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控制之美（卷1）

1. 緒論

通過研究動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和系統(tǒng)表現(xiàn)，可以得到在給定輸入$u(t)$作用下的系統(tǒng)響應(yīng)(Response,即系統(tǒng)在輸入$u(t)$作用下的輸出$x(t)$)。當(dāng)掌握了動態(tài)系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系之后，就可以設(shè)計控制器來調(diào)節(jié)動態(tài)系統(tǒng)的輸入，使得系統(tǒng)的輸出按照預(yù)期的目標(biāo)響應(yīng)。

一般而言，控制系統(tǒng)(Control System)由控制器(Controller)和動態(tài)系統(tǒng)組成。

控制器會根據(jù)參考值(Reference)$r(t)$來決定控制量，即動態(tài)系統(tǒng)的輸入$u(t)$。這種簡單的控制方式稱為開環(huán)(Open Loop)控制。當(dāng)系統(tǒng)的全部信息可知且準(zhǔn)確時，開環(huán)控制可以完美地達(dá)成控制目標(biāo)。

如果希望精確地控制系統(tǒng)，則需要使用閉環(huán)(Closed Loop)控制系統(tǒng)，它與開環(huán)控制的最大區(qū)別是，在閉環(huán)控制中會測量系統(tǒng)的輸出，并將其反饋(Feedback)到輸入端與參考值進(jìn)行比較考值與實(shí)際系統(tǒng)輸出的差稱為誤差(Error),控制器將根據(jù)誤差調(diào)整控制量。閉環(huán)控制系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)高精度的控制，同時補(bǔ)償由于外界擾動及系統(tǒng)建模不準(zhǔn)確而引起的偏差。

2. 狀態(tài)空間表達(dá)State-Space Representation

狀態(tài)空間方程（State Space Model）描述系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法。狀態(tài)空間方程式現(xiàn)代控制理論的基礎(chǔ)，它以矩陣的形式表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)變量、輸入及輸出之間的關(guān)系?？梢悦枋龊吞幚?code>多輸入輸出（Multiole Input Multiple Output,MIMO）的系統(tǒng)。目前流行的一些算法，如模型預(yù)測控制、卡爾曼濾波器及最優(yōu)控制，都是在狀態(tài)空間方程的表達(dá)形式基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。

對于同樣的系統(tǒng)，在現(xiàn)代控制理論中則會使用狀態(tài)空間方程的表達(dá)狀態(tài)空間方程是一個集合，它包含了系統(tǒng)的輸入、輸出及狀態(tài)變量，并把它們用一系列的一階微分方程表達(dá)出來。對于本例中的二階系統(tǒng)，為了將其寫成狀態(tài)空間方程，需要選取合適的狀態(tài)變量(State Variables),才能使二階系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為一系列的一階系統(tǒng)。

上述形式可推廣并得到狀態(tài)空間方程的一般形式，即：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{d}\mathbf{z}\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=A\mathbf{z}\left(t\right)+B\mathbf{u}\left(t\right)\\ \mathbf{y}\left(t\right)=C\mathbf{z}\left(t\right)+D\mathbf{u}\left(t\right)\end{array}$$
其中：
$\mathbf{z}\left(t\right)$是狀態(tài)變量，是一個$n$維向量：$\mathbf{z}\left(t\right)={\left[z_1\left(t\right),z_2\left(t\right),?z_{\mathrm{n}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}$
$\mathbf{y}\left(t\right)$是系統(tǒng)輸出，是一個$m$維向量：$\mathbf{y}\left(t\right)={\left[y_1\left(t\right),y_2\left(t\right),?y_{\mathrm{m}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}$
$\mathbf{u}\left(t\right)$是系統(tǒng)輸入，是一個$p$維向量：$\mathbf{u}\left(t\right)={\left[u_1\left(t\right),u_2\left(t\right),?u_{\mathrm{p}}\left(t\right)\right]}^{\mathrm{T}}$

這說明，當(dāng)使用狀態(tài)空間方程來描述系統(tǒng)時，有$n$個狀態(tài)變量、$m$個輸出和$p$個輸入。它可以表達(dá)多狀態(tài)多輸出、多輸人的系統(tǒng)。其中，矩陣$A$是$n\times n$矩陣，表示系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的關(guān)系，稱為狀態(tài)矩陣或者系統(tǒng)矩陣。矩陣$B$是$n\times p$矩陣，表示輸入對狀態(tài)變量的影響，稱為輸入矩陣或者控制矩陣。矩陣$C$是$m\times n$矩陣，表示系統(tǒng)的輸出與系統(tǒng)狀態(tài)變量之間的關(guān)系，稱為輸出矩陣。矩陣$D$是$m\times p$矩陣，表示系統(tǒng)的輸入直接作用在系統(tǒng)輸出的部分，稱為直接傳遞矩陣。

