間變量交換元素
aa.mat[0][j] = aa.mat[i][j]; aa.mat[i][j] = aa.mat[k][j]; aa.mat[k][j] = aa.mat[0][j];
}
double c;//倍數(shù)
for (int j = i + 1; j <= aa.m; j++)
{
c = -aa.mat[j][i] / aa.mat[i][i];
for (k = i; k <= aa.n; k++)
{
aa.mat[j][k] += c * aa.mat[i][k];//第 i 行 a 倍加到第 j 行
}
}
}
else //沒有找到則說明系數(shù)矩陣秩不為 n ，說明方程組中有效方程的個數(shù)小于 n
{
cout << "系數(shù)矩陣奇異，線性方程組無解或有無數(shù)解" << endl;
return false;
}
}
//自下而上求解
for (int i = a.m; i >= 1; i--)
{
mat[i][1] = aa.mat[i][aa.n];
for (int j = a.m; j > i; j--)
{
mat[i][1] -= mat[j][1] * aa.mat[i][j];
}
mat[i][1] /= aa.mat[i][i];
}
return true;
}線性方程組的求解就完成了，這種求解方法叫 “高斯消元法” 。下面附上完整代碼：文章來源：http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-422319.html
#include<iostream>
#include <cmath>
#define N 10
using namespace std;
class Mat
{
public:
int m = 1, n = 1; //行數(shù)和列數(shù)
double mat[N][N] = { 0 }; //矩陣開始的元素
Mat() {}
Mat(int mm, int nn)
{
m = mm; n = nn;
}
void create();//創(chuàng)建矩陣
void Print();//打印矩陣
void augmat(Mat a, Mat b);//求矩陣 a 和向量 b 的增廣矩陣
bool solve(Mat a, Mat b); //求線性方程組的解
};
void Mat::create()
{
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
cin >> mat[i][j];
}
}
}
void Mat::Print()
{
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
cout << mat[i][j] << "\t";
}
cout << endl;
}
}
void Mat::augmat(Mat a, Mat b)//求矩陣 a 和向量 b 的增廣矩陣
{
m = a.m; n = a.n + 1;
for (int i = 1; i <= a.m; i++)
{
for (int j = 1; j <= a.n; j++)
{
mat[i][j] = a.mat[i][j];
}
mat[i][n] = b.mat[i][1];
}
}
bool Mat::solve(Mat a, Mat b) //a 為方陣 ，b 為列向量
//求線性方程組的解(ax=b ,求 x)，矩陣 a 為方陣并且方程組有唯一解時返回 true
{
if (a.n != a.m)//只求解是方陣時的情形
{
cout << "系數(shù)矩陣不是方陣" << endl;
return false; //返回false
}
m = a.n; n = 1; //解向量中必定有 a.n（ a.m ）個分量,是 a.n * 1 的列向量
Mat aa;
aa.augmat(a, b); //求增廣矩陣
//下面代碼將增廣矩陣化為上三角矩陣，并判斷增廣矩陣秩是否為 n
for (int i = 1; i <= aa.m; i++)
{
//尋找第 i 列不為零的元素
int k;
for (k = i; k <= aa.m; k++)
{
if (fabs(aa.mat[k][i]) > 1e-10) //滿足這個條件時，認(rèn)為這個元素不為0
break;
}
if (k <= aa.m)//說明第 i 列有不為0的元素
{
//交換第 i 行和第 k 行所有元素
for (int j = i; j <= aa.n; j++)//從第 i 個元素交換即可，因為前面的元素都為0
{//使用aa.mat[0][j]作為中間變量交換元素
aa.mat[0][j] = aa.mat[i][j]; aa.mat[i][j] = aa.mat[k][j]; aa.mat[k][j] = aa.mat[0][j];
}
double c;//倍數(shù)
for (int j = i + 1; j <= aa.m; j++)
{
c = -aa.mat[j][i] / aa.mat[i][i];
for (k = i; k <= aa.n; k++)
{
aa.mat[j][k] += c * aa.mat[i][k];//第 i 行 a 倍加到第 j 行
}
}
}
else //沒有找到則說明系數(shù)矩陣秩不為 n ，說明方程組中有效方程的個數(shù)小于 n
{
cout << "系數(shù)矩陣奇異，線性方程組無解或有無數(shù)解" << endl;
return false;
}
}
//自下而上求解
for (int i = a.m; i >= 1; i--)
{
mat[i][1] = aa.mat[i][aa.n];
for (int j = a.m; j > i; j--)
{
mat[i][1] -= mat[j][1] * aa.mat[i][j];
}
mat[i][1] /= aa.mat[i][i];
}
return true;
}
int main()
{
Mat a(3, 3), b(3, 1);
cout << "請輸入 " << a.m << "*" << a.n << " 的矩陣：" << endl;
a.create();
cout << "請輸入 " << b.m << "*" << b.n << " 的列向量：" << endl;
b.create();
Mat x;
if (x.solve(a, b))//求線性方程組的解向量
{
cout << "解向量如下：" << endl << endl;
x.Print();
}
return 0;
}若有不足之處，歡迎大家指正！文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-422319.html
到了這里，關(guān)于線性代數(shù)代碼實現(xiàn)（七）求解線性方程組（C++）的文章就介紹完了。如果您還想了解更多內(nèi)容，請在右上角搜索TOY模板網(wǎng)以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持TOY模板網(wǎng)！
