第一章 ? 概率論的基本概念

一、事件及其關(guān)系與運(yùn)算 ?

?1、樣本空間、樣本點(diǎn)、隨機(jī)事件、必然事件、不可 能事件、基本事件和復(fù)合事件的概念；

?2、事件的包含與相等：若事件A包含事件B，則B的發(fā)生必然導(dǎo)致A的發(fā)生。進(jìn)而有P(AB)=P(B)，P(AUB)=P(A) ? ?

3、和事件：A、B至少有一個(gè)發(fā)生的事件，即AUB ? ?

4、積事件：A、B同時(shí)發(fā)生的事件，即AB ? ?

5、互斥事件：A、B不能同時(shí)發(fā)生的事件，即滿足AB=φ，也稱互不相容事件。

?6、對(duì)立事件：滿足條件AB=Φ而且A∪B=S，A的對(duì)立事件 用 A ?? 表示，A ?? =S-A；對(duì)立事件一定是互不相容事件。 ? ?

7、差事件：A發(fā)生B不發(fā)生的事件稱為A與B的差事件，表示為A-B或 ? ?

8、常用運(yùn)算式：

二、事件的概率及其計(jì)算 ? ? ?

1、概率的公理化定義，規(guī)定了概率要滿足的三 個(gè)條件：

（1）P(A)≥0，即非負(fù)性；

（2）P(S)=1，即規(guī)范性；

（3）兩兩互不相容事件的和的概率等于事件 的概率之和，即概率的可加性。

2、概率的性質(zhì)

（1）對(duì)于任一事件A，有P(A??? )=1-P(A);

（2）P(Φ)=0;

（3）若B包含A，則有P(B-A)=P(B)-P(A)，而 且P(B)≥P(A)；

（4）對(duì)任一事件A，有P(A)≤1；

（5）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B有 ?P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)， 該式稱為概率的加法公式。

（6）【概率減法公式】P(A-B)=P(A)-P(AB)

當(dāng)B?A時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B) 當(dāng)A=Ω時(shí)，P(B)=1- P(B)。

?3、古典概率計(jì)算：P(A)=K/N=事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)/樣本空間S包含的樣本點(diǎn)數(shù)

?4、條件概率的定義： 當(dāng)P(B)>0時(shí)，有P(A/B)=P(AB)/P(B)

?5、乘法定理： 計(jì)算事件之積的概率公式 設(shè)P(A)>0，則有P(AB)=P(A)P(B/A)

?6、全概率公式：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，···Bn為S的一個(gè)劃分，A為E的事件，且 ? ? ? ? ? ?P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，則有 ? ?

7、貝葉斯公式：實(shí)質(zhì)為一條件概率

設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，B1，B2，···Bn為S的一個(gè)劃分，A為E的事件，且P(Bi)>0(i=1,2,3···n)，P(A)>0，則有??

滿足全概率公式和貝葉斯公式的前提是“完備事件群”。?
滿足 ：BiBj=?(i≠j)B1+B2+?=Ω

這樣的一組事件稱為一個(gè)“完備事件群”。簡(jiǎn)而言之，就是事件之間兩兩互斥，所有事件的并集是整個(gè)樣本空間（必然事件）。

三、事件的獨(dú)立性

1、獨(dú)立性的定義：設(shè)A、B為兩事件，如果有P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A和事件B相互獨(dú)立。

2、推論

（1）若A與B獨(dú)立，則有A ?? 與B，A與B??? ，A ?? 與B ?? 也相互獨(dú)立；

（2）若A、B互斥，且P(A)>0，P(B)>0，則A與B不獨(dú)立；

（3）若A、B獨(dú)立，且P(A)>0，P(B)>0，則A與B不互斥；

（4）樣本空間中，S與Φ既獨(dú)立又互斥；

（5）Φ與任何事件都獨(dú)立且互斥。

第二章 隨機(jī)變量及其分布

一、隨機(jī)變量的定義

設(shè)E的樣本空間為S={e}，X=X{e}是定 義在樣本空間上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X=X{e}為隨機(jī)變量， 記為R.V。R.V一般用大寫的字母X、Y、Z等表示，而小 寫的x、y、z用來表示R.V所取的值。

二、離散型隨機(jī)變量 ??