上述彈簧阻尼系統(tǒng)，因?yàn)樗挥幸粋€輸入和一個輸出，所以本系統(tǒng)屬于單輸入單輸出(Single Input Single Output,SISO)系統(tǒng)。

多輸入多輸出(Multiple Inputs Multiple Outputs,MIMO)系統(tǒng)見CH06

2.1 狀態(tài)空間方程與傳遞函數(shù)的關(guān)系

如果令$G(s)$的分母部分為零，即$|sI?A|=0$,得出的$s$值有兩個含義：第一，從傳遞函數(shù)的角度考慮，它是傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；第二，從狀態(tài)矩陣的角度考慮，它是矩陣$A$的特征值(令$|sI?A|=0$是求矩陣$A$特征值的公式)。通過分析傳遞函數(shù)極點(diǎn)可以判斷系統(tǒng)的表現(xiàn)。而當(dāng)把系統(tǒng)寫成狀態(tài)空間方程之后，狀態(tài)矩陣$A$的特征值即為其相對應(yīng)的傳遞函數(shù)$G(s)$的極點(diǎn)。因此，通過分析矩陣$A$的特征值也可以判斷系統(tǒng)的表現(xiàn)。

2.2 狀態(tài)空間方程的解——矩陣指數(shù)函數(shù)

3. Phase Portrait相圖，相軌跡

3 1. 1-D

這兩個點(diǎn)被稱為平衡點(diǎn)(Equilibrium Point或者Fixed Point)。

需要注意的是，只有當(dāng)初始位置在$x_{f2}$左邊，即$x(0)<x_{f2}$時，狀態(tài)變量才可以回到平衡點(diǎn)。因此，$x_{f1}$是一個局部(Local)穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。

3 2. 2-D

圖2中，相軌跡是一條曲線,但仍然是遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)位置的。在這種情況下，平衡點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)(Unstable Node)
圖3中，平衡點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)(Saddle)，是一個不穩(wěn)定的點(diǎn)。

3 3. General Form

II 是以原點(diǎn)為中心的橢圓方程，這說明相圖中的點(diǎn)沿橢圓的軌跡運(yùn)行。在這種情況下，平衡點(diǎn)稱為中心點(diǎn)(Center),相軌跡會圍繞著這個中心點(diǎn)做圓周運(yùn)動。判斷相軌跡的運(yùn)動方向，可以以一個在橫軸的點(diǎn)進(jìn)行分析嘗試。發(fā)現(xiàn)$x_1$與$x_2$此消彼長，循環(huán)往復(fù)。如果從能量的角度來分析，它們的總能量取決于初始狀態(tài)$x(0)$隨著時間發(fā)生改變。所以這個系統(tǒng)在穩(wěn)定與不穩(wěn)定之間，$x(t)$始終有界但始終不為0。

會持續(xù)地振蕩且振幅不斷地加強(qiáng)。在這種情況下，平衡點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)(Unstable Spiral)


可以判斷出它的平衡點(diǎn)是一個穩(wěn)定焦點(diǎn)(Stable Spiral)。相軌跡將沿螺旋線指向原點(diǎn)。其所對應(yīng)的時間函數(shù)將振蕩衰減，直至為0。

3 4. Summary

上述例子說明，狀態(tài)矩陣$A$的特征值將決定平衡點(diǎn)的類型及系統(tǒng)的表現(xiàn)。通過上述分析可知，狀態(tài)矩陣$A$的特征值實(shí)部部分決定了平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，而特征值的虛部部分決定了系統(tǒng)是否會有振動。

3.5. 愛情中的數(shù)學(xué)-Phase Portrait 相圖動態(tài)系統(tǒng)分析

動態(tài)系統(tǒng)的分析可以分為三個步驟：

1. 描述系統(tǒng)，即通過語言來描述系統(tǒng)的特性；
2. 數(shù)學(xué)分析，即使用數(shù)學(xué)工具對系統(tǒng)進(jìn)行量化解析；
3. 結(jié)果與討論，即根據(jù)第二步數(shù)學(xué)分析的結(jié)果，進(jìn)行深層次的思考與討論。
   
   
   

