由于考研復(fù)試的面試?yán)蠋熆赡軙栆恍?shù)學(xué)問題，一位學(xué)長也跟我說，研究生要不斷地和線性代數(shù)和概率論打交道，可能這就是老師喜歡問數(shù)學(xué)問題的原因吧，這里整理一下。

線性代數(shù)知識點：

合同矩陣：

• 余子式：

n 階行列式中，劃去元 aij所在的第 i 行與第 j 列的元，剩下的元不改變原來的順序所構(gòu)成的 n-1 階行列式稱為元aij的余子式。

作用：能把 n 階的行列式化簡為 n-1 階。

代數(shù)余子式是在余子式的前面乘于（-1）^(i+j)系數(shù)

• 行列式的含義：

行列式，記作 det(A)，是一個將方陣 A 映射到實數(shù)的函數(shù)。行列式等于矩陣特征值的乘積。行列式的絕對值可以被認為是衡量矩陣相乘后空間擴大或者縮小了多少。如果行列式是 0, 那么空間至少沿著某一維完全收縮了，使其失去了所有的體積。如果行列式是 1, 那么矩陣相乘沒有改變空間體積。

行列式等于它任意一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。

本質(zhì)含義（幾何意義）：行列式就是在給定一組基下，N 個向量張成的一個 N 維廣義四邊形的體積。2 階行列式代表的是平面內(nèi)的面積；3 階行列式自然而然就是 3 維空間內(nèi)的體積；4 階行列式是 4 維空間里的超體積。

• 矩陣的秩和向量組的關(guān)系：

矩陣的秩等于它列向量組的秩，也等于它行向量組的秩。

向量組的秩定義為向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)。

• 矩陣的秩和向量空間的關(guān)系（幾何意義）：

任何矩陣的行空間的維數(shù)等于矩陣的列空間的維數(shù)等于矩陣的秩。

• 矩陣的秩與線性方程組解的關(guān)系：

設(shè) A 是 m×n 矩陣，若 R(A)=r＜n，則齊次線性方程組 Ax=0 有基礎(chǔ)解系，且每個基礎(chǔ)解系都含 n-r 個解向量。

• 矩陣的跡：方陣 A(n*n) 的跡定義為對角線元素的和。

• 判斷一個線性方程組是否有解有哪幾種方法？

1. 對于齊次線性方程組 Ax=0

r(A)=n，有惟一零解；r(A)<n，有無窮多解。

2. 對于非齊次線性方程組 Ax=b

r(A)≠r(A,b)，無解；

r(A)=r(A,b)=n，有唯一解；

r(A)=r(A,b)<n，有無窮多解。

• 描述線性相關(guān)與線性無關(guān)？略

一個矩陣線性無關(guān)的等價定義有什么？

非奇異矩陣、矩陣可逆、矩陣滿秩、特征值沒有 0。（奇異矩陣：行列式等于零的矩陣（方陣）。）

• 向量空間的基與維數(shù)

1. 基

設(shè) V 是一向量空間，α1,α2,…,αr∈V且滿足：

a)α1,α2,…,αr線性無關(guān)；

b) V 中向量均可由α1,α2,…,αr線性表示。

則稱α1,α2,…,αr為 V 的一個基。

2. 維數(shù)

基中所含向量個數(shù) r 稱為向量空間的維數(shù)。

• 特征值和特征向量

1. 定義

對方陣 A 滿足：Ax=λx，其中 x 為非零向量，則稱 x 為特征向量，λ 為特征值。

2. 矩陣的特征值與特征向量有什么關(guān)系？

[1] 一個特征值可能對應(yīng)多個特征向量，一個特征向量只能屬于一個特征值。

[2] 屬于不同特征值的特征向量一定線性無關(guān)。

[3] 設(shè) λ 是 n 階方陣 A 的一個 k 重特征值（λ 為特征方程的 k 重根），對應(yīng)于 λ 的線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)為l，則 k>=l，即特征值 λ 的代數(shù)重數(shù)不小于幾何重數(shù)。

3. 特征值和特征向量的意義

如果一個向量投影到一個方陣定義的空間中只發(fā)生伸縮變化，而不發(fā)生旋轉(zhuǎn)變化，那么該向量就是這個方陣的一個特征向量，伸縮的比例就是特征值。

特征向量的代數(shù)含義是：將矩陣乘法轉(zhuǎn)換為數(shù)乘操作；特征向量的幾何含義是：特征向量通過方陣 A 變換只進行伸縮，而保持特征向量的方向不變。特征值表示的是這個特征到底有多重要，類似于權(quán)重，而特征向量在幾何上就是一個點，從原點到該點的方向表示向量的方向。

• 正交矩陣？正交向量？

若 (α,β)=0，則稱向量 α 與 β 正交。矩陣的轉(zhuǎn)置和矩陣的乘積=單位陣，那么這個矩陣就是正交矩陣，它的列向量組一定是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆的矩陣。

• 合同矩陣：

• 正定矩陣：

前提：矩陣是對稱的

正定矩陣的所有特征值大于零

各階主子式大于零

• 相似與對角化：

相似對角化后，對角線的值就是矩陣 A 的 n 個特征值。

• 施密特變換

求標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法。把一個線性無關(guān)向量組改造成一個與其等價的正交向量組。

額外

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