本節(jié)目錄

一、極限
1、數(shù)列極限
2、函數(shù)極限
二、連續(xù)
三、導數(shù)
四、微分
五、積分

本節(jié)內(nèi)容
一、極限
1、數(shù)列極限
數(shù)列極限：設{xn}為一個實數(shù)列，A為一個定數(shù)。若對任意給定的ε>0，總存在正整數(shù)N,使得當n>N時，有|xn-A|<ε,則稱數(shù)列{xn}收斂于A，定數(shù)A稱為數(shù)列{xn}的極限，記作:

也就是說，當n趨近于無窮大時，數(shù)列{xn}的極限等于或趨于A。若數(shù)列{xn}沒有極限，則稱{xn}不收斂。
通俗點講，極限的定義在數(shù)學中占據(jù)極其重要的地位，是微積分的基礎概念之一。
極限定義的意義在于將一種模糊的感覺嚴格地表達出來，使得分析數(shù)學有了嚴謹?shù)倪壿嬻w系。在極限定義中，把無限接近表述成，任意給一個大于零的ε，但是數(shù)列和極限的差別還可以比ε小。也就是無論ε如何小，總存在差別還能做到更小，這樣表達的意思就是無限接近。
2、函數(shù)極限
函數(shù)極限：設f(x)為一個實函數(shù)，在x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，A為一個定數(shù)。若對于任意小的ε>0，總存在一個δ>0，使得|x-x0|<δ時有|f(x)-A|<ε,則稱x→x0時f(x)的極限為A，記作：

鄰域的概念，一般來講就是一個開區(qū)間。x0的δ鄰域，就是開區(qū)間(x0-δ,x0+δ),記作N(x0,δ);空心鄰域的概念，把x0從鄰域中摳出去所剩余的部分，也就是(x0-δ,x0)∪(x0,x0+δ)。
函數(shù)極限定義，將空心鄰域引入的意義，函數(shù)f(x)在x0附近有定義，沒有要求必須在x0處有定義。也就是說，即使在x0處沒有定義，在這一點函數(shù)的極限也是可以存在的。
二、連續(xù)
連續(xù)：如果函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，并且滿足：

則稱y=f(x)在點x處連續(xù)。
左極限：設f(x)為一個實函數(shù)，在x0的某一空心鄰域左側(cè)有定義，A為一個定數(shù)。若對于任意小的ε>0，總存在一個δ>0，使得x0-δ<x<x0時有|f(x)-A|<ε,則稱x→x0時f(x)的左極限為A，記作：

右極限：設f(x)為一個實函數(shù)，在x0的某一空心鄰域右側(cè)有定義，A為一個定數(shù)。若對于任意小的ε>0，總存在一個δ>0，使得x0<x<x0+ δ時有|f(x)-A|<ε,則稱x→x0時f(x)的右極限為A，記作：

下圖中，不出現(xiàn)間斷便是所謂的連續(xù)，兩個間斷點x1,x2外，除所有地方都是連續(xù)的。從x軸的左邊逼近x1，可以達到f(x)的左極限；從x軸的右邊逼近x1,可以得到f(x)的右極限。在x1處的左極限與函數(shù)值f(x1)相同，也就是左連續(xù)。但是右極限不等于函數(shù)值，則右邊不連續(xù)。而在x2處的左極限和右極限均不與函數(shù)值f(x2)相同,x2處左右均不連續(xù)。

三、導數(shù)
在直線方程y=kx+b中，k稱為斜率，表示因變量隨自變量變化的快慢。
兩個點P0(x0,y0)和P(x,y)，則斜率k=(y-y0)/(x-x0)=?y/?x

經(jīng)過P0和P做一條直線，也就是曲線的割線，其斜率為[f(x0+?x)-f(x0)]/?x
當P點逐漸靠近P0點的時候，兩點之間的距離越來越小，曲線也越來越接近割線。P與P0重合，割線就變成了曲線的切線，斜率為曲線在P0點的斜率，表達式為：

上述中的斜率也就是所謂的導數(shù)。
導數(shù)：設函數(shù)y=f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義。如果極限

存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點x0處可導，f’(x0)稱為函數(shù)y=f(x)在點x0處的導數(shù)。f’(x)稱為y=f(x)的導函數(shù)。
四、微分
微分：設y=f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)有定義，并假設x0+?x也在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量?y=f(x0+?x)-f(x0)可表示為?y=A?x+o(?x),其中A是不依賴于?x的常數(shù)，o(?x)是比?x高階的無窮小，稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且A?x稱作函數(shù)在點x0相應于自變量增量?x的微分，記作dy。

通常把自變量x的增量?x稱為自變量的微分，記作dx=?x。
一元可微的函數(shù)，其微分等于導數(shù)乘以自變量的微分，即dy=f’(x)dx。
五、積分
積分：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]有定義，在此區(qū)間中取一個有限的點列a=x0<x1<x2<…<xn=b。{x(i-1),xi}為一個子區(qū)間，i=1,…,n,其長度為?xi=xi-x(i-1),λ是子區(qū)間長度的最大值，即λ=max?xi,ξi是子區(qū)間當中的一點，ξi∈[x(i-1),xi]。如果極限

存在，則稱f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可積，記作：

如何在實際中理解積分的定義？
以一個曲線面積案例來分析，一個函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上有f(x)>0。該曲線在區(qū)間[a,b]的面積計算，將區(qū)間[a,b]劃分為n段，每一段都近似為一個矩形來求面積。比如[x(i-1),xi],寬度為?xi=xi-x(i-1),高度可以取該區(qū)間中任何一點的函數(shù)值f(ξi)。將n個矩形面積累加起來，就可以得到曲線下面積的近似值。

對于有正有負的曲線，x軸上方積分結(jié)果為正，x軸下方積分結(jié)果為負，總的結(jié)果是x軸上方的面積減去下方的面積。
文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-810325.html

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