3.6 連續(xù)系統(tǒng)離散化

3.7 Summary

• 狀態(tài)空間表達(dá)形式：
  用一系列的一階微分方程表達(dá)系統(tǒng)的輸入、輸出及狀態(tài)變量。其一般形式為
  
  狀態(tài)矩陣的特征值與其所對應(yīng)的單輸人單輸出傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同。極點(diǎn)決定系統(tǒng)的表現(xiàn)，狀態(tài)矩陣的特征值是研究的重點(diǎn)
• 相平面與相軌跡分析：
  利用矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)可以將矩陣對角化，從而將系統(tǒng)解耦。
  利用圖形的方法，可以直觀地分析復(fù)雜的非線性一階系統(tǒng)平衡點(diǎn)的表現(xiàn)。
  二階系統(tǒng)平衡點(diǎn)的性質(zhì)由狀態(tài)矩陣的特征值決定。
• 動態(tài)系統(tǒng)的分析方法：
  第一步，描述系統(tǒng)。通過語言來描述系統(tǒng)的特性。
  第二步，數(shù)學(xué)分析。使用數(shù)學(xué)工具對系統(tǒng)進(jìn)行解析。
  第三步，結(jié)果與討論。分析的結(jié)果，進(jìn)行深層次的思考與討論。

4. 系統(tǒng)的可控性Controllability(LTI)線性時不變

時不變性是指如果系統(tǒng)的輸入喜好延遲了時間$T$, 那么系統(tǒng)的輸出也會延遲時間$T$。一般情況下，時不變系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中都是常數(shù)系統(tǒng)（系數(shù)不是時間的函數(shù)）。線性時不變系統(tǒng)必須同時滿足如下的兩個性質(zhì)。

需要說明的是，從嚴(yán)格意義上講，時不變系統(tǒng)是不存在的，因?yàn)椴荒軆纱翁みM(jìn)同一條河流”,但在大部分工程情況下，在系統(tǒng)分析的時間區(qū)間內(nèi)，參數(shù)是恒定的或者是緩慢變化的。對于非線性的系統(tǒng)，一般可以做線性化處理(參考附錄A)。以近似為線性時不變的系統(tǒng)不在本書的討論范圍之內(nèi)。

5. 穩(wěn)定性stability-李雅普諾夫Lyapunov

CH01-2 從直觀上解釋了穩(wěn)定性的含義，下面將介紹嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義。在1892年，俄國數(shù)學(xué)家亞歷山大·李雅普諾夫(Aleksandr Lyapunov)在其博士論文《運(yùn)動穩(wěn)定性的一般問題》中提出了穩(wěn)定性的科學(xué)概念。本書將選用這個概念來定義系統(tǒng)的穩(wěn)定性，它是一個通用的概念，既可以運(yùn)用在線性系統(tǒng)中，也可以運(yùn)用到非線性的系統(tǒng)分析中。

Stability in the sense of Lyapunov

漸近穩(wěn)定性Asymptotic Stability——比李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性更加嚴(yán)格的一種穩(wěn)定

如果平衡點(diǎn)不符合上面兩種條件，則不穩(wěn)定。

在經(jīng)典控制理論中，穩(wěn)定特指漸近穩(wěn)定。李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定(即極點(diǎn)在虛軸上的情況)會被稱為臨界穩(wěn)定或者不穩(wěn)定。在這樣的定義下，從經(jīng)典控制理論的角度來看，

參數(shù)$\delta (t_0)$和$\epsilon$的物理意義可以這樣來理解：$\epsilon$是一個穩(wěn)定性的指標(biāo)，如果狀態(tài)變量始終在$\epsilon$以內(nèi)，那么平衡點(diǎn)就符合李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。$\delta (t_0)$則是平衡點(diǎn)穩(wěn)定的前提條件，或者說是穩(wěn)定所能承受的最大干擾，也可以理解為收斂域。

根據(jù)上述分析，如果$\delta (t_0)$可以任意選擇(選擇無限大),那么就可以推斷出平衡點(diǎn)是全局穩(wěn)定(Global Stability),因?yàn)椴还芟到y(tǒng)的初始狀態(tài)在任何位置，它都可以最終收斂到一個范圍之內(nèi)(漸近穩(wěn)定時收斂于0)。反之，如果$\delta (t_0)$的選擇是有條件的，則平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定(Local Stability)。

5.1 穩(wěn)定性與狀態(tài)空間方程

使用狀態(tài)空間方程描述線性時不變系統(tǒng)的一般表達(dá)式為：
$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{d}z\left(t\right)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right)+Bu\left(t\right) \\ y\left(t\right)=Cz\left(t\right)+Du\left(t\right) \end{gathered}$$
其中，$z(t)$是狀態(tài)變量，$y(t)$是系統(tǒng)的輸出，$u(t)$是系統(tǒng)的輸入，矩陣$A$是狀態(tài)矩陣，矩陣$B$是輸入矩陣，矩陣$C$是輸出矩陣，矩陣$D$是直接傳遞矩陣。系統(tǒng)的輸出$y(t)$是狀態(tài)變量$z(t)$與輸入$u(t)$的線性組合，如果系統(tǒng)的狀態(tài)變量和輸入都有界，那么系統(tǒng)的輸出也是有界的(符合李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性)。