?1、離散型R.V的定義：R.V的全部可能取值是有限個(gè) 或可列無限多個(gè)。 ??

?2、離散型R.V的分布律：P{X=xk}=pk，k=1,2,3··· ?? ?

3、分布律的性質(zhì)：pk≥0，

三、三種重要的離散型隨機(jī)變量的分布律

1、（0—1）分布，記為X～(0，1) ?? ?

，其中k=0,1，0<p<1。

2、二項(xiàng)分布，記為X～B(n,p)

（1）伯努利試驗(yàn)：試驗(yàn)E只有兩種可能的結(jié)果，A和A ?? 。 令A(yù)發(fā)生的概率為p。

（2）n重伯努利試驗(yàn)：將試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次。

（3）定義R.V X為N重伯努利試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)，則有 ??

3、泊松分布，記為X～π(λ)

（1）泊松分布的定義：，k=0,1,2···

（2）泊松定理：當(dāng)二項(xiàng)分布中n很大，p很小時(shí)，可以用泊松分布來近似二項(xiàng)分布，泊松分布中的 參數(shù)λ=np。

? 四、R.V的分布函數(shù) ?? ?

1、分布函數(shù)的定義：F(x)=P{X≤x}，其中X是隨機(jī)變量，x是實(shí)數(shù)參變量.

由定義可P{a<X≤b}=F(b)-F(a)?? ??? ? ?? ?

2、分布函數(shù)的性質(zhì)：F（x）是一個(gè)不減函數(shù)，0≤F(x)≤1，F(xiàn)（x）右連續(xù)。

五、連續(xù)性隨機(jī)變量

1、，其中f(x)為隨機(jī)變量X的概率密度 函數(shù)。

2、概率密度的性質(zhì)：f(x)≥0，，，

若f(x)在x處連續(xù)，則有f(x)=F′(x).

3、連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一指定值的概率為0，即? P{X=a}=0，其中a為任意實(shí)數(shù)。

4、對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量X，有P{a≤X≤b}=P{a<X≤b}=P{a<X<b}=P{a≤X<b}.

六、三種重要的連續(xù)性隨機(jī)變量

1、均勻分布，記為X～U（a,b），概率密度為?

2、指數(shù)分布，記為X～E(θ),概率密度為

?3、正態(tài)分布，也稱為高斯分布，記為X～N(ｕ，σ2)

（1）正態(tài)分布的概率密度，-∞<x<∞， 其中u可取任意實(shí)數(shù),σ取大于0的實(shí)數(shù)。

（2）正態(tài)曲線關(guān)于x=u對(duì)稱。

（3）當(dāng)x=u時(shí)，f(x)取到最大值，即f(u)=1/σ√2π。

（4）u決定了正態(tài)曲線的中心位置，稱為位置參數(shù)；σ 決定了正態(tài)曲線的中峰陡峭程度，稱為尺度參數(shù)。

（5）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： ? ? ? ? ? ?

?u=0，σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 即X～N(0，1).

（6）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)為 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為

φ(x)可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表查表得到。

（7）正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方法（必會(huì)）： 因此有F（x）=P（X≤x）=φ（x?u/σ）； P（x1<X≤x2）=φ（x_1?u/σ）-φ（x_2?u/σ）

（8）上α分位點(diǎn)：設(shè)X～N(0，1),若z_α滿足條件? P{X>zα}=α,0<α<1，則稱z_α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α 分位點(diǎn)。

七、隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ? ?

1、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 若X的分布律為，

則Y=g(X)的分布律為 ，

若g(xk)中有一些取值相同，則把它們的概率相加。

?2、連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 ? ?

問題的提法：已知X的概率密度為f(x)，求Y=g(X)概率密度。 ? ?

做法1（針對(duì)g(X)為嚴(yán)格單調(diào)時(shí)）：設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，則有FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}=P{X≤h(y)}=FX(h(y))， 其中h(y)為y=g(x)的反函數(shù)。然后FY(y)對(duì)y求導(dǎo)，即得 Y的概率密度f(y)。 ? ?

