特征值與特征向量

Eigen Values & Eigen Vectors

Part III:如何求解特征向量與特征值

The Key Equation

對(duì)于一般矩陣A，如何找到他的特征值與特征向量？

Step I: Find λ first!

首先，我們有方程：

但這里有兩個(gè)未知數(shù)，因此我們把上面的方程改寫一下：

????????這個(gè)齊次方程的解就是矩陣(A-I)的零空間，拋開平凡解全0向量不說(shuō)。要想讓矩陣的零空間存在非零向量，則矩陣的A必為奇異矩陣，即不可逆矩陣。同時(shí)，結(jié)合之前學(xué)到的行列式的概念，若一個(gè)矩陣是奇異矩陣，則矩陣的行列式為0。這樣一來(lái)，我們就不用考慮未知數(shù)x，也就是特征向量，先求未知數(shù)，也就是特征值。如下：

????????這個(gè)方程是一個(gè)非常重要的方程(Key equation)，叫特征值方程(Eigen-value equation)或者叫特征方程(characteristic equation)。

Step II: Substitue λ and solve equations!

?????????求解完特征值方程后會(huì)得到n個(gè)(可能會(huì)有相同的)，把這些代入到經(jīng)過(guò)改寫后的方程組中，求解齊次方程組，或者說(shuō)是求解零空間，得到相應(yīng)的特征向量。

舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明上述求解過(guò)程：

?對(duì)于上面提到過(guò)的置換矩陣A，第一步，我們先求det(A-λI)=0：

得到：

由此得到兩個(gè)特征根：

把第一個(gè)特征值λ=1代入改寫后的方程：

其中(A-I)為：

????????對(duì)該矩陣消元得到矩陣U，找到主元列和自由列，其中與自由列位置所對(duì)應(yīng)的向量x中的元素就是自由變量。設(shè)自由變量為一個(gè)任意數(shù)，求出相應(yīng)的特解。

????????消元矩陣U的秩為1，存在一個(gè)特解。第一列為主元列，第二列為自由列。因此，對(duì)應(yīng)的自由變量為x2。令x2=1， 則x1=1得到一個(gè)特解，也就是我們要找的特征向量x:

相應(yīng)的代入第二個(gè)特征值λ=-1：

令自由變量x2=1,則x1=-1:

這里我們順便基于矩陣的行列式和跡來(lái)驗(yàn)證一下兩個(gè)特征根：

????????

????????

特例 I：多個(gè)重復(fù)/相同的特征值會(huì)引發(fā)特征向量的短缺

令矩陣A為：?

先求特征值：

這會(huì)得到兩個(gè)重復(fù)的特征值：

帶入其中一個(gè)特征值，并求特征向量：

令自由變量x1=1，得到:

?????????現(xiàn)在問(wèn)題來(lái)了，如果你代入第二個(gè)特征向量(還是3)，并重復(fù)上述操作，你是無(wú)法找到一個(gè)與第一個(gè)特征向量線性無(wú)關(guān)的另一個(gè)特征向量了。最多你只是令自由變量x1為一個(gè)其他數(shù)，然后得到一個(gè)特征向量，但最終你得到的這個(gè)特征向量與之前得到的那個(gè)是線性相關(guān)的。

????????這個(gè)例子說(shuō)明了一個(gè)矩陣的特征向量的線性相關(guān)性即取決于矩陣的維數(shù)也取決于是否存在重復(fù)的特征值。對(duì)于一個(gè) 2x2 的方陣，如果它有兩個(gè)不同的特征值，那么就能得到兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。但如果是兩個(gè)重復(fù)的特征值，就只能得到一個(gè)特征向量或兩個(gè)線性相關(guān)的特征向量。

特例 II：特征根為復(fù)數(shù)的情況

已知旋轉(zhuǎn)矩陣Q，求Q的特征向量和特征值：

????????這個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣Q的作用是把任意向量旋轉(zhuǎn)90°，這里我們會(huì)遇到問(wèn)題。根據(jù)特征向量的意義，當(dāng)矩陣Q作用于特征向量x后，向量Qx的方向應(yīng)當(dāng)與x相同。但這個(gè)要求明顯與旋轉(zhuǎn)矩陣Q的作用向左。換句話說(shuō)，我們需要找出一個(gè)向量，他旋轉(zhuǎn)90°仍在原處。

????????其次，根據(jù)特征值的性質(zhì)，我們同樣也會(huì)發(fā)現(xiàn)類似的"Bug"。首先，這是一個(gè)2x2矩陣，因此有兩個(gè)特征值。其次，我們還知道矩陣的跡等于兩個(gè)特征值的和，矩陣的行列式等于兩個(gè)特征值的乘積：

從第一個(gè)等式上說(shuō)必定是一正一負(fù)，而如果這樣的話他們的乘積必定是負(fù)數(shù)，這和第二個(gè)等式相違背。

現(xiàn)在，我們按照一般的方法去求解：?

最終得到兩個(gè)復(fù)根：

這兩個(gè)復(fù)數(shù)的特征值正好滿足和為0，且乘積為1。

帶入第一個(gè)特征根i：

令自由變量x2=1,得到x1=1/-i=i:

帶入第二個(gè)特征根-i：

令自由變量x2=1,得到x1=1/i=-i:

?（全文完）

作者 --- 松下J27?

?參考文獻(xiàn)(鳴謝)：

1，Introduction to Linear Algebra，F(xiàn)ifth Edition - Gilbert Strang

2，麻省理工Gilbert Strang教授線代大師-線性代數(shù)（全）_嗶哩嗶哩_bilibili

（配圖與本文無(wú)關(guān)）?

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