首先考慮$0$輸入狀態(tài)，即$u(t)=0$?？紤]狀態(tài)矩陣$A$的特征值與平衡點(diǎn)類型之間的關(guān)系，如果$A$是一個二維矩陣，那么其特征值與穩(wěn)定
性的關(guān)系如下所示：

上述分析方法可以推廣到更高維度的狀態(tài)矩陣中。對于$n$維向量$z(t)$,首先令$z(t)=P\bar{z}(t)$,其中，$P$是過渡矩陣，由矩陣$A$的特征向量組成。可得
d z ˉ ( t ) d t = [ λ 1 ? λ n ] z ˉ ( t ) \frac{\mathrmn5n3t3z\bar{z}(t)}{\mathrmn5n3t3zt}=\left[ \begin{matrix} \lambda _1& & \\ & \ddots& \\ & & \lambda _{\mathrm{n}}\\ \end{matrix} \right] \bar{z}(t) dtdzˉ(t)?= ?λ1????λn?? ?zˉ(t)
其中${\lambda }_{\mathrm{i}}$表示A的特征值，$?\begin{array}{l}{\bar{z}}_1(t)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}t}\\ ?\\ {\bar{z}}_{\mathrm{n}}(t)=C_{\mathrm{n}}{e}^{{\lambda }_{\mathrm{n}}t}\end{array}$

原向量$z(t)$是$\bar{z}(t)$的線性組合，所以它的收斂或發(fā)散與$\bar{z}(t)$一致。此，我們可以將二維狀態(tài)變量平衡點(diǎn)穩(wěn)定判定方法沿用到更高維度的情況下，得到關(guān)于狀態(tài)空間方程穩(wěn)定性的兩個結(jié)論（考慮零輸入系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為）：$\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right)$

• 如果$A$的特征值的實(shí)部都不大于0,它的平衡點(diǎn)將符合李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。
• 如果A的特征值的實(shí)部都小于0,它的平衡點(diǎn)將符合漸近穩(wěn)定性。

上述結(jié)論為系統(tǒng)的控制器設(shè)計提供了思路。在閉環(huán)控制系統(tǒng)中，輸入$u(t)$是狀態(tài)變量的一個函數(shù)，例如$u(t)=?Kz(t)$,其中矩陣$K$是控制矩陣。
$$\frac{\mathrm{d}z(t)}{\mathrm{d}t}=Az\left(t\right)?BKz\left(t\right)=\left(A?BK\right)z\left(t\right)=A_{\mathrm{cl}}z\left(t\right)$$
其中，$A_{cl}=A?BK$,代表閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣。根據(jù)上述分析，如果希望得到一個漸近穩(wěn)定的系統(tǒng)，則需要設(shè)計合適的控制矩陣$K$,使得$A_{cl}$的特征值實(shí)部都為負(fù)數(shù)。

5.2 Summary

• 穩(wěn)定性的定義：
  李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性：隨著時間的增加，系統(tǒng)的狀態(tài)變量始終在平衡點(diǎn)附近移動(有界)。
  漸近穩(wěn)定性：隨著時間的增加，系統(tǒng)的狀態(tài)變量會最終收斂于平衡點(diǎn)。
• 穩(wěn)定性與傳遞函數(shù)：
  在研究系統(tǒng)穩(wěn)定性的時候考慮單位沖激響應(yīng)，即傳遞函數(shù)本身。
  系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)均在復(fù)平面的左半部分(實(shí)部小于0)。此時系統(tǒng)滿足有界輸入有界輸出穩(wěn)定。
• 穩(wěn)定性與狀態(tài)空間方程： 狀態(tài)矩陣的特征值的實(shí)部決定了系統(tǒng)的穩(wěn)定性：
  當(dāng)實(shí)部都不大于0時，系統(tǒng)符合李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。
  當(dāng)實(shí)部都小于0時，系統(tǒng)符合漸近穩(wěn)定性。

6. 線性控制器設(shè)計Linear Controller Design

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線性控制器設(shè)計-軌跡跟蹤（Fellow a Desired Path）

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Nonlinear Backstepping Controller 補(bǔ)充習(xí)題 - Backsteeping controller Design Review

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16.1 Slide Control 滑膜控制

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16.3 三種魯棒控制器的比較+如何分析控制器

17. 三種魯棒控制器的比較+如何分析控制器

文章來源地址http://www.zghlxwxcb.cn/news/detail-800587.html

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