定理：若函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且g(x)的倒數(shù)恒大與0或恒小于0，則有以下結(jié)論： ? ? ? ? ? ? ? f(y)=fX[h(y)]|h/(y)|，其中h(y)為y=g(x)的反函數(shù)。

做法2（分布函數(shù)法）【必會(huì)】連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布的求法，通常是采用分布函數(shù)的定義的方法。我們將分布函數(shù)變形，將它化成關(guān)于?的分布函數(shù)，然后對(duì)?y 求導(dǎo)，就得到了?Y?的概率密度。

第三章 多維隨機(jī)變量及其分布

一、二維隨機(jī)變量的定義 ? ? ? ?

設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是S={e}，設(shè)X=X{e}和Y=Y{e}是定義在S上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X,Y)稱為二維隨機(jī)變量。

二、二維R.V的分布函數(shù) ? ? ? ?

1、定義：F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}，也稱為聯(lián)合分布函數(shù)。?? ? ?? ???

?P{a<X≤b,c<Y≤d}=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c) ? ? ?

2、性質(zhì) ? ? ? ?

（1）F（x,y）是變量x和y的不減函數(shù)。

（2）0≤F（x,y）≤1，F(xiàn)(-∞,y)=0，F(xiàn)(x,-∞)=0，F(xiàn)(-∞,-∞)=0，F(xiàn)(∞,∞)=1 ? ? ? ?

（3）F（x,y）關(guān)于x和y右連續(xù)

三、離散型二維隨機(jī)變量 ? ? ?

1、定義：二維R.V的所有可能取值是有限對(duì)或可 列無限多對(duì)。 ? ? ?

2、分布律：P{X=xi,Y=yj}=pij,i,j=1,2,3······也稱聯(lián)合分布律

四、連續(xù)型二維隨機(jī)變量 ? ? ?

1、定義：存在非負(fù)函數(shù)f(x,y)，有， 其中f(x,y)稱為二維隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度。

2、二維概率密度函數(shù)f(x,y)的性質(zhì)

（1）f(x,y)≥0

（2）【必知】

（3）若f(x,y)在（x,y）處連續(xù)，則有

（4）設(shè)G是xoy平面上的一個(gè)區(qū)域，點(diǎn)（X,Y）落 在區(qū)域G內(nèi)的概率為 ，積分區(qū)域?yàn)镚。

五、邊緣分布

1、邊緣分布函數(shù)：已知聯(lián)合分布函數(shù)F（x,y）

X的邊緣分布函數(shù)為：FX(x)=P{X≤x}=P{ X≤x,Y≤∞}=F(x,∞) ? ? ?

?Y的邊緣分布函數(shù)為：FY(y)=P{Y≤y}=P{ X≤∞,Y≤y}=F(∞,y)

2、離散型二維R.V的邊緣分布律：已知聯(lián)合分布律pij X的邊緣分布律為：? ? ?

Y的邊緣分布律為：

3、連續(xù)型二維R.V的邊緣概率密度：已知聯(lián)合概率密度f(x,y)? ?【必會(huì)】?

X的邊緣概率密度為：

Y的邊緣概率密度為：

六、條件分布 ?

1、離散型R.V的條件分布分布律 ?

（1） 若P{Y=yi}>0，則在Y=yi 條件下X的條件分布律為

P{ X=xi| Y=yi}= P{X=xi,Y=yj}/ P{Y=yi}=pij/p.j，i=1,2··· ?

（2）若P{X=xi}>0，則在X=xi 條件下Y的條件分布律為

P{ Y=yi | X=xi }= P{X=xi,Y=yj}/ P{ X=xi }=pij/ pi.，j=1,2··· ?

2、連續(xù)型R.V的條件概率密度 ? ?

（1）若fY（y）>0，在Y=y條件下X的條件概率密度為 ? ?

（2）若fX（x）>0，在X=x條件下Y的條件概率密度為??

（3）綜合來說，條件分布=聯(lián)合分布/邊緣分布

3、二維R.V的均勻分布的定義

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若其聯(lián)合概率密度為 ，

則稱（X,Y）在G上服從均勻分布。

七、相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 ?

1、定義：設(shè)F（x,y）及FX(x)、FY(y)分別是二維R.V(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)和邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于所有的x,y，有 ? ?

?F（x,y）= FX(x)·FY(y)，則稱R.V X和Y是相互獨(dú)立的。

?2、對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量，有f（x,y）= fX(x)·fY(y)

?3、對(duì)于離散型隨機(jī)變量，有P{X=xi,Y=yj}= P{X=xi}·P{Y=yi} ?

4、二維正態(tài)隨機(jī)變量：? ? ? ?

?兩個(gè)邊緣分布為 ? ? ? ? ?

當(dāng)ρ=0時(shí)，X和Y相互獨(dú)立；若X和Y相互獨(dú)立，則ρ=0.

八、兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、Z=X+Y的分布 已知（X,Y）的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，則Z的概率密度為 ；

若X和Y相互獨(dú)立，則Z的概率密度為

；

2、關(guān)于隨機(jī)變量之和的分布的幾個(gè)結(jié)論

（1）設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X～N(ｕ1, σ12)，Y～N（ｕ2，σ22），則Z=X+Y仍服從正態(tài)分布， 且.

（2）若Xi～N(ｕi, σi2)，i=1,2···且它們相互獨(dú)立，則它們的和服從正態(tài)分布，

且有

（3）設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X～π(λ1)，Y～π(λ2)，則Z=X+Y～π(λ1+λ2).

（4）設(shè)X和Y相互獨(dú)立，且X～b(n,p)，Y～b(n,p)，則 Z=X+Y～b(2n,p)

3、M=max(X,Y)和N=min(X,Y)的分布函數(shù)?? ? ? ? ? ?

（1） 設(shè)X、Y相互獨(dú)立，其分布函數(shù)分別為FX(x)、FY(y)，則【必知】

? ? ? ? ?

上述結(jié)論可以推廣到n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況。 ? ? ?

?（2）若?相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布，定義，則Z服從參數(shù)為θ/n 的指數(shù)分布。

第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義

1、離散型隨機(jī)變量X，其分布律為P{X=xk}=pk，k=1,2,3···若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱該級(jí)數(shù)的和為R.V X的數(shù)學(xué)期望，記為。

2、連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為f(x),若積分絕對(duì)收斂，則稱該積分值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為。【必知】

二、隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望

設(shè)Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)，Y=g(X)，其中g(shù)是連續(xù)函數(shù) ? ?

1、已知離散型隨機(jī)變量X，其分布律為P{X=xk}=pk， k=1,2,3···則Y的數(shù)學(xué)期望為

2、已知連續(xù)型隨機(jī)變量X，其概率密度為f(x)，則Y的數(shù)學(xué)期望為

結(jié)論：不必知道Y的概率分布，可以通過X的概率分布求Y的 數(shù)學(xué)期望。

以上結(jié)論可以推廣到求取二維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望， 已知條件為二維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布。

三、數(shù)學(xué)期望的重要性質(zhì)

1、設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)=C。

2、設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E(CX)=CE(X).

3、設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(X+Y)=E(X)+E(Y).

4、設(shè)X、Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y). ? ? ? ? ?

第3、4條性質(zhì)可以推廣到n個(gè)隨機(jī)變量。

四、隨機(jī)變量的方差

1、方差的定義：設(shè)X是R.V，若E{[X-E(X)]2}存在，則稱其 為X的方差，記為D(X)，即D(X)=E{[X-E(X)]2}。

2、方差的意義：方差表示隨機(jī)變量X的取值與其數(shù)學(xué)期望E(X)的偏離程度。

3、方差的計(jì)算：由方差的定義可知，方差實(shí)質(zhì)為一數(shù)學(xué)期 望，是隨機(jī)變量的函數(shù)[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望。

（1）離散情況：

（2）連續(xù)情況：

（3）計(jì)算方差的重要公式：D(X)=E(X2)-[E(X)]2【必會(huì)】

五、標(biāo)準(zhǔn)化隨機(jī)變量的定義 ? ? ? ?

設(shè)R.V X的E(X)=ｕ，D(X)=σ2≠0，記X*=（X-ｕ）/σ，則稱X*為X的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量。且E(X*)=0，D(X*)=1。

六、方差的性質(zhì)

1、設(shè)C為常數(shù)，則D(C)=0。

2、設(shè)X是R.V，C是常數(shù)，則有【必知】

3、設(shè)X、Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4、若X、Y相互獨(dú)立，則有D(X+Y)=D(X)+D(Y)，此結(jié)論可以推廣到n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的情況。

5、D(X)=0的充要條件是X以概率1取常數(shù)C，且C=E(X)。

七、六種重要的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差 ? ?

1、X～(0-1)，X=1的概率為p，則有E(X)=p，D(X)=p(1-p) ? ?

2、X～B(n,p)，則有E(X)=np，D(X)=np(1-p) ? ?

3、X～π(λ)，則有E(X)=λ，D(X)=λ ? ?

4、X～U(a,b)，則有E(X)=(a+b)/2，

5、X～E(θ)，則有E(X)=θ，?

6、X～N(ｕ,σ2)，則有E(X)=ｕ,

八、切比雪夫不等式 【必會(huì)】? ?

定理：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E(X)= ｕ，D(X)=σ2，則對(duì)于任意正數(shù)ε，不等式 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 成立，該不等式稱為切比雪夫不等式。 ? ?

切比雪夫不等式的另一種形式：

九、協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)? ??

1、X、Y的協(xié)方差的定義：Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} ? ?

2、X、Y的相關(guān)系數(shù)的定義：ρXY= Cov(X,Y)/√D(X)D(Y) ? ?

3、跟協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)有關(guān)的計(jì)算公式：

（1）D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)；D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

（2）Cov(X,Y)= ρXY√D(X)D(Y)

（3）Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)【必會(huì)】

（4）Cov(X,X)=E(X2)-E(X)E(X)=D(X)

?4、協(xié)方差的性質(zhì) ? ?

（1）Cov(X,Y)= Cov(Y,X) ? ?

（2）若a，b為常數(shù)，則Cov(aX,bY)=ab Cov(X,Y) ? ?

（3）Cov（X1+X2，Y）= Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y) ?

5、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) ? ? ?

（1）|ρXY|≤1 ? ?

（2）|ρXY|=1的充要條件是：存在常數(shù)a，b，使 P{Y=a+bX}=1

?6、不相關(guān)的定義及性質(zhì) ? ? ?

（1）不相關(guān)的定義：如果ρXY=0，則稱X和Y不相關(guān) ? ? ?

（2）以下4條說法和不相關(guān)等價(jià) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

①ρXY=0； ? ? ? ? ? ? ? ? ?②Cov(X,Y)=0； ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

③E(XY)=E(X)E(Y)；④D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 ? ? ?

（3）若X和Y相互獨(dú)立，則X和Y不相關(guān)；反之不成立。 ?

?7、 二維正態(tài)分布X和Y不相關(guān)的充要條件為：ρ=0； ? ? ? ? ? ? ?

結(jié)合二維正態(tài)分布X和Y相互獨(dú)立的條件可知， ? ? ? ? ? ? ?

二維正態(tài)分布X和Y不相關(guān)和獨(dú)立是等價(jià)的，充 要條件均為ρ=0。

十、矩的概念 ?

1、X的k階原點(diǎn)矩：E(Xk)，K=1,2,3······ ?

2、X的k階中心距：E{[X-E(X)]k}，k=2,3······ ? ?

3、X和Y的k+l階混合矩：E[XkYl]，k,l=1,2,3······ ?

4、X和Y的k+l階混合中心矩：E{[X-E(X)]k[Y-E(Y)]l}，k,l=1,2,3······ ? ?

由矩的概念知，E(X)為X的一階原點(diǎn)矩；D(X)為X的二階中心矩；

Cov(X,Y)為X、Y的二階混合中心矩。

十一、n維正態(tài)隨機(jī)變量的性質(zhì)

1、n維正態(tài)隨機(jī)變量（X1，X2···Xn）的每一個(gè)分量Xi(i=1,2···n)都是正態(tài)隨機(jī)變量；

反之，若X1，X2···Xn是相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量， 則（X1，X2···Xn）是n維正態(tài)隨機(jī)變量。

2、n維隨機(jī)變量（X1，X2···Xn）服從n維正態(tài)分布的條件是X1，X2···Xn的任意線性組合服從一維正態(tài)分布。

第五章 大數(shù)定律及中心極限定理

一、定理一：切比雪夫定理的特殊情況

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2···Xn···相互獨(dú)立，且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：，

做前n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值，則對(duì)于任意的ε>0，有

實(shí)際意義：用n很大時(shí)的Yn來估計(jì)ｕ的值。

二、定理二：伯努利定理

設(shè)nA是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意的ε>0，有

實(shí)際意義：以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式證明了頻率的穩(wěn)定性，從而可以用n很大時(shí)的頻率來代替概率。

三、定理三：辛欽大數(shù)定理

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2···Xn···相互獨(dú)立，服從同一分布且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=u，則對(duì)于任意的ε>0，有

四、依概率收斂的定義

設(shè)X1，X2···Xn···是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)，若 對(duì)于任意的ε>0，有

則稱序列X1，X2···Xn···依概率收斂于a。記為

五、中心極限定理

1、定義：把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫 作中心極限定理。

2、獨(dú)立同分布的中心極限定理： 設(shè)隨機(jī)變量X1，X2···Xn···相互獨(dú)立，服從同一分布 且具有數(shù)學(xué)期望，

定義隨機(jī) 變量，則有，從而有

3、李雅普諾夫定理：

設(shè)隨機(jī)變量X1，X2···Xn···相互獨(dú)立，具有數(shù)學(xué)期望 和方差：，定義隨機(jī)變量 ，則有，從而有

4、棣莫佛-拉普拉斯定理：

設(shè)隨機(jī)變量Xn～B(n,p)，定義隨機(jī)變量，則有，從而有

設(shè)隨機(jī)變量X1, X2,…, Xn相互獨(dú)立，且服從相同的分布，他們的數(shù)學(xué)期望和方差均為μ和σ2(>0)。記:【理解清楚】

則有

?其中φ(z)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。

獨(dú)立同分布變量的和，近似服從于正態(tài)分布，期望和方差不變

第六章 樣本及抽樣分布

一、隨機(jī)樣本

1、總體：研究對(duì)象的某項(xiàng)數(shù)量指標(biāo)的值得全體。一般用隨機(jī)變量或隨機(jī)變量的分布函數(shù)來表示總體。

2、個(gè)體：總體中的每個(gè)元素稱為個(gè)體。

3、抽樣：為推斷總體分布及各種特征，按一定規(guī)則從總體中抽取若干個(gè)體進(jìn)行觀察試驗(yàn)，以獲得有關(guān)總體的信息 ，這一抽取過程稱為抽樣。

4、樣本和樣本值：抽樣得到的個(gè)體稱為樣本，樣本所取到的觀察值稱為樣本值。

5、簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本X1，X2···Xn的特點(diǎn)：獨(dú)立同分布

（1）X1，X2···Xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量；

（2）X1，X2···Xn中的每一個(gè)個(gè)體與所考察的總體有相同的分布。

二、統(tǒng)計(jì)量

1、統(tǒng)計(jì)量的定義： 不含任何未知參數(shù)的樣本的函數(shù)稱為統(tǒng)計(jì)量。

2、常用統(tǒng)計(jì)量： 設(shè)X1，X2···Xn是來自總體的樣本，則有以下常用統(tǒng)計(jì)量

（1）樣本均值：

（2）樣本方差：

（3）樣本標(biāo)準(zhǔn)差：

（4）樣本k階原點(diǎn)矩：

（5）樣本k階中心矩：

三、抽樣分布

1、抽樣分布的定義：統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布。

2、常用抽樣分布

（1） ? ?分布的定義及性質(zhì) （2）t分布的定義 （3）F分布的定義

?3、正態(tài)總體的樣本均值和樣本方差的分布 ?

（1）樣本均值和樣本方差的數(shù)字特征 ? ? ? ? ?

設(shè)總體X的均值為ｕ，方差為σ2，X1，X2···Xn是總體X的 一個(gè)樣本，則總有 ? ? ? ?（2）正態(tài)總體樣本均值的分布 ? ? ? ? ?

設(shè)X1，X2···Xn是總體N(ｕ,σ2)的一個(gè)樣本，則有 ?

（3）正態(tài)總體樣本方差的分布 （卡方分布）?【必會(huì)】?

設(shè)X1，X2···Xn是總體N(ｕ,σ2)的一個(gè)樣本，則有 a: （主要結(jié)論）? ? ? ? ?

b：樣本均值與樣本方差相互獨(dú)立 ?

（4）與樣本均值和樣本方差有關(guān)的一個(gè)分布? （t分布）? ? ? ? ? ??

設(shè)X1，X2···Xn是總體N(ｕ,σ2)的一個(gè)樣本，則有

（5）F分布
F分布是由兩個(gè)卡方分布與其自由度比值的比值確定的分布，記作

必背公式：

第七章 參數(shù)估計(jì)

一、點(diǎn)估計(jì)

1、點(diǎn)估計(jì)問題 ? ? ? ?

設(shè)總體X的分布函數(shù)為F(x;θ)，θ為待估計(jì)的參數(shù)。X1，X2···Xn是總體X的一個(gè)樣本，x1，x2，···xn是相應(yīng)的一個(gè)樣本值。點(diǎn)估計(jì)問題就是構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量 ?，用它的觀察值來估計(jì)參數(shù)θ。統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量，觀察值稱為估計(jì)值。?

2、矩估計(jì)法 ? ? ? ?

理論依據(jù)：樣本矩Ak依概率收斂于相應(yīng)的總體矩ｕk ? ? ? ? ?

具體做法：令A(yù)k=ｕk，有幾個(gè)未知參數(shù)就列幾個(gè)等式，求解方程或方程組即可得到未知參數(shù)的矩估計(jì)量，代入樣本值，即可得到相應(yīng)的矩估計(jì)值。

求解：求出期望，令其=x的絕對(duì)值，求得未知參數(shù)的^

3、最大似然估計(jì)法

對(duì)于離散總體，已知其分布律；對(duì)于連續(xù)總體，已知其概率密度。

由總體的分布律或概率密度寫出樣本似然函數(shù)L(θ)

求樣本似然函數(shù)的最大值，最大值所對(duì)應(yīng)的θ即為參數(shù)θ的最大似然估計(jì)值

最大似然估計(jì)的性質(zhì)：設(shè)θ的函數(shù)ｕ=ｕ（θ）具有單值反函數(shù) ? ? θ=θ（ｕ），

若 是θ的最大似然估計(jì)，則是ｕ（θ）的 最大似然估計(jì)。 ?

求解：對(duì)L(θ)取對(duì)數(shù)，兩邊分別對(duì)θ求導(dǎo)，令其為0，求得

二、估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)

1、無偏性：如果，則稱是θ的無偏估計(jì)量。 ? ? ? ? ? ? ?

結(jié)論：Ak是ｕk的無偏估計(jì)；樣本均值是總體均值的無偏估計(jì)；樣本方差是總體方差的無偏估計(jì)。

無偏估計(jì)量：若a為b的無偏估計(jì)量，則E(a)=b;

2、有效性（可能考的機(jī)率小）：

設(shè)和是θ的無偏估計(jì)，若有 ，則稱比有效。

3、相合性（幾乎不考）：

設(shè) （X1，X2…Xn）是θ的估計(jì)量，當(dāng)n趨于?無窮大時(shí)，若（X1，X2…Xn）依概率收斂于θ，則稱 ?（X1，X2…Xn）為θ的相合估計(jì)量